![](Etude-dune-equation-parabolique1.png)
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE.
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Université des Sciences et de la Technologie
d'Oran
Département de
mathématiques Faculté des sciences
Présenté par:
Dérigé par :
Soumia MAKASSI Khaled ZENNIR
2011-2012
Etude d'une équation Parabolique
Preparé par: Somia MAKASSI- Encadré par: Khaled
ZENNIR
Département de mathématiques USTO
Faculté des sciences
Juin 2012
2
Table des matières
1
|
Préliminaire
|
1
|
|
1.1
|
Qu'est qu'une équation différentielle partielle ?
|
2
|
|
|
1.1.1 Equation différentielle ordinaire (EDO)
|
2
|
|
|
1.1.2 Equation aux dérivées partielles (EDP)
|
2
|
|
|
1.1.3 Classification des EDPs linéaires du second ordre
|
2
|
|
|
1.1.4 Problème bien posé .
|
3
|
|
1.2
|
Quelques notions autour des dérivées partielles
|
6
|
|
|
1.2.1 Dérivées directionnelles .
|
6
|
|
|
1.2.2 Les applications de classe C'
|
7
|
|
1.3
|
Espaces métriques, espaces topologiques
|
8
|
|
|
1.3.1 Norme, distance, topologie
|
8
|
|
|
1.3.2 Continuité, complétude, compacité
|
10
|
|
|
1.3.3 Espaces de Banach et ses propriétés
|
13
|
|
1.4
|
Espaces fonctionnelle
|
13
|
|
|
1.4.1 Les espaces Lp
13
|
|
|
|
1.4.2 Espaces de Sobolev
|
15
|
|
|
1.4.3 Les espaces Lp(0,T,X)
|
16
|
|
|
1.4.4 Espace de Hilbert
|
17
|
2
|
Equation de la diffusion (Dans II1)
|
18
|
|
2.1
|
Unicité d'une éventuelle solution
|
19
|
|
2.2
|
Existence d'une solution par la méthode de
séparation des variables
|
21
|
3
|
Equation de chaleur en ii dimension (Dans II1n)
|
26
|
|
3.1
|
Modélisation et exemple
|
27
|
|
3.2
|
Existence et unicité
|
27
|
|
|
3.2.1 Formulation variationnelle
|
27
|
|
|
3.2.2 Un résultat général
|
28
|
3.3
|
Applications
|
33
|
3.4
|
Propriétés qualitatives dans le cas parabolique
|
34
|
|
3.4.1 Comportement asymptotique
|
34
|
|
3.4.2 Principe du maximum
|
35
|
3.5
|
Propagation a vitesse infinie
|
37
|
3.6
|
Régularité et effet régularisant
|
37
|
Remerceiments Je remercie dieu de m'avoir
donner le courage d'accompli ce travail. Remerciement profond a mes parents
qui m'ont tant donné pour parvenir au bout de mes études A
l'issus de ce modeste travail, je tiens a exprimer mes sincéres
remerciements a : -Mon encadreur : Mr. Khaled ZENNIR qui m'a porter beaucoup
d'aide . -Au jury qui ont bien voulue examiner mon travail et de
l'apprécier a sa juste valeur. -A tous les enseignants de l'USTO qui
ont contribués a ma formation. -A tous ceux qui m'ont aidé
prés et de loin. -A tous mes soeurs et mon frére et tous mes
amis.
iv
Notations
RN : L'éspace Euclidien avec la norme 1,51 =
1(si, s2)1 =
|
X N
i=i
|
)1/2
s2 :
i
|
a : Domaine borné de RN.
F, aa : Frontière topologique de a:
x = (xi, x2, · · ·,xN) : Point de
RN.
Vu : Gradient de u :
~ 0 ~
u; :::; @
ru = u :
@x1 @xN
Au : Laplacien de u est l'opérateur du second ordre sur
RN :
82 82
Au = div(Vu) = u + ::: + u:
@x2 @x2
1 N
q : Conjugué de p, c -- -- d :
D(a) : Espace des fonctions différentiable sur a 2
C"°(a) et a support compacte dans a. D'(a) : Espace de distribution .
11x1lx : La norme de x dans X .
1
p
:
II/11p = (11 I f(x)IP)
W1,P (a) = {u 2 LP (a) , Vu 2
(LP (a))N1 .
1
P :
= (Ilurp+ 11Vurp)
W 1;p
0(a) : La ferméture de D (a) dans WI-P (a). H :
Espace de Hilbert.
Hl0 = W 1;2
0 :
u : a X R#177; --> Rn. au
rat = at.
Opérateur de dérivation : Soit a un ouvert de IV ,
a 2 IT' et
f : a R,
alors :
f (X) ( a ( a In
Daf(x) = =axr ...axon axi axn f (x)
![](Etude-dune-equation-parabolique2.png)
Si X est un espace de Banach
I ~
fT
L1 (0, T ; X) = f : (0, T ) - X est mesurable ; f(t) p X dt <
oc :
0
I )
L°° (0, T ; X) = f : (0, T ) X est mesurable ;ess - sup
f(t) p X < oc :
tE(0,T)
Bx = {x E X; x < 1} : La boule unitée.
vi
Résumé
Dans ce mémoire on a essayé d'etudier un
probléme d'évolution dans le temps du type parabolique (Chaleur)
et de démontrer l'existence et l'unicité de la solution dans et
dans n , les principales propriétés qualitatives de la
solution de l'équation de la chaleur dans n, notamment les
propriétés de régularité, comportement asymptotique
pour les grandes valeurs de t , le principe maximum, propagation a vitesse
infinie.
![](Etude-dune-equation-parabolique3.png)
Introduction
Les équations aux dérivées partielles,
qui seront notées en abrégé "EDP" dans la suite,
constituent une branche importante des mathématiques appliquées.
Elles sont utilisées dans la modélisation de nombreux
phénomènes de natures différentes.
Le but principal de résoudre ces équations est
d'essayer d'apprendre quelques informations sur le processus physique que
l'équation est estimée a modéliser. Il est de base a
l'importance des équations différentielles que même les
plus simples équations correspondent aux modèles physiques
utiles. La compréhension d'un processus complexe par nature, est
généralement réalisée en combinant on constituant
sur des modèles plus simples et plus fondamentales. Ainsi, une
connaissance approfondie de ces modèles, les équations qui les
décrivent, et leurs solutions, est la première indispensable
étape vers la solution des problèmes plus complexes et
réalistes.
Les équations aux dérivées partielles
avec le temps t en tant qu'une des variables indépendantes forment des
équations d'évolutions en temps (Hyperboliques et paraboliques),
elles résultent non seulement de beaucoup de champs des
mathématiques, mais également d'autres branches de la science
telles que la physique, la mécanique et la science des matériaux.
Par exemple, équations de Navier-Stokes et d'Euler de la
mécanique liquide, équations de réaction-diffusion des
transferts thermiques et sciences biologiques, Klein....
Dans ce mémoire nous allons montré quelques
éclairassions sur l'équation de chaleur (Chapitre 3), on nous
allons commencé le travail par une discussion et développement du
cours pédagogique des EDPs pour le parcours de licence en
mathématique appliquées (Chapitre 2 - équation de la
diffusion dans ), et nous allons essayé de le compléter, pour
nous nous retrouver dans une étude approfondie d'un problème
mathématique relativement simple, c'est le prolongement en dimension ii
dans le problème pour les conditions aux limites de Dirichlet suivante
:
8
<>>
>>:
|
@ u(x; t) - Iu(x, t) = f(x, t), avec x E ~
@t
u(x, t) = 0, avec x E %1 u(x, 0) = u0(x); avec x E
~
|
(1)
|
Le problème aux limites (1) modélise
l'évolution de la températeure u (x; t) dans un corps
ther- miquement conducteur qui occupe de domaine ~. La distribution de
température initiale, a t = 0
![](Etude-dune-equation-parabolique4.png)
est donnée par la fonction u0. Sur le bord 9 du corps
considéré, la températur est maintenue a une valeur
constante, utilisée comme valeur de référence (c'est la
condition de Dirichlet homogène u (x; t) = 0sur 9 x 1+). Les sources de
chaleur sont modélisées par la fonction donnée f = f (x,
t). Notons que les variables x 2 ett 2 1+ jouent des roles très
différents dans(1) puisqu'il s'agit d'une équation aux
dérivées partielles du premier ordre en t et du deuxième
ordre en x (le Laplacien ne porte que sur la variable spatiale).
Indiquons qu'il existe d'autres origines physiques du
système (1). Par exemple, (1)modélise aussi la diffusion d'une
concentration u dans le domaine , ou bien l'évolution du champ de
pression u d'une fluide s'écoulant dans un milieu poreux (système
de Darcy), ou encore la loi d'un mouvement brownien dans le domaine . On peut,
bien sür, associer d'autres conditions aux limites a l'équation de
la chaleur (par exemple, une condition de Neumann homogène si la paroi
du corps est adiabatique).
Une première généralisation
évidente de l'équation de la chaleur s'obtient lorsque l'on
remplace le Laplacien par un opérateur elliptique du deuxième
ordre plus générale cette généralisation se
roncentré, par exemple, si on étudie le propagation de la chaleur
dans un matériau non homogène ou en présence d'un effet
convectif
Il y a d'autres problèmes du même type, mais dans
des conditions diffi ciles comme le cas non linéaire on au moine semi
linéaire en prenant en considération les effets d'amortissement.
Laissons ce projet devrait être achevé en master en utilisant les
connaissances acquises est en mesure d'aller plus loin que ce la.
Plan de mémoire
On a structuré ce mémoire en trois grands chapitres
:
Chapitre0l :
Dans ce premier chapitre on rassemble toutes les notions et
résultats de base que nous utiliserons par la suite. Ces notions et ces
résultats représentent un outil important pour l'étude de
ce type de problème.
Chapitre02 :
Ce chapitre traite l'une des premières équations
aux dérivées partielles mises en évidence (Equation de la
diffusion dans 1).
Chapitre03 :
Dans ce dernier chapitre on traite un exemple un peut plus
compliqué de problèmes d'évolutions de type parabolique.
Il s'agit d'une équation de chaleur dans 1n.
Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions
essentielles, de même quelques résultats fondamentaux, qui
concernent les espaces métriques, topologiques, les espaces
II (~) , les espaces de Sobolev, espaces fonctionnelles et d'autres
théorèmes classiques. Ces notions et ces résultats
représentent un outil utile pour l'étude de ce type de
problème.
1.1 Qu'est qu'une equation diiferentielle partielle
?
1.1.1 Equation differentielle ordinaire (EDO)
Definition 1.1.1 Une équation diférentielles
ordinaires est une relation du type
F (X, U(X), til(X), u"(x), ...,
u(n)(x) = 0,
entre la variable x 2 R et les dérivées de la
fonction inconnue u au point x. La fonction F est une fonction de plusieurs
variables (x, y) i--p F(x, y) ou x est dans IR et y = (yo, .., yn)
est dans 118n+1.
1.1.2 Equation aux derivees partielles (EDP)
L'étude d'une équation aux dérivées
partielles est de mettre en jeu des fonctions de plusieurs variables
(x,y,---) '--' u(x,y,---)-
Definition 1.1.2 Une EDP est alors une relation entre les
variables et les dérivées partielles de u. Definition 1.1.3 Soit
Q = ]a, b[ x ]c, d[ dans 1182, et
f : Q c IR.2 --> I[8
une application. Soit (x0, yo) 2 Q, et
f1 :]ci;b[ -->I18
l'application définie par
fi (x) = f (x, yo) :
On dit que f admet une dérivée partielle par
rapport a la première variable en (x0, yo) lorsque fi est
dérivable en x0. On note Oif (x0, yo) ou encore Ox f (xo, yo)
le nombre II. (xo) .
De la même manière, si elle existe, on note (92f
(x0, yo) la dérivée partielle de f par rapport a la
deuxième variable en (x0, yo) :
1.1.3 Classification des EDPs lineaires du second ordre
Ce paragraphe est destiné a distinguer trois types
d'équations, qui se révèlent différentes tant du
points de vue mathématique (propriétés des solutions,
méthodes de démonstration) que physique. Etudions le cas des EDP
dépendant de deux variables réelles.
Definition 1.1.4 L'équation aux dérivées
partielles donnée :
02u 02u 02
a u 0u 0u
0x2 +b0x0y +c0y2 + a0x + /30y + -yu =
F(x,y) (1.1)
est dite de type :
- Hyperbolique lorsque
A = b2 -- 4ac > 0,
- Parabolique lorsque
A = b2 -- 4ac = 0,
- Elliptique lorsque
A = b2 -- 4ac < 0,
oft A = b2 -- 4ac est la discriminant de
l'équation (1.1).
1.1.4 Probleme bien pose :
Considérons les équations différentielles
linéaires homogènes a coefficients constants. Pour
l'équation
anu(n) (x) +
an_1u(n-1) (x) + .. + a1u' (x) + .. +
aou (x) = 0, (1.2)
on rappellera plus loin que l'ensemble des solutions est un
espace vectoriel de dimension n : la solution générale
dépend de n constantes (n est l'ordre de l''equation). On obtient une
solution unique lorsque l'on fixe n conditions supplémentaires du
type
u(0) = y0, u0(0) = y1, .., u(n-1)(0) = yn-1 (1.3)
oil y0;y1, .., yn-1 sont n réel fixés.
Le problème qui consiste a résoudre
l'équation(1.2) sous la condition(1.3) porte le nom de problème
de Cauchy. Cependant lorsque les EDP proviennent de la modélisation d'un
phénomène du monde réel, les solutions
intéressantes sont celles qui satisfont certaines conditions
supplémentaires.
Il y a bien d'autres sortes de contraintes que l'on rencontre
très souvent, par exemple :
- Des conditions aux bords
On connait l'état du système que l'on veut
d'écrire aux bords
- Des conditions de régularité :
Les solutions doivent etre suf fisamment différentiables,
au moins pour que l'équation ait un sens.
- Des conditions initiales
On connait l'état du système que l'on veut
d'écrire a l'instant t = 0 et il s'agit de décrire son
évolution dans le temps.
- Des conditions de comportement a l'infini.
- Des conditions de stationnarite.
Definition 1.1.5 Soit f une fonction définie sur R,
27--périodique et continue par morceaux. On
appelle série de Fourier de f la série
trigonométrique dont les coefficients (appelés coefficients de
Fourier de f ) vérifient :
a. Cn = 2ir 1
|
2ir
f
0
|
f (x) e-inxdx Vn E Z
|
b. a0 = 12i
|
2ir
f
0
|
f (x) dx
|
1
an = ir
|
2ir
f
0
|
f (x) cos nx dx Vn > 1
|
c. bn = 1i
|
2ir
f
0
|
f (x) sin nx dx Vn > 1
|
Definition 1.1.6 La formule sommative de poisson s'obtient
facilement par développement en série de Fourier de la fonction
indéfiniment dérivable et 2l--périodique définie
avec a > 0 par :
0 (u) =
|
+ 1
E
n=--c
|
e(-a(u-2n02)
|
puisque la fonction 0 est développable en série de
Fourier on obtient la formule sommative de poisson suivant :
+ 1
E
n=--c
|
e(-a(u-2n02)
|
X+ 1
= \/ '
4al2 (_ k271-2 ) i ik7ru \
e 4a12 ek / i
k=--c
|
et la forme utilisée dans le calcul mené plus haut
en résulte en faisant u = x -- y et a =
14upt. Soit V un espace de Hilbert
Definition 1.1.7 Soit A une application linéaire continue
de V dans V . On appelle valeur propre de A un réel A E R tel qu'il
existe un élément non nul x E V qui vérifie
Ax = Ax.
Un tel vecte3ur x est appelé vecteur propre associé
a la valeur propre A.
Theoreme 1.1.1 Soit A une application linéaire continue de
V dans V , il existe une unique application linéaire continue
A*de V dans V, dit adjoint , telle que
(Ax, y) = (x, A*y) Vx.y E V
Definition 1.1.8 Soit A une application linéaire continue
de V dans V. On dit que A est autoadjointe si elle coincide avec son adjoint
c'est-d-dire que
A* = A
Definition 1.1.9 Oit A une application linéaire continue
de V dans V. On dit que A est définie positive si
(Ax; x) > 0 pour tout x E V non nul
Definition 1.1.10 On considere une forme bilinéaire a (.,
.) symétrique continue et coercive, c'esta-dire que que a (w, v) = a (v,
co), et il existe M > 0 et v > 0 tels que
1a (w, v)1 < M IlcIli IlvIli, pour
tout w, I/ E V
et
a (v, v) > v IlvIl2V pour tout v E V.
nous introduisons nouvel ingrédient, a Nous faisons
l'hypothese fondamentale suivante
· (1.4)
(V C H avec injection compacte V est dense dans H
Injection compacte : veut dire précisément que
l'opérateur d'inclusion I qui a v E V associe I v = v E H est continu et
compact . Autrement dit, l'hypothese (1.4) implique que tout suite borné
de V on peut extraire une sous-suite convergente dans H. Les espace H et V ne
partagent pas le méme produit scalaire . Nous considérons le
probleme variationel de valeurs propres suivant : trouver A E IR et u E V \ {0}
tels que
a (u, v) = A (u, v)H Vv E V. (1.5)
On dira que est une valeur propre du probleme variationel (1.5)
et que u est le vecteur propre associé
Théoreme 1.1.2 Soit V et H deux espace de Hilbert
réels de dimension infinie. On suppose que V C H avec injection compact
et que V est dence dans H. Soit a (., .) une forme bilinéaire
symétrique continue et coercive sur V . Alors les valeur propre de(1.5)
forment une suite croissante (Ak)k>i de réels positifs qui
tend vers l'infini, et il existe une base hilbertienne de H
(uk)k>i de vecteurs associés, c'est-d-dire que
uk E V, et a (uk; v) = Ak (Uk)v)1 V7) E
V.
de plus (Uk\\/Ak)k>1est une base hilbertienne de V
pour le produit scalaire a (., .)
Théorème 1.1.3 Soit V un espace de Hilbert
réel de dimension infinie et A une application linéaire continue,
définie positive , auto-adjoint , compact de V dans V Alors les valeurs
propres de A forment une suite (Ak)k>lde réel strictement
positive qui tend vers 0, et il existe une base hilbertienne (uk)k>1 de V
formée de vecteurs propres de A avec
Auk = Akuk pour k ~ 1
Remarque 1.1.1 La décomposition spectrale de tout
élément v 2 V
v = X+ 1 (v; uk) uk avec kvk2 =
X+ 1 jhv; ukij2
k=1 k=1
Théorème 1.1.4 (Fubini)
On suppose que F 2 L1 ( 1 x 2). Alors, pour
presque tout x 2 i,
fF (x, y) 2 L1 y ( 2) et
|
F (x,y)dy 2 L1 x ( 1)
|
~2
De même, pour presque tout y 2 2,
fF (x, y) 2 L1 x ( i) et
|
F (x,y)dx 2 L1 y ( 2)
|
~1
De plus on a
Z fdx fF (x, y) dy = fdy
~1 ~2 ~2 ~1
ffF (x, y) dx =
(1iX12)
F (x,y)dxdy
Théorème 1.1.5 (de Rellich)
Si est un ouvert borné régulier de classe
C1, alors de toute suite bornée de H1 ( ) on peut
extraire
une sous suite convergente dans L2 ( ) (on dit que
l'injection canonique de H1 ( ) dans L2 ( ) est
compacte).
1.2 Quelques notions autour des dérivées
partielles
1.2.1 Dérivées directionnelles :
Soit
f : -* R
une application, (x0, yo) un point de et u = (ui, u2) un vecteur
de R2.
On appelle dérivée directionnelle de f en (x0, yo)
dans la direction de u la dérivée en s = 0, si elle existe, de la
fonction d'une variable
fu : s --> f(xo, yo) + su).
On la note alors
auf(xo, yo).
1.2.2 Les applications de classe Ck
Soit S2 un ouvert non vide de Rn, pour tout
k E N = N U {-oo},
on définit l'espace Ck(Q) comme suit :
Ck(Q)={f : 5 ----> 1 ou C : Daf E
C(Q),Va E Nn; < k} .
Autrement dit : une fonction
f : S2--> R;
est dite de classe Ck sur S2 si toute ses
dérivées partielles jusqu'a l'ordre k existent et sont
continues. Ck(Q)=f:S2 ----> 1<8
oft C : f E Ck(Q), et toutes les
dérivées partielles l'ordre k se prolonge continument a Q.
C°") = krOCk (Q)
et
C°") = krOCk
(Q).
Théorème 1.2.1 Si f est de classe C2
dans Q, alors on a :
ayf =@2 yxf; dans SI
On note aussi les dérivées secondes
82!
|
|
82!
|
|
|
|
,9x2 '
|
Oxoy ' :::
|
1.3 Espaces métriques, espaces topologiques
1.3.1 Norme, distance, topologie
Définition 1.3.1 Soit X un espace vectoriel réel,
une norme sur X est une application x '~p kxk de X dans II1+, telle
que :
(N1) kxk = 0 , x = 0.
(N2) AxM = jAj kxk , Vx 2 X, VA 2 II1.
(N3) x + yM < x + MyM ,Vx,y 2 X (inégalité
triangulaire ).
Définition 1.3.2 Soit X un espace vectoriel réel,
un espace normé est un couple (X, k.k) , oh k.k est une norme sur X.
Notation 1.3.1 On note parkxkX la norme de x dans
X.
Définition 1.3.3 Soit X un ensemble non vide. Une distance
sur X est une application
(x,y) i~p d(x,y)
de X x X dans II1+ telle que :
(131) d (x,y) = 0 '~i x = y.
(132) d (x,y) = d (y,x) ,Vx,y 2 X.
(133) d (x, y) < d (x, z) +d (y, z), Vx, y, z 2 X
(inégalité triangulaire).
Définition 1.3.4 Un espace métrique est un couple
(X, d), ot d est une distance sur X.
Définition 1.3.5 Soit (X, d) un espace métrique.
Pour x 2 X et r > 0, on définit :
1- La boule ouverte de centre x et de rayon r est :
B (x,r) = {y 2 X, d(y,x) < r}. (1.6)
2- La boule fermée de centre x et rayon r est :
B (x,r) = {y 2 X, d (y,x) ~ r}. (1.7)
3- La sphere de centre x et rayon r est :
S (x,r) = {y 2 X, d(y,x) = r}. (1.8)
Definition 1.3.6 Soit (X, d) un espace métrique. Par
définition, une partie U de X un ouvert si pour tout x 2 U, il existe un
r > 0 tel que B(x, r) c U.
Definition 1.3.7 Soit (X, d)un espace métrique. Un
ensemble F C X est fermé si son complémentaire FC est
ouvert.
Proposition 1.3.1 On a
- Pour tout x 2 X et r > 0, B(x;r)est un ouvert.
- Si U est un ouvert, Vi 2 I, alors U
i El
|
U est un ouvert.
|
- Soit ii 2 N , si U est un ouvert, i = 1, .., ii, alors
In U est un ouvert.
i=1
Proposition 1.3.2 On a
- Pour tout x 2 Xet tout r > 0, B(x; r) est un
fermé.
- Soit ii 2 N , si Fi un fermé, i = 1, .., ii, alors
Sn Fi est un fermé.
i =1
- Si Fi est un fermé, Vi 2 I, alors fl
iEI
|
Fi est un fermé .
|
Definition 1.3.8 Soient E un ensemble quelconque et P (E) la
famille de toutes les parties de E . On dit qu'une sous famille r de P (E) est
une topologie sur E si elle satisfait les trois conditions suivantes :
(A1) E 2 T, 0 2 r.
(A2) -i- est stable par réunion (fini oIl non)
c'est-à-dire :
|
U
8 (cj), El c r :
|
~i 2 ji-. (1.9)
|
.
|
i El
|
|
(A3) -r est stable par intersection finie c'est-à-dire
:
fl
8 (~j)i 2J C r :
j EJ
|
~i 2 ji-. (1.10)
|
Le couple (E, -r) s'appelle espace topologique. les
éléments de r sont dits ensembles ouverts de(E, r).
Definition 1.3.9 On appelle voisinage d'un point x de l'espace
topologique E tout sous ensemble de E contenant un ouvert contenant x et
noté V (x) .
Definition 1.3.10 On appelle intérieur d'un sous ensemble
A de E , la réunion de tous les ouverts contenus dans A, autrement dit
le plus grand ouvert contenu dans A et noté A.
Definition 1.3.11 On appelle adhérence d'un sous ensemble
A de E , l'intersection de tous les fermés qui contient A, autrement dit
le plus petit fermé qui contient A et noté A.
Definition 1.3.12 La frontiêre d'un ensemble A de E est
l'ensemble des points x dont tout voisinage V contient au moins un point de A
et un point de Ac. C'est-à-dire
Fr (A) = A n Ac.
Definition 1.3.13 L'extérieur d'un sous ensemble A qui
noté E (A) est définie par
Ex(A) = (A~c .
1.3.2 Continuité, complétude,
compacité
Définition 1.3.14 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques. Une application
f : X --- Y
est continue au point a E X, si pour tout € > 0, il
existe 8 > 0 tel que
D (f (x),f (y)) < (1.11)
des que
d (x,y) < 8 (1.12)
On dit aussi que a est un point de continuité de f.
f est continue si f est continue en tout point de X.
L'ensemble des fonctions continues de (X, d) vers (Y, D) est
noté C ((X, d) , (Y, D)) ofi tout simplement C (X, Y ).
Proposition 1.3.3 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques et
f : (X,d) --- (Y, D).
Une application alors f est continue en point a E X si et
seulement si pour toute suite (Un) converge vers a donc la suite f
(Un) converge vers f (a).
Théorème 1.3.1 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques et
f : (X,d) -- (Y, D).
Une application, alors les assertions suivantes sont
équivalentes :
i) f est continue sur X
ii) L'image réciproque par f de tout ouvert de Y est
ouverte dans X.
iii) L'image réciproque par f de tout fermé de Y
est fermée dans X.
Proposition 1.3.4 Soient (X,k:kX) , (Y,k:kY
) deux espaces normés, et f application linéaire
f : (X,k:kX) ~! (Y , k:kY )
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) f est continue.
b) f est continue en 0.
c) il existe c > 0, tel que
kf (x)k, cMxMx ,Vx 2 X,
si de plus est de dimension finie, alors toute application
linéaire
( )
f : (x, kkx) ~! x, kky
est continue.
Definition 1.3.15 Soit (X, d) un espace métrique, une
suite (xn) 2 X est de Cauchy si et seulement si pour tout €
> 0, il existe m0 > 0, tel que d (xn, Xm) < des
que ii, m ~ m0.
Proposition 1.3.5 On a
a) Si (xn) est une suite convergente alors
(xn) est une suite de Cauchy .
b) Une suite de Cauchy a au plus une valeur
d'adhérence.
c) Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle a une
valeur d'adhérence.
Definition 1.3.16 Soit (X, d) est un espace métrique.
* Une partie A de X est bornée s'il existe a 2 X et r >
0 tels que
d (a,x) _< r, Vx 2 A.
* Une suite (xn) C X est bornée s'il existe a 2
X et r > 0 tels que
d (a,xn) < r, Vm 2 N.
Proposition 1.3.6 Une suite de cauchy est bornée.
Definition 1.3.17 Un espace (X, d) est complet si et seulement si
toute suite de Cauchy (xn) 2 X est convergente.
Soient (X, d) un espace métrique et A C X.
Proposition 1.3.7 On a
a) Si (A, d) un espace complet, alors A est un fermé de X
.
b) Si (X, d) un espace complet et A est un fermé de X,
alors (A, d) est complet.
Corollaire 1.3.1 Dans un espace métrique A, A complet () A
est fermé. Definition 1.3.18 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métriques et
f : X ~- Y
est bornée si son image f (x) est bornée.
Cb (X, Y ) = {f : (X, d) - (Y, D) , f est continue et
bornée} Proposition 1.3.8 Si (Y, D) un espace complet, alors Cb (X, Y )
est un espace complet.
Definition 1.3.19 Un espace (X, d) est compact si et seulement si
pour tout recouvrement ouvert (Ui)i 2I de X,
(i.e.Uiouvert et X = Ui 2iUi ), on peut extraire un
sous recouvrement finie c'est-à-dire il existe une famille J c I tel
que
UX = Uj.
j EJ
Corollaire 1.3.2 Un espace (X, d) est compact si et seulement si
pour tout famille fermé (F j)j 2I de X, telle que
il existe une famille finie J c I , telle que
flj EJFj = ø.
Definition 1.3.20 Un espace métrique (X, d) est compact si
et seulement si toute suite (xn) c X admet une sous suite
convergente.
Proposition 1.3.9 Soit (X, d) un espace compact, et A c X, alors
A est compact si et seulement si A fermé dans X.
Proposition 1.3.10 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces
métrique, f est une application continue de X dans Y . Si X est compact,
alors f (X) est un compact.
Proposition 1.3.11 Un espace compact est bornée et
complet.
Definition 1.3.21 Soit (X, d) un espace métrique, une
partie A de X est relativement compact si et seulement si toute suite de A
admet une valeur d'adhérence dans X.
1.3.3 Espaces de Banach et ses propriétés
Définition 1.3.22 Un espace (X, k:k) est de Banach si et
seulement si X est complet pour la distance associe a k:k.
Proposition 1.3.12 Si (X, d) est un espace métrique et (E,
k:kE) est un espace de Banach, alors Cb (X, Y ) est un espace de
Banach.
Proposition 1.3.13 Si (X, k:kX) est un espace
normé et (Y, k:kY ) un espace de Banach, alors L (X, Y ) est
un espace de Banach.
1.4 Espaces fonctionnelle
1.4.1 Les espaces Lp
On donne ici quelques définitions et
propriétés élémentaires.
Définition 1.4.1 Soit un ouvert de 1n et 1 <
P < oc, on définit L (~) un espace de Lebesgue par:
LP (~) =
|
8
<
:
|
ff : ~ ~! 1n, f est mesurable et
~
|
jf (x) P dx < 1
|
9
=
;
|
: (1.13)
|
pour P = 1 et 0 < P < 1 , on définit f par:
0 j Mf M = @jf (x) P dx
~
|
1 P
|
:
|
(1.14)
|
Si P = oc, nous avons :
L°° (~) = (f : ~ ~! 1, f
)
est mesurable, il existe une constante C telle que jf (x)j ~ C
p.p sur l
|
:
|
On note
kfk°° = inf {c, jf (x)j ~ c}
Théorème 1.4.1 (Inégalité de
Holder).
Soit f 2 L" (~) et g 2 L" (~) avec 1 P 1 ,alors f g 2
L1 (~) et
I jf gj ~ Mf M MgMq :
Corollaire 1.4.1 (Inégalité de Schwartz)
Soit f et g deux fonctions mesurable de X dans [0, +oo] . Alors
:
I If gl Vf2 Vg2
Théorème 1.4.2 (Inégalité de
Minkowski)
Soit pE 11, +o[, et soient f et g des fonction mesurables de x
dans [0, +oo] . Alors :
I ((f + 03)' < (I fP)
|
1 P
|
#177; (IgP)
|
1 P
|
Théorème 1.4.3 (Ficher-Riesz)
LP est un espace de Banach pour tout 1 < p <
1
Théorème 1.4.4 LP est un espace
vectoriel et 11.16 et une norme pour tout 1 < p < 00.
=
1 p
+
1 q
-- 1 > 0. Alors
Théorème 1.4.5 (Inégalité de
Young)
![](Etude-dune-equation-parabolique5.png)
Soient f 2 LP (118) et g 2 Lq (118) avec 1
< p < 1 ,1 < q < 1 et 1
f *g 2 Lr (118) et 1f *gh,r(R) Mf IILP(R) Iglyi(R)
.
Lemme 1.4.1 (de Gronwall)
Soient :
0 une fonction 2 L°° (0, T ), 0 (t) > 0,
p.p,t 2 [0, T ]. ,u une fonction 2 L1 (0, T ) , ,u(t) > 0, p.p, t
2 [0, T ]. On suppose
0 (t) <
|
t
I
0
|
,u (s) 0 (s) ds + C, p.p.t 2 [0, T ] . (C = constante) .
|
Alors
![](Etude-dune-equation-parabolique6.png)
t
0 (t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t 2 [0, T ] .
0
On désigne par (f, g) le produit scalaire dans
L2 (a), i.e.
et également le produit de dualité entre f 2
D'(1) (espace des distributions sur a) et g 2 D(1) (espace des
fonctions C 'sur a et a support compact dans a).
Théorème 1.4.6 LP (Q) est un espace de
Banach muni de la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 1
.
1.4.2 Espaces de Sobolev
On introduit l'espace H m (a) comme étant
l'espace des fonctions v 2 L2 (a) dont toutes les
dérivées partielles d'ordre inférieure ou égale m
-prises au sens des distributions sont dans L2 (a). Ces espaces
jouent dans analyse des équations aux dérivées partielles
un role fondamental.
Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H m (a)]
Définition 1.4.2 Soit a est un ouvert non vide de
Rn, et m 2 N. On appelle espace de sobolev d'ordre m sur a
l'espace
Hm (a) =
|
8
<>
>:
|
u 2 L2(a) : Dau 2 L2(a)
#
calcules au sens des distributions
|
,Va 2 Nn; ja < m
|
9
>=
;>
|
Remarque 1.4.1 Pour m = 1,
H1 (a) =
|
8
<>>>
>>>:
|
@u
u 2 L2(a) : 2 L2(a)
@xi
#
calcules au sens des distributions
|
,1 i ~ m
|
9
>>>=
;>> >
|
et la norme associée a ce produit scalaire
0 1
f
@
kuMH m(~) = Dau (x)j2 dx A
jaj<mf
|
1
2
|
0 1
@ X
= MDauM2 A
2
jj~m
|
1
2
|
: (1.15)
|
Définition 1.4.3 On introduit ensuite :
H1 0(a) = adhérence de D(a) dans H 1
(a)
= sous-espace deH 1 (a) des fonction "nulles" sur [1 =
@a: (1.16)
Théorème 1.4.7 (Formule de Green) pour tout u 2 H
2 (a) , v 2 H 1 (a) on a
f-
|
ZLuv dx =
~
|
ZVu Vv dx -
~
|
@u v dO (1.17)
@~
|
@u
ot @~
est la dérivée normale de u a 11' dirigée
vers l'extérieur .
Theoreme 1.4.8 (de trace)
Soit Q un ouvert borné régulier de classe
C1, ou bien Q = 11:k. On définit l'application trace 7o :
H1 (Q) n C (Q) -p L2 (0Q) n C (0Q) v -->
70 (v) = v Ian .
Cette applicatipon 7o se prolonge par continiuité en
une application linéaire continue de H1 (Q) dansL2
(0Q) , notée encore 70. En particulier, il existe une
constante C > 0 telle que, pour toute fonction v 2 H1 (Q), on
a
IlvIlL2(an) C C IvIH1(n)
Theoreme 1.4.9 Si Q est une ouvert borné régulier
de classe C", ou bien si Q = 118_1`FT, alors
Cr (Q) est dense dans Hm (Q)
Theoreme 1.4.10 Si Q est un ouvert régulier de classe
C1, et si m > N2 , alors Hm (Q) est un sousespace de
l'ensemble C (Q) des fonction continues sur Q.
1.4.3 Les espaces LP(0, T, X)
Definition 1.4.4 Soit X un espace de Banach, on désigne
par LP (0, T, X) l'espace du fonction
mesurable :
f : ]0,T [ 1-- X
(1.18)
t' f (t)
U
tel que
)1
Ilf (t)111;dt P = 1f1LP (0,T,X) < o,
(1.19)
pour tout 1 < P < 1
0f
Lemme 1.4.2 Soit f 2 LP (0, T, X) et 2 LP
(0, T, X), pour 1 < P < oo, nous avons f
continue de [0, T ] dans X , c'est-d-dire f EC 1 (0,
T, X) .
1.4.4 Espace de Hilbert
Définition 1.4.5 Est un un espace vectoriel X muni d'un
produit scalaire (u, v) et qui est complet
dans tout la suite X désigne un espace de Hilbert
Proposition 1.4.1 X est uniformément convexe et donc
réfléxif.
Définition 1.4.6 On appelle base hilbertienne une
suite(e71)71>1d'éléments de X tels
que
je71 = 1 Vm, hem; e71) = 0 Vim; ii; im =6
n;
l'espace vectoriel engendré par les
(e71)71>1 est dense dans X
Théorème 1.4.11 Tout espace Hilbert
séparable admet une base hilbertienne.
Proposition 1.4.2 Théorême 1.4.12 Soit X est un
espace de Hilbert pour le produit scalaire (,). Soit (e71)71>1
une base Hilbertienne de X. Pour tout élément x de X, il existe
une unique suite
(x71)71>1 de réels telle que la somme partielle
Pp x71e71 converge vers x quand p tend vers l'infini, et
n=1
celle suite est définie par x71 = (x, e71), de plus on
a
Xkxk2 = (x; i) =
71>1
On écrit alors
|
jhx; enij2 :
|
Définition 1.4.7 - Théorême 1.4.13
Proposition 1.4.3
Chapitre 2
Equation de la diffusion (Dans R)
On cherche une fonction u(t, x) du point d'abscisse x, au temps
t, u E C2 ([0,1] x [0, T]) solution
8
<>>>
>>>:
du problème
a 82
u(x; t) - 'yax2 L(x, t) = 0, avec x E [0, 1] @tc
u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x,0) = f (x), avec x E [0,1]
|
(2.1)
|
Les constantes C et 'y désignent la capacité et la
conductivité thermiques d'une barre.
2.1 Unicité d'une éventuelle solution
Il y a deux méthodes pour montrer l'unicité de
solution, on suppose donc que l'on a deux solutions uiet u2 de
l'équation de la chaleur, vérifiant la même condition
initiale et les mêmes conditions aux limites.
On pose alors U = ui -- u2 et l'on a donc :
U (X, 0) = f (x) , (2.2)
et
U(0, t) = U(/,t) = 0. (2.3)
Première méthode
On posera
!2 = 7
C'
on multipliant (2.1) par u :
aU82u
(X; t) U (X; t) = (.02Ox2 (X; t) U (X; t) ,
at
et en l'intégrant par rapport a x sur [0,11 :
i
I
0
|
@U@t (x't) U (x, t) dx = co2
|
i
I
0
|
a2
0x2 (x, t) U (x, t) dx.
|
Le premier membre apparait comme une dérivée et
l'on peut intégrer par parties le second membre en tenant compte du fait
que U (0, t) = U(1, t) = 0, ce qui donne :
1
2
|
a at
|
i I
0
|
U2 (x, t) dx =--cwt
|
i I
0
|
(au (x' t)) 2 dx <
0. ox
|
Cela prouve que la fonction t --p
|
1
f
0
|
U2 (x, t) dx est décroissante.
|
Comme elle est nulle en 0 et visiblement a valeurs positives,
elle est donc nulle, ce qui implique la nullité de U et
l'égalité ui = u2.
Seconde méthode
On va utiliser ici le principe du maximum.
Considérons un nombre réel strictement positif E et
la fonction :
u,(x,t)=u(x,t)+Ex2,
qui verifie :
2 2
aUE
(X' t) -- W2 8x(x1 t) at = au
(x1 t) w2(98
ot 8x2 (X' t) -- 2EW2 =
--2EW2.
Sur le compact [0, /] x [0, T] on T > 0, elle admet un
maximum, atteint en un point (x0, to) dont nous allons montrer qu'il est tel
que :
xo = 0 ou / avec 0 < to < T
ou tel que :
to = 0 avec 0 < xo < 1.
Si tel n'est pas le cas, on a en effet :
0 < xo <1 et 0 < to < T,
et la fonction x -p UE (x, to) atteint son maximum en
xo sur l'intervalle ouvert 10, l[ de sorte que l'on a les deux relations :
auE
at (x°' t°) = °'
a2uE
axe (xo, to) < O.
La fonction t -p UE(x0,t) atteint son maximum en to
sur l'intervalle 10, T[ de sorte que, en considerant sa derivee en to comme sa
derivee 6 gauche, on a par definition :
@U"
@t (xo, to) > O.
On alors, combinant ces deux inegalites :
aot UE 82(4
(x0, to) -- w2 (x0, to = --2E(.02 > 0.
Ox2
Cette contradiction prouve le resultat annonce, 6 savoir que
UE atteint son maximum necessairement sur l'un des trois bords
inferieurs du rectangle [0, /]x[0, 71]. Comme on sait que
UE (x, t) = U (x, t)+ Ex2 et que U est nulle sur les
trois bords inferieurs de ce rectangle, ce maximum de UE est donc
inferieur ou egale 6 Ell.
Il en resulte que le maximum de U sur ce meme rectangle, qui
est inferieur ou egal 6 celui de UE est lui -meme inferieur 6
E/2. Comme E est arbitraire, ce maximum de U est donc negatif et U
est donc 6 valeurs negatives sur le rectangle [0, /] x [0, 71] .
Par le même raisonnement, quitte a remplacer U par --U, on
voit que --U est aussi a valeurs négatives, et donc U a valeurs
positives, sur ce même rectangle.
Donc pour tout T ~ 0, U est nulle sur [0, l] x [0, T], donc sur
[0, l] x [0, +oc] et l'on a bien l'égalité U1 = U2.
2.2 Existence d'une solution par la méthode de
séparation des variables
On commence par rechercher des solutions multiplicatives non
nulles de la forme
(x,t) - U (x)V (t). (2.4)
Ici, de telles solutions vérifient donc :
U (x) V ' (t) = w2U'' (x) V (t).
Puisque l'on recherche des solutions non nulles, il existe a
priori des nombres réels x0 et t0 pour les quels :
U (xo) =6 0 et V (t0) =6 0
On en déduit, quitte a fixer x = x0, puis t = t0,
l'existence de constantes Aet telles que l'on ait pour t ~ 0 et 0 x l
U'' (x) = AU (x) (2.5)
V ' (t) = V (t)
En reportant réciproquement dans l'équation, on
voit que, en fait :
,i = w2A
On a donc
V ' (x)
V (t)
= w2A (2.6)
et pour tenir compte des conditions aux limites, il faut enfin
bien sür que :
U (0) = U (l) = 0
Cela ramène a la résolution de deux
équations différentielles ordinaires, une premier ordre et une du
second ordre :
Pour (2.5)
p
r2 = ~ == = ~ j~j:
Si A > 0, on pose A = w2 = r2 ==' r =
#177;w, alors :
U (x) = Clewx + C2e~wx. D'après les
conditions aux limites on a :
Ux (0,t) = 0
=)
U' (0) = 0
=) cl - c2 = 0,
donc :
U (x) = Ci (ewx + ewx),
et
U' (1) = wCi (eu)l + e_u)l) = 0 == cl = 0
car
w (eu)t + e_u)t) =6 0
Dans ce cas il y a une infinité de solution
Si A = 0 == r = 0, alors on a :
U00 (x) = 0 =) U' (x) = a;
d'ofi :
U (x) = ax + b, U' (0) = 0 a = O.
Alors il n'y a pas de solution. Si
A < 0, A = --w2 = r2
r = #177;iVIA1
d'ofi :
U (x) = C3 cos (VIA1X) + C4 sin (VIAlx)
U' (x) = --VIA1C3 sin (VI)lx) + VINCI cos (VIAlx) Or
l'introduction aux conditions aux limites :
{
U (0, t) = U (0) V (t) = 0 U (1, t) = U (1) V (t) = 0
=)
f u (o) = 0
V (1) = 0
U' (0) = --VIA1C3 sin (0) + VIA1C4 cos (0) = C4 = 0
U' (1) = --VIA1C3 sin (\/1A1/) = 0 = sin (VIAll) = 0,
donc :
VIA1/ = rur A_ in7r 2
/ ) '
d'od :
n ~
U (x) = C3 sin l x
:
Pour (2.6)
17" (t) - w2AV (t) = 0
V (t)
V (t)
|
= w2A = In (V (t)) = c2At + k
|
V (t) = C5e2m, V (0) =
w2AC5eA° = f (x)
D'ofi
U (x; t) = C3 sin (n/7 x )
(C5e2A1 =
|
+ 00 E
n=1
|
. (wir _1 con71- \ 24-
Cn sin x) e k i i '.
|
La condition de Cauchy portant sur u(x, 0) sera formellement
vérifiée en choisissant les coefficients 1n tels que
:
f (x) =
|
00 E
n=1
|
rur
Cn sin ( 1 x) .
|
Un tel développement est celui d'une fonction impaire et
2/--périodique sur R, que l'on obtient en prolongeant la fonction f par
imparité sur [-1, /], puis par 2/-périodicité.
La fonction f ainsi prolongée est clairement continue,
de classe C1 par morceaux sur R. On en déduit qu'elle est
développable en série de Fourier et que sa série de
Fourier converge normalement vers f.
Si l'on pose donc :
U (x, t) =
|
+ 00 E
n=1
|
(/ wir i
w2n27,2t
Cn sin x) e /2 )
|
2
Cn = /
|
l I
0
|
f (y) sin wri
Ydy,
|
la série U est normalement convergente sur [0, 1] x [0,
+00] , donc continue, et l'on vérifie aisément, a l'aide des
théoremes sur les séries de fonctions, qu'une telle fonction est
de classe C2 sur [0, 1] x [0, +oo], les dérivations
s'effectuant terme a terme, ce qui permet de vérifier que la fonction
obtenue, qui vérifie les conditions initiale et aux limites, est
solution de l'équation de la chaleur.
On notera que la convergence normale de la série,
figurant ci-dessus sous le signe intégral, autorise la permutation des
symboles de sommation et d'intégration, de sorte qu'en utilisant les
formules de trigonométrie usuelle, on obtient les égalités
suivantes :
Z+ l
~l
f (y)
X+ 1 n=1
cos
( )
mir (x - y") ~ n2~2w2t
j2
e dy
l
1
U (x,t) = l
X+ 1 n=1
(
tnn(x-y) - n
ei e
dy.
)
2~2w2t j2
1
=
2l
f (y)
Z+ l
~l
Cela s'écrit également avec la formule sommative de
Poisson :
1
U (x, t) =
X+ 1 n=1
(x-y-2nl)2
e~ 4w2t dy.
Z+ l f (y)
~l
2w/irt
En effectuant alors, dans chaque intégrale, le changement
de variables
z = y - 2ml
on obtient enfin la formule suivante :
+1Z
~1
2w/irt
1
U (x, t) =
(x-z)2
f (z)e 4w2t dz.
On vérifie directement par dérivation sous
l'intégrale que U(x, t) est bien solution de (2.1).
Chapitre 3
Equation de chaleur en ri dimension
(Dans RTh)
Dans ce chapitre, nous étudions une équation de la
chaleur pour les conditions aux limites de Dirichlet suivante :
8
<>>
>>:
(3.1)
@ u(x; t) - Iu(x, t) = f(x, t), avec x E ~
@t
u(x,t) = O, avec x E 8
u(x, 0) = u0(x); avec x E ~
oil est un ouvert borné de Rn de
frontière 8, t ~ 0 et i le Laplacien dans Rn et la fonction
f(x,t) donnée.
Le problème aux limites (3.1) modélise
l'évolution de la températures u(x, t) dans un corps
thermiquement conducteur qui occupe le domaine ~. Par exemple, la diffusion
d'une concentration u dans le domaine , ou bien l'évolution du champ de
pression u d'un fluide s'écoulant dans un milieu poreux, ou encore la
loi d'un mouvement brownien dans le domaine ~.
Le plan de ce chapitre est le suivant : -démontrer
l'existence et l'unicité de la solution de l'équation de la
chaleur en utilisant a nouveau le concept de formulation variationnelle.
-Utiliser pour cela des bases hilbertiennes de fonctions
propres.
- Etudier certaines propriétés qualitatives des
solutions .
3.1 Modélisation et exemple
Soit Q un ouvert borné de RN de
frontière OQ. Pour des conditions aux limites de Dirichlet ce
8
<>>
>>:
au at
modéle s'écrit
-- Au = f dans Q x R+.
u = 0 sur OQ x R+.
u (x; 0 ) = u0 pour x E Q
3.2 Existence et unicité
Cette démarche se décompose en trois
étapes : premièrement, établir une formulation
variationnelle, deuxièment : démontrer l'existence et
l'unicité de la solution de cette formulation en utilisant une base
hilbertienne de fonctions propres, troisièmement : montrer que cette
solution vérifie bien le problème aux limites
étudiés
3.2.1 Formulation variationnelle
L'objectif dans cette action est de transformer l'équation
aux dérivées partielles dans(3.2) a une équation
différentielle ordinaire.
L'idée est d'écrire une formulation
variationnelle qui ressemble a une équation différentielle
ordinaire du premier ordre. pour cela nous multiplions l'équation de la
chaleur (3.2) par une fonction test v (x) qui ne dépend pas du temps
t.
@u@t
(x; t) v (x) -- Au (x; t).v (x) = f (x; t) v (x)
Nous obtenons donc par intégration par partie simple (sans
terme de bord)
I
|
atat (x; t) v (x) dx + I
n
|
V u (x; t) .V v (x) dx = f
n
|
f (x; t) v (x) dx . (3.3)
|
Comme ni Q ni v (x) ne varient avec le temps t, on peut
réécrire cette équation sous la forme
d
dt .1
n
|
u(x;t)v (x)dx + I
n
|
Vu (x; t) Vv (x) dx = f
n
|
f (x; t) v (x) dx.
|
Exploitant le fait que les variables x et t jouent des role
très diférents, nous séparons ces variables en
considérant désormais la solution u (t; x) comme une fonction du
temps t a valeurs dans un espace de fonctions définies sur Q (meme chose
pour f (t; x)). Plus précisément, si l'on se donne un temps final
T > 0 (éventuellement égal a + oo), on considère que u
est définie par
u : 10, T[ --p H10 (Q) t --p u (t)
et nous continuerons a noter u (x; t) la valeur u (t) (x). Le
choix de l'espaceH10 (a) est évidemment
dicté par la nature du probleme et peut varier d'un modele a un autre.
En général il s'agit de l'espace qui convient pour la formulation
variationnelle du probleme stationnaire associé. De même, le terme
source f est désormais considéré comme une fonction de t a
valeurs dans L2 (a).
On introduit alors le produit scalaire de L2 (a) et la
forme bilinéaire a (co, t) définis par
(co, v)L2 (SI) = I co (x) v (x) dx et a (co, v) =
I Vco (x)Vv (x) dx.
En choisissant la fonction test dans
l'espaseH10 (a), on peut alors mettre (3.3)sous la forme
d'une sorte d'équation diférentielle ordinaire en t. On obtient
ainsi la formulation variationnelle suivante : trouver u (t) fonction de]0, T[
a valeur dans H10 (a) telle que
SI SI
{ ddt (u (t) , v)L2
(SI) + a (u (t) , v) = (f (t) , v)L2 (SI) Vv E H10
(a) , 0 < t < T ~~~~~ .
(3.4)
u (t = 0) =
u0
Definition 3.2.1 Soit X un espace de Hilbert, ou plus
generalement, un espace de Banach defini sur a, typiquement :
X = L2 (a) , H10 (a) , ou C (a)
Soit un temps finale 0 < T < +oo. Pour un entier k >
0, on note Ck ([0, T] ; X) l'espace des fonctions k fois
continument derivables de [0, T]dans X. Si on note MvMx la norme
dans X, il est classique que Ck ([0, T] ; X) est un espace
de Banach pour la norme
MvMCk([0,7];X) =
|
k
E (0<tTT ddnt:11) (t) x)
m=0 - -
|
3.2.2 Un resultat general
Pour démontrer l'existence et l'unisité de la
solution de la formulation variationnelle(3.4), nous allons pouvoir ainsi
"diagonaliser"l'opérateur Laplacien et nous ramener a la
résolution d'une famille de simples d'équations
diférentielles ordinaires du premier ordre. On introduit
donc deux espaces de Hilbert V et H tels que V C H avec injection dense et
compacte. Typiquement on aura V = H10 (a) et H =
L2 (a) Theoreme 3.2.1 Soient V et H deux espace de Hilbert
tels que V C H avec injection compacte
et V est dense dans H. Soit a (u, v) une forme bilineaire
symetrique continue et coercive dans V . Soit un temps final T > 0,
une donnée initiale u0 E H et un terme source f E L2 (]0 ,
T[; H). Alors le probleme
f 1 (u(t),v)H + a(u(t),v) = (f
(t),v)H Vv E V, 0 <t <T ~~~
u (t = 0) = u0,
(3.5)
aK (t) = a0 e-AKt +
|
Zt 0
|
K (s) e-Ak(t-8)ds pour t > 0,
|
(oil l'equation de (3.5) a lieu au sens faible dans ]0, T[ ) a
une unique solution u E L2 (]0 ,T[;V )n C ([0 , T] ; H) .
De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne depend que de Q) telle que
MuM L2(]0 ,T[;V ) + MuMC([0 ,T];H) C C
(Mu0MHMfML2(]0 ,T[;H)) . (3.6)
Remarque 3.2.1 l'estimation d'energie (3.6)prouve que la solution
de (3.5) depend continument des donnees ,et donc que le probleme
parabolique (3.5)est bien pose au sens de Hadamard
Preuve (du théorème 3.2.1)
Cette démonstration est divisée en deux
étapes. Dans une première étape, en supposant l'existence
d'une solution u, nous obtenons une formule explicite pour u sous la forme
d'une série obtenue par décomposition spectrale des espace H et V
. En particulier, cette formule prouve l'unicité de la solution. Dans
une deuxième étape, nous démontrons que cette série
converge dans les espaces L2 (]0 , T[;V ) et C ([0 , T] ; H)
, et que la somme est bien une solution de (3.5) .
Etape 1. Supposons que u E L2 (]0 , T[;V ) n
C ([0 , T] ; H) est solution de (3.5). Les hypothèses permettent
d'appliquer le théorème(1.1.2) sur la résolution du
problème aux valeurs propres associé a la forme bilinéaire
symétrique a (u; v). Par conséquent, il existe une base
hilbertienne (uK)K>1de H composée de vecteurs propres de (1.5)
uK E V, et a (uK, v) = AK (uK, v)H Vv E V.
On définit
aK (t) = (u (t) , uK),, , a0K = (u0, uK) , OK (t) = (f
(t) , uK)H .
Puisque u E L2 (]0 , T[;V ) n C ([0 , T] ; H) et f E
L2 (]0 , T[; H), on en déduit que aK (t) E C ([0 ,
T]) et K (t) E L2 (]0 , T[). Comme (uK)K>1
est une base hilbertienne de H on a
u (t) = X+ 1 aK (t) uK ,
K=1
et choisissant v = uK dans(3.5) on obtient
K
a
K (t = 0) =
a
![](Etude-dune-equation-parabolique7.png)
0
{d a
dt K AKaK = K dans ]0, T[
(3.7)
On vérifie immédiatement que l'unique solution de
(3.7) est
ce qui donne une formule explicite pour la solution u (qui est
donc unique). Etape 2. Nous allons démontrer que la
série
X+ 1 J=1
|
0 @~0 Je~~Jt +
|
I J
0
|
1 (s) eJ(ts)ds A uj , (3.8)
|
converge dans L2 (]0 , T[; V ) n C ([0 , T] ; H) et
que sa somme, notée u (t) est solution de (3.5) . Considérons la
somme partielle a l'ordre K de cette série
co" (t) =
|
XK J=1
|
0 @a0Je-AJ t +
|
f13.1
0
|
1 (s) ej(ts)ds A uj . (3.9)
|
Clairement co" appartient a C ([0 , T] ; H) puisque
chaque a (t) est continu. Montrons que la suite co" est de Cauchy
dans C ([0 , T] ; H). Pour tout T > k , en utilisant le caractere
orthonormé des fonctions propres , on a
~ ~
~!~ (t) ~ !K (t) ~H <
|
~ II ~ ~ ~ ~
|
E
9=K+1
|
~0 je~~jtuj
|
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
+ ~
~H ~
|
E
9=K+1
|
Zt 0
|
~j (s) e-Mt-8)ds uj
|
~ ~ ~ ~ ~~.
|
E ~
9=K+1
)~~~0 ~~2 e2jt 3
0 0
2 X
+ @ @
9=K+1
1
1 21 2
~j (s) ej(ts)ds A A
~
Zt 0
1
~
|
E ~
9=K+1
|
a0 2)3
|
0
1
2 -r
E
+ @
9=K+1
|
1 2j
|
ZT 0
|
1 ~~~j (s) ~~2 ds A
|
1
2
|
~
|
E ~
9=K+1
|
lag 2)
3
|
1
2
|
+
|
1
|
0
X
@9=K+1
|
ZT 0
|
1 ~~~j (s) ~~2 ds A
|
1
2
|
|
|
·\/2a1
|
|
;
|
puisque la suite des valeurs propres (A) est croissant et
strictement positive. Comme uo 2 H et f 2 L2 (]0 , T[ ; H) on a
+ 1
=E
i=i
|
~~~0 ~~2 < +1 ; kfk2
j L2(]0 ,T[;H) =
|
X+ 1 i=i
|
ZT 0
|
~~~j (s)12 ds < +oo,
|
ce qui entraine que la suite cok (t) est de Cauchy
dans H . Plus précisément, on en déduit que la suite
coK vérifie
lim (sup T K 11
= 0,H)
k;/-'+°°
0<t<T
c'est -á-dire qu'elle est de Cauchy dans C ([0 , T] ; H)
. Montrons que la suite !Kest aussi de Cauchy
dans L2 (]0 , T[;V ) . On munit V du produit scalaire
a (u, v) , Pour r > k on a
k! (t) -- Wk (t)11, = a (WT (t) -- WK (t) ,
WT (t) -- col( (t)) = X j jj
(t)j2
j=K+1
0 1
Zt
j @ ~j (s) ej(ts)ds A :0
2
-r -r
< 2 Ai c42 c2Ait + 2
j=K+1 9=K+1
Or, par application de l'inégalité de
Cauchy-Schwarz on a
0 Zt
@0
![](Etude-dune-equation-parabolique8.png)
1 0
2 Zt
~j (s) ej(ts)ds A ~ @
0
1 0 Zt
![](Etude-dune-equation-parabolique9.png)
~~~j (s) ~~2 ej(ts)ds A @
ej(ts)ds
0
1 ~~~j (s) ~~2 ej(ts)ds A :
Par ailleurs, en vertu du théoreme de Fubini
0
0
T T
1 0 1
Z Z
~~~j (s) ~~2 ej(ts)ds
A dt = ~~~j (s) ~~2 ej(ts)dt
0 s
@ A ds
1
~
j
ZT 0
~~~j (s) ~~2 ds:
Par conséquent, on déduit que
0
|
11c.kr (t) --WK (t)11,dt <
|
X j=K+1
|
~~~0 ~~2 +
j
|
X j=K+1
|
2
j
|
ZT 0
|
P(s)12 ds;
|
ce qui implique que la suite wKvérifie
lim
krr--Eco
|
0
|
~ ~
~!~ (t) ~ !K (t) ~2 V dt = 0;
|
c'est -á-dire qu'elle est de Cauchy dans L2 (]0
, T[ ; V ) .
Comme les deux espaces C ([0 , T] ; H) et L2 (]0 ,
T[;V ) sont complets, la suite de Cauchy co" converge et on
peut définir sa limite u
lim
krr--Eco
|
WK = u dans C ([0 , T]; H) n L2 (]0, I[; V
) .
|
En particulier, comme co" (0) converge vers uo dans
H, on en déduit la condition initiale voulue, u (0) = uo (qui est une
égalité entre fonctions de H). D'autre part, il est clair que u
(t), en tant
que somme de la série (3.8)vérifie la
formulation variationnelle (3.5) pour chaque fonction test v = UK. Comme
(vuAK ) est une base
hilbertienne de V , 'a (t) vérifie donc la formulation variationnelle
(3.5)pour tout v 2 V ; c'est -á-dire que u (t) est bien la solution
recherchée de (3.5) .
Pour obtenir l'estimation d'énergie (3.6) , il suffit de
remarquer que l'on a prouvé les majorations
II WT 1 (t) ~ !K (t)kH ~ ku0kH +
p21 kfkL2(]0 ,T[;H) ·
et
ZT 0
~ wT (t) -- wK (t)111, dt <
MuollH + 211/112L2a0 ;T [;H): :
1
En prenant k = 0 et en faisant tendre T vers l'infini , on
obtient immédiatement l'estimation désirée
Remarque 3.2.2 Nous revenons sur le sens de la
dérivée en temps dans la formulation variationnelle (3.5) . Au vu
des espaces dans lequel nous cherchons la solution u (t), la fonction t --p (t)
v)H n'est pas dérivable au sens classique : elle appartient
seulement a L2 (0 , T) et a C ([0 , 71]) . On peut
néanmoins définir sa dérivée au sens faible
(ou au sens distributions) . Plus précisément , dt (t) ,
v)Hest défini comme un élément de
H-1 (0 , T) (c'est -á-dire une forme linéaire
continue sur H10 (0 , T) )
par la formule
(dd t (U (t) v)H 0 (t))
H-1;H10 (0 ,T)
|
=
|
T Z
0
|
O
(t) , v)H d dt (t) dt V0 2 1i0 (0 ,T) .
|
Pa conséquent, dite que l'équation de (3.5)a lieu
au sens faible dans ]0, T[ est équivalent a dire
T Z~
0
|
d?
hu (t) ; viH dt (t) dt +
|
ZT 0
|
a (u (t) , v) (t) dt =
|
ZT 0
|
(f (t) 0 (t) dt;
|
pour tout v 2 V et tout 0 2 c(]0, T[) puisque Cr
(]0, T[) est dense dans 110 (0 , T) . Pour
conclure, rassurons le lecteur :si u est une solution de (3.5) , alors,
par l'égalité même qu'est (3.5) , la
dérivée dt (U (t) , v)H appartient a
L2 (0 , T) et on peut donc dire que (3.5)a lieu presque partout
dans ]0, T[.
3.3 Applications
Nous appliquons maintenant le résultat abstrait du
théorème (3.3.1) a l'équation de la chaleur, et nous
prouvons que cette approche variationnelle a bien permis de résoudre
l'équation aux dérivées partielles d'origine .
Theoreme 3.3.1 Soit a un ouvert borne regulier de
RN. Soit un temps final T > 0 , une donnée
initiale uo E L2 (a), et un terme source f E L2 (]0, T[ ;
L2 (a)). Alors l'equation de la chaleur
u = 0 p.p .sur aa x ]0,T[
u (x; 0 ) = uo (x) p.p .dans a
{
Au = f p.p .dans a x ]0, T[
au at
admet une unique solution u E L2 (]0,T[;
H10 (a))nC ([0 , T] ; L2 (a)). De plus, il
existe une constante C > 0 (qui ne depend que de a )telle que, pour
tout t E [0 , T] ,
Iu (x,t)2 dx +
t I
0
![](Etude-dune-equation-parabolique11.png)
I1Vu (x, s)12 dxds < C (I uo(x)2 dx +
I I f (x, s)2 dxds1. (3.11)
n n
0
12
t
dt dxdt +
Vu Vv 0 dxdt =
f v 0 dxdt . (3.13)
d0
I
T I
0
I
T I
0
Preuve Nous appliquons le théorème (3.3.1) a la
formulation variationnelle (3.4) de l'équation de la chaleur (3.10) :
ses hypothèses sont facilement vérifiées avec H =
L2 (a) et V = H(1- (a) (en particulier, comme a est
borné le théorème (1.1.5) de Rellich affirme que
l'injection de H dans V est compacte), il reste a montrer que l'unique solution
u E L2 (]0, T[;H(1- (a)) n C ([0 , T] ; L2
(a)) de cette formulation variationnelle est bien une solution de (3.10) . Tout
d'abord, la condition aux limites de Dirichlet se retrouve par application du
théoréme (1.5.8) de trace a u (t) E H(1- (a) pour
presque tout t E ]0, T[, et la condition initiale est justifiée par la
continuité de u (t)en t = 0(comme
fonction a valeurs dans L2 (a)). Si la solution u est
suffisamment régulière (par exemple, si : et Au
appartienne par intégration par partie, la formulation variationnelle
(3.4) est équivalente a
I
(au
at Au -- f) vdx = 0, (3.12)
pour toute fonction v (x) E H(1- (a) et presque tout
temps t E ]0, T[. Par conséquent on déduit de (3.12) que
au at
Au -- f = 0 p.p. dans ]0, T[ x a.
Si la solution u n'est pas plus régulière que u
E L2 (]0, T[; N (a)) n C ([0 , T] ; L2 (a)) , on obtient
tout de même cette égalité mais la justification en est
légèrement plus délicate. Conformément a la
remarque (3.3.2) le sens précis de (3.4) est
Pour toute fonction v (x) E ccl (a) et 0
(t) E C1c (]0, T[) . Un résultat classique
d'analyse nous dit que l'ensemble des combinaisons linéaires de produit
de telles fonctions v (x) 0 (x) est dense dans C1c (]0,
T[ x a) . On note a = (u; --Vu) la fonction a valeur vectorielles dans R
N+ldont la divergence en "espace -temps "est : -- Au.
L'identité (3.13)nous dit que cette divergence a bien un sens faible et
est égale a la fonction f qui appartient a L2 (]0, T[;
L2 (a)), d'on l'égalité presque partout dans ]0, T[ x
a. Il faut cependant faire attention que nous avons montré que la
différence
au at
|
-- Au appartient a L2 (]0, T[; L2 (a)) ,
mais pas chaque terme individuellement .
|
|
Remarque 3.3.1 l'estimation d'enrgie (3.11) indique que la
norme de la solution dans l'espace d'énergie est
controlée par la norme des données. Il est a noter que cette
norme ne correspond pas toujours a la "vraie"énergie physique
(dans le cas de la chaleur l'énergie thermique est proportion-nelle a f
u (t, x) dx ). L'inégalité (3.11) été obtenue comme
conséquence de (3.6), ce qui camoufle son
~
origine et son interprétation physique. En particulier,
ces estimations ou égalités d'énergie justifient
le choix de l'espace L2 (]0, T[; 1l0 (a))
n C ([0 , T] ; L2 (a)) pour y chercher des solutions car c'est
précisément l'espace d'énergie c'est
-á-dire l'espace de régularité minimum dans lequel les
égalités ont un sens .
3.4 Proprietes qualitatives dans le cas parabolique
3.4.1 Comportement asymptotique
Nous étudions le comportement de la solution de
l'équation de la chaleur en temps long, c'esta-dire lorsque t vers +oo.
Nous allons vérifier que, conformément a l'intuition physique, si
le second membre f (x) est indépendant du temps t , alors la solution de
l'équation de la chaleur tend asymptotiquement vers la solution
(stationnaire) du Laplacien. Nous commençons par examiner le cas de
l'équation de la chaleur homogène.
Proposition 3.4.1 Soit aun ouvert borné régulier de
RN. Soit u0 E L2 (a) et u la solution du
probleme
8
<>>
>>:
au at
~~~~~~~~
Au = 0 dans ]0, +oo[ x a
u (x; t) = 0 sur ]0, +oo[ x Oa
u (x; 0 ) = uo (x) dans a
Alors , u (t) converge vers zéro dans L2 (a)
lorsque t tend vers +oo
t --
lim 11u (t)11.001) = 0
-Eco
Preuve On reprend la démonstration du théoreme
(3.3.1) dans le cas f = 0, c'est -á-dire /3k = 0. On obtient facilement
que la somme partielle vérifie
IcT (t) -- co" (t)I 1=
|
E
9=K+1
|
_ 912 __2Ait
31 g.
|
avec H = L2 (a) , ce qui conduit, en prenant k = 0 et
r = +oo, et en majorant ,á
Iu (t)11/1 < 11u011/1 C2Ait
![](Etude-dune-equation-parabolique13.png)
qui tend vers zéro lorsque t tend vers l'infini puisque Al
> 0. 3.4.2 Principe du maximum.
Proposition 3.4.2 Soit S2 un ouvert borne regulier de
RN, et un temps final T > 0. Soit uo 2
L2 (a) , f 2 L2 (]0 , T[ ; L2
(a))etu 2 C ([0 , 71] ; L2 (a)) n L210, T [ ;
H1 0 (a) , l'unique solution de (3.10) si f > Opresque partout
dans10,T[ x S2 et uo > 0 presque partout dans a, alors u > Opresque
partout dans]0,T[ x ~.
Preuve Soit u = min (u, 0) qui appartient bien a L2
(]0, T [ ; H1 0 (a)), pour 0 < t < T
I vu (t) (t) dx = I Vu- (t)12 dx.
(3.14)
~ ~
Un raisonnement similaire a celui qui a permis de
démontrer (3.14)montre que, si @t2 L2 (]0 , T[;
L2 (a)) , alors
Z
0 1
Z
@t 1 d ~~u (t) ~~2 dx
@t (t) u (t) dx = @ A : (3.15)
~
2 dt
Nous admettrons que l'identité (3.15) reste vraie
même si :n'appartient pas 6E2 (]0, T[; L2 (a))
. Par conséquent, en prenant v = u-dans la
formulation variationnelle (3.4)de l'équation de la chaleur on
obtient
1 d
2 dt
0 1
Z Z Z
~~u~2 dx
~~ru~~~2 dx =
@
A + fu-dx, ~ ~ ~ Ce qui donne par
intégration en temps
12
/
~
|
~~u
|
~(t)12 dx +
|
Zt 0
|
Z
|
Vu-12 dads =
|
Zt 0
|
I fu-dxds +
2
1./
~
|
~~u
|
- (0)12 dx.
|
Comme (0) = (uo)- = 0 on déduit
12
/
~
|
~~u
|
~ (t)12 dx +
|
Zt 0
|
Z
|
Vu-12 dads < 0.
|
C'est -á-dire que = 0 presque partout dans 10, T[ x Si
.
|
|
Théorème 3.4.1 soit uo E L2 (Q) et soit
u la solution de (3.1) . Alors on a
min {0, infuo} < u (x, t) < max 0, supuo V (x, t) E 12 x
]0, +oo [
n
Preuve On utilise la méthode des troncatures de
stampacchia. Soit
K = max 10, sup u0} supposé < oo. On fixe une fonction
G E C1 (IR) telle que
1. 1G' (s)1 < M Vs E IR
2. G est strictement croissante sur ]0, +oo[
3. G (s) = 0; Vs < 0
et on pose
H (s) =
|
8 I
0
|
G (a) do- Vs E IL
|
Enfin on introduit la fonction
(ia (t) = I H (u (x; t) -- K) dx.
On démontre aisément que cp a les
propriétés suivantes :
1. cp E C ([0, oo[; IR)
2. cp (0) = 0
3. cp > 0 sur[0, oo[
4. cp E C1 (]0, oo[; IR) et
(t) = I atG (u (x; t) -- K) at (x; 0 dx = I G
(u (x; t) -- K) Au (x; t) dx
n
I= --
SZ
|
G' (u (x; t) -- K) 1Vu (x; t)r dx < 0
|
![](Etude-dune-equation-parabolique15.png)
car G (u (x; t) -- k) E 110 pour t > 0,
il en résult que cp < 0 sur ]0, oo[ et par conséquent cp 0.
Donc pour chaque t > 0, u (x, t) < K p.p sur Q
u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 9
u (x; 0 ) = u0 (x) dans
8
<>>
>>:
~~~~~~~~ (3.17)
Au = 0 dans ]0,T[ x
au at
3.5 Propagation a vitesse infinie
Proposition 3.5.1 Soit un ouvert borné régulier de
classe C2de RN.soit un temps final T > 0. Soit u0 E
L2 ( )et u la solution unique dans C ([0 , T] ; L2 ( )) n
L2 (]0, T[ ; H 0 ( ))du probléme
8
<>>
>>:
au at
~~~~~~~~
Au = 0 dans ]0,T[ x
u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 8
u (x; 0 ) = u0 (x) dans
On suppose de plus que uo (x) ~ 0presque partout dans et que
u0n'est pas identiquement nulle. Alors, pour tout temps E > 0, on a
u(x,E) > 0 Vx E (3.16)
c'est l'inégalité stricte de (3.16)qui est
remarquable (on avait déjà une inégalité large par
le principe du maximum de la proposition (3.5.2)). En effet, si uo a un support
compact dans et si on se place en un point x E en dehors du support de u0 , on
trouve que u (x, E) > 0 bien qu'initialement u0 (x) = 0. Autrement dit,
même si le point x est initialement froid (u0 (x) = 0) et très
loin de partie chaude initiale(le support deuo), il devient
instantanément chaude puisque pour tout temps t = E (même
très petit ), on a u (x, E) > 0. Ainsi la chaleur se propage a
vitesse infinie puisque son effet est immédiat même a grande
distance, Il s'agit clairement d'un défaut du modèle
mathématique puisque l'on sait que rien ne peut se propager plus vite
que la vitesse de la lumière. C'est un modèle, qualitativement et
quantitativement correct a bien des égards, comme l'ont
démontré d'ailleurs plusieurs résultats
précédents, conformes a l'intuition physique, mais ce n'est qu'un
modèle idéalisé de la réalité
3.6 Régularité et effet
régularisant
Si le terme source est nul (f = 0), il existe un effet
régularisant de la condition initiale : de manière surprenante,
même si la donnée initiale u0 est très peu
régulière, la solution devient instantanément très
régulière .
Proposition 3.6.1 Soit un ouvert borné régulier de
classe C°° de RN,et soit un temps final T >
0. Soit u0 E L2 ( ), et u l'unique solution dans C ([0 , T] ;
L2 ( ))nL2 (]0, T[; H 0 ( ))de
Alors, pour tout E > 0, u est de classe
C°° en x et t dans a x ]E, T[
Preuve Pour k ~ 1 on note v = @ku
@t et on dérive k fois l'équation de la chaleur
(3.17)par rapport
au temps pour obtenir
v (x;t) = 0 sur ]0,T[ x 8a
v (x;0 ) = aku
@tk (0,x) dans a
8
<>>
>>:
~~~~~~~~ (3.18)
Av = 0 dans ]0,T[ x a
@v at
qui est encore une équation de la chaleur. Si @ku
@tk (0, x) appartient a L (a), on applique le
théorème (3.4.1) d'existence et d'unicité a (3.18) qui
nous dit que v appartient a L (]0, T[; H 0 (a)) n C ([0 , T] ;
L2 (a)). En particulier, u est régulier en temps . D'autre
part, par égalité, v = (A)' u appartient au même
espace. Le point le plus délicat pour donner un sens a ce raisonnement
formel est que la donnée initiale de (3.18) n'est pas assez
régulière. C'est pour cette raison que la
régularité de u n'est valable que pour les temps t > E >
0.
![](Etude-dune-equation-parabolique16.png)
Proposition 3.6.2 Soit aun ouvert borné régulier
de RN, et un temps final T > 0. pour un terme source f E
L2 (]0, T[; L2 (a))et une donnée initiale
réguliêre u0 E H 0 (a), on considére la solution
unique u E L2 (]0, T[; H 0 (a)) n C ([0 , T] ;
L2 (a))de l'équation de la chaleur (3.10). Alors, cette
solution est plus réguliêre au sens ol @u @t E
L2 (]0 , T[ ; L2 (a))et u E L2 (]0, T[;
H2 (a)) n C ([0 ,T];H1 0 (a)).
Remarque 3.6.1 On peut bien slir "montrer"en
régularité et obtenir que la solution u de l'équation de
la chaleur (3.10)est aussi réguliêre que l'on veut, pour vu que
les données u0et f le soient aussi .Cependant, si l'on veut que la
solution u soit réguliêre des l'instant initial, il faut que les
données u0et f vérifient des condition de compatibilité
.Ainsi, dans la proposition (3.6.2) il est demandé a la condition
initiale u0de vérifier la condition aux limites de Dirichlet (ce qui
n'était pas nécessaire pour l'existence d'une solution dans la
proposition (3.4.1)). Les autres conditions de compatibilité
s'obtiennent en remarquant que les dérivées successives de u par
rapport au temps t sont aussi solution d'équation de la chaleur avec
conditions aux limites de Dirichlet.par exemple, la condition initiale pour la
dérivées première est @u @t (0) = f (0) + Auo.pour
que @u @t soit régulier; il faut donc que cette donnée
initiale vérifie la condition aux limites de Dirichlet f (0) + Au0 = 0
sur 8a, ce qui est une condition de compatibilité entre uo et f.
Bibliographie
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Paris 5-2001.
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mathématique", Edition MIR Moscou 1973.
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Partielles", Université Paris-Sud, 2007.
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point ffxe et ses applications", Mémoire de Licence en
Mathématiques, USTO 2010.
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Minnesota.
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2003. Memoire de magister en mathématiques, Université de
Annaba.
[12] Khaled ZENNIR et B.Said-Houari , "Existence and
asymptotic behavior of solutions of a non linear viscoelastic hyperbolic
equation", Memoire de magister en Mathématiques, 2008, Université
de Annaba.
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