Introduction générale
quantique, en mettant l'accent sur les fondements
théoriques (modèles de calcul). Pour cette fin nous allons
présenter dans une première section des préliminaires
mathématiques et les postulats de la mécanique quantique ayant
rapport avec le traitement de l'information (coté informatique), suivi
par la représentation quantique de l'information en utilisant les
principes suscitées. Dans la deuxième section nous allons
présenter quelques algorithmes quantiques (les plus
célèbres), puis quelques modèles de calcul quantique
à savoir (la machine de Turing quantique, q-calcul et CCS quantique). Et
dans la dernière section nous présentons les langages de
programmation quantique à savoir (Quantum Computing Language, QML,
Quipper).
Comme contribution nous allons proposer une extension du
langage LOTOS basé sur ces concepts quantiques afin d'élargir
l'utilisation du langage LOTOS aux processus quantiques. Finalement une
conclusion générale et quelques perspectives.
CHAPITRE 1
PRÉLIMINAIRES
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Dans ce chapitre nous présentons des notions
mahtématiques et physiques qui servent l'éle-ments de base du
reste de mémoire; à savoire les espaces de Hilbert et les
postulas de la mécanique quantique.
1.1 Notions mathématiques et physiques 1.1.1
Notations mathématique
Espaces vectoriels
Définition 1. Un espace vectoriel est
un triplet K = (E, +,
·) où :
- E ensemble de vecteurs.
- + : E × E -? E une loi d'addition
qui est une application
-
· : K × E -? E une
loi de multiplication par un scalaire
- (E, +) est un groupe abélien (associativité,
commutativité, existence d'un élément neutre
et d'un opposé);
(ëu) u = (ëuu)
(ë + u)u = ëu + uu
.
ë(u + v) = ëu + ëv
1u = u
Définition 2. Une famille finie de
vecteurs est une base de E si et seulement si :
- Elle est libre
- Elle engendre E
D'après cette définition, toute famille libre ?
x1, ? x2,..., ? xkest une base du sous-espace
vectoriel qu'elle engendre.
Définition 3. Un scalaire sur V est
une application bilinéaire sur V , notée : (u, v)V
: V × V ? R et vérifiant les trois
propriétés suivants :
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chapitre1 : Préliminaires
1. Symétrique : V (u, v) E V, (u, v)v =
(v, u)v
2. Positivité : Vu E V. (u, u)v
> 0
3. (u,u)v = 0 <=> u = 0
pAvec (u, u)v est une norme (norme induite).
Espaces de Hilbert
Définition 4. un espace de Hilbert
est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (donc normé), et
complet pour la norme induite.
Complet i.e. toute suite de Cauchy est convergente.
Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels de dimension
finies les plus simples. Ils interviennent entre autres :
- dans l'étude des équations
différentielles et aux dérivées partielles
- en mécanique classique (fréquences propres)
- en physique (équation de Schrodinger, mécanique
quantique).
1.1.2 L'aspect physique (mécanique quantique)
[Perdrix, 2006]
En va exploiter et illustrer les phénomènes de la
mécanique quantique d'une vision d'un informaticien.
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