4.2 Principe de l'optimisation multiobjectif
Dans la vie quotidienne, nous résolvons des
problèmes d'optimisation plus ou moins complexes. Nos achats, notre
organisation, nos déplacements ne sont pas faits sans avoir
réfléchi au préalable aux multiples options dont nous
disposons pour aboutir à la décision nous semblant la plus
appropriée. Par exemple, en prévision d'un trajet en
véhicule, nous pouvons être amenés à résoudre
la problématique présentée à la figure (4.1). Ces
raisonnements, même s'ils paraissent anodins, font appel au concept de
compromis, en ce sens que les décisions prises le sont rarement dans un
contexte d'objectif unique.
Plusieurs critères sont simultanément
intégrés à la réflexion, afin de dégager un
choix final présentant le meilleur compromis entre tous les objectifs.
cette approche nous conduit à considérer une autre
catégorie de problèmes d'optimisation : les problèmes
multicritères ou multiobjectifs.
FIG. 4.1 - Exemple de problème multicritère de la
vie courante
4.2.1 Formulation d'un problème multiobjectif
Un problème multicritère P peut se formuler de la
manière suivante : F1(X)
min[F(X)] = Fj(X) j
= 1...Nobjectif
...
FNobjectif (X)
oil X = [X1...Xi...XNparam]
, i = 1...Nparam avec gk(X) 0 , k
= 1...Ncontrainte
Il s'agit de minimiser simultanément
Nobjectf objectifs Fi(X), sous un
ensemble de Ncontrainte contraintes
gk(X). Le vecteur X représente l'ensemble des
Nparam variables de conception associées au
problème. Dans la formulation, on ne considère
que des contraintes d'inégalité. En effet, sans
perte de généralité, on remarque qu'une contrainte
d'égalité de type h(X) = 0 est
équivalente à deux contraintes d'inégalité
h(X) = 0 et -h(X) = 0.
Par ailleurs, tout problème défini en terme de maximisation peut
aisément se ramener à la formulation précédente au
prix de quelques transformations mathématiques.
L'union des domaines de définition de chaque variable
et les contraintes forment un ensemble E qu'on appelle l'ensemble des actions
réalisables. F est l'ensemble des objectifs réalisables.
La difficulté principale, de l'optimisation
multicritère, est liée à la présence de conflits
entre les divers objectifs. En effet, les solutions optimales, pour un objectif
donné, ne correspondent généralement pas à celles
des autres objectifs pris indépendamment. De ce fait, il n'existe, la
plupart du temps, aucun point de l'espace de recherche oil toutes les fonctions
objectifs sont optimales simultanément. Ainsi, contrairement à
l'optimisation monocritère, la solution d'un problème
d'optimisation multicritère est rarement unique. Elle est
constituée de différentes solutions, représentant
l'ensemble des meilleurs compromis vis-à-vis des objectifs du
problème.
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