Etude d'une équation parabolique

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE. MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Université des Sciences et de la Technologie d'Oran

Département de mathématiques
Faculté des sciences

Présenté par: Dérigé par :

Soumia MAKASSI Khaled ZENNIR

2011-2012

Etude d'une équation Parabolique

Preparé par: Somia MAKASSI- Encadré par: Khaled ZENNIR

Département de mathématiques
USTO

Faculté des sciences

Juin 2012

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Table des matières

1	Préliminaire				1
	1.1		Qu'est qu'une équation différentielle partielle ?		2
			1.1.1 Equation différentielle ordinaire (EDO)		2
			1.1.2 Equation aux dérivées partielles (EDP)		2
			1.1.3 Classification des EDPs linéaires du second ordre		2
			1.1.4 Problème bien posé .		3
	1.2		Quelques notions autour des dérivées partielles		6
			1.2.1 Dérivées directionnelles .		6
			1.2.2 Les applications de classe C'		7
	1.3		Espaces métriques, espaces topologiques		8
			1.3.1 Norme, distance, topologie		8
			1.3.2 Continuité, complétude, compacité		10
			1.3.3 Espaces de Banach et ses propriétés		13
	1.4		Espaces fonctionnelle		13
			1.4.1 Les espaces L^p 13
			1.4.2 Espaces de Sobolev		15
			1.4.3 Les espaces L^p(0,T,X)		16
			1.4.4 Espace de Hilbert		17
2	Equation de la diffusion (Dans II1)				18
	2.1		Unicité d'une éventuelle solution		19
	2.2		Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables		21
3	Equation de chaleur en ii dimension (Dans II1^n)				26
	3.1		Modélisation et exemple		27
	3.2		Existence et unicité		27
			3.2.1 Formulation variationnelle		27
			3.2.2 Un résultat général		28
3.3		Applications		33
3.4		Propriétés qualitatives dans le cas parabolique		34
		3.4.1 Comportement asymptotique		34
		3.4.2 Principe du maximum		35
3.5		Propagation a vitesse infinie		37
3.6		Régularité et effet régularisant		37

Remerceiments
Je remercie dieu de m'avoir donner le courage d'accompli ce travail.
Remerciement profond a mes parents qui m'ont tant donné pour parvenir
au bout de mes études
A l'issus de ce modeste travail, je tiens a exprimer mes sincéres remerciements a :
-Mon encadreur : Mr. Khaled ZENNIR qui m'a porter beaucoup d'aide .
-Au jury qui ont bien voulue examiner mon travail et de l'apprécier a sa juste valeur.
-A tous les enseignants de l'USTO qui ont contribués a ma formation.
-A tous ceux qui m'ont aidé prés et de loin.
-A tous mes soeurs et mon frére et tous mes amis.

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