Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

3.1.2 Formulation variationnelle du modèle de vagues

Intéressons nous maintenant, à la formulation variationnelle du modèle de vague à la surface qui s'écrit :

?²ç ??

2åñ?t2 - óÄ_sç + ñgç + ñ?t + ñV?0
· V? = -ñ 2|V?0|2.

La frontière de _s sera notée ?_s et í_s est la normale unitaire sortante à _s dans son plan le long de ?_s.

En bidimensionnel, cette frontière se réduit en des points définissant des angles géométriques aux deux coins supérieurs gauche et droit.

Ainsi, pour des raisons de simplification des calculs nous supposons que :

?ç

- à gauche : ?ís = 0 ,

= 0

?ç ?ç

- et à droite : + c_r

?t í_s

où

c_r représente la vitesse de ride à la surface _s.

Ainsi, pour la formulation variationnelle on prendra comme espace des fonctions tests, l'espace suivant :

H¹(_s) = {v | v ? L²(_s) | ?v

?x ? L²(_s)},

nous obtenons après multiplication et intégration par une fonction arbitraire v ? H¹(_s) :

?2 ?

v - ó I p + pg Içv+ ñ_e I ^?v+pf ?0
· V ?v

2åñ fr_s ?t2 ç Ts Asi Ts I^- ?t Ts^V

2JrI |v. ?0|²v.

s

On applique la formule de Green à l'intégrale :

ó I Ä_sip = ó ^?çv - ó I
· Vv,

T_s fas ?í_s T_s

on obtient alors la formulation variationnelle du modèle de vague à la surface :

2åñ ,",;

?2n v+p ? ? I v + ñg I ipo^- + I Vç
· Vv + ñ I V?0
· V?v

fr_s ot_ T_s ?t T_s T_s T_s

ó + cr

?t (L, t)v(L) = -ñ2 frs|v?0|2v. (3.3)

Introduisons quelques notations utiles pour simplifier les écritures. Pour le système couplé, il y a en tout deux champs d'inconnues.

- le potentiel de vitesse dans le fluide noté ?,

- le déplacement transverse d'un point géométrique de la surface noté

Nous pouvons alors formuler le couplage de nos deux modèle, en considérant comme inconnu de notre problème le couple

X = (?, ç) ? H¹(Ù) × H¹(_s).

élément de l'espace admissible H¹(Ù) × H¹(_s) produit de deux espaces dans lesquels sont définis respectivement le potentiel des vitesses et le déplacement d'un point de la surface libre.

Et pour obtenir les symétries et antisymétries physiques, nous multiplions l'équation de la capillarité (3.3) par le coefficient :

c²

a = f

ñ

ce qui donne

2

2åc ç 2 I ?? #177; 2

2 f V #177; Cf v gcf I p+ óa Vrç
· 'crv + c²Gr?0
· V?v

f r_s ?t² r_s ?t Ts i

_{s s}

c_f f

2 Jr |V?0|2v.

s

(3.4)

En rappelant que :

- cf : est la vitesse du son dans le fluide (eau ),

- ñ : la masse volumique du fluide (eau).

Afin de rendre l'expression plus lisible, nous définissons à partir des deux équations (3.2) et (3.4) suivantes :

_Z Z Z^?_?t^?ø+V?0
· V(^?_?^q_t ⁾)ø-(V?0
· vø):_t + ?
· vø

f

Ù- q ^{f ?ç41--} I (vpo
· Vp)(Vpo
· VC -- qf vs?0
· vsçø
r_s ?t f

^a" I 441#177;c ?" I ?P

cf f = 0, (3.2)

?í ri ?t ?í r2 ?t

et

2 Is 2çv 2 I ??v+ c2 Içv + óa1 vç
· vv + q I Gr?0
· Vr?v

2åcf r ?t2 + cf rs ?t g f

T_s T_s

c2 2 Jrs |v?0|²v, (3.4)

Et nous définissons alors les différentes formes bilinaires suivantes sur H¹(Ù) × H¹(_s) :

M(X,Y) = I ?(x)ø(x)dx + 2åq f ç(s)v(s)ds, (3.5)

Ts

C(X,Y) = f_rI[r?0(x)
· r?(x)ø(x) - r?0(x)
· rø(x)?(x)]dx

+ _cffrs [?(s)v(s) - ç(s)ø(s)]ds + cf?:: fr1n2

(3.6)

K(X,Y) = f_rl[c_.1-r ?(x)
· rø(x) - (r?0(x)
· r?(x))(r?0(x)
· rø(x))]dx

f_rs[rs?0(s)
· r_s?(s)v(s) - r_s?0(s)
· r_sç(s)ø(s)]ds

Is ç(s)v(s)ds + óa kr_sç(s)
· r _sv(s)ds,

(3.7)

plus une forme linéaire obtenue à partir du second membre

_c2 L(Y) = - f 2 j1 |r?0(s)|²v(s)ds. (3.8)

,

Et le problème consiste alors à trouver un potentiel de vitesse ? et un champ de déplacement d'un point de la surface libre ç vérifiant d'une part, les conditions initiales suivante :

1. déplacement ?(t = 0, x) = ?0(x) et ç(t = 0, s) = ç0(s)

2. vitesse ÿ?(t = 0, x) = ÿ?0(x) et ÿç(t = 0, s) = ÿç0(s)

et d'autre part, l'équation :

? ??

??

Trouver X(t) ? H¹(Ù) × H¹(_s) tel que :

M( ^·X,Y) + C( ^ÿX,Y) + K(X, Y) = L(Y), ?Y ? H¹(Ù) × H¹(_s).

(3.9)

Avant d'étudier l'existence et l'unicité d'une solution de cette équation différentielle matricielle, intéressons-nous d'abord à la positivité de l'opérateur K(.,.) .