Notations
N(A) l'ensemble des éléments
nilpotents d'une algèbre A.
QN(A) l'ensemble des éléments
quasi nilpotent d'un anneau A.
comm(a) = {x E A : ax
= xa}.
comm2(a) = {x E A
: xy = yx pour tout y E
comm(a)}.
Inv(A) l'ensemble des éléments
inversibles de A.
Ab l'ensemble des éléments de A
qui admettent un inverse généralsé .
Ad l'ensemble des éléments de A
qui admettent un inverse généralsé de Drazin. AD
l'ensemble des éléments de A qui admettent un
inverse de Drazin.
A+ l'ensemble des éléments de A
qui admettent un inverse de Moore-Penrose. H(Q) l'ensemble des
fonctions holomorphe sur 11.
acc(A) l'ensemble des points d'accumulation de
l'ensemble A.
iso(A) l'ensemble des points d'accumulation de
l'ensemble A.
p(a) l'ensemble résolvent de
a.
pA(a) l'application résolvente de
a.
Introduction générale
Beaucoup de problèmes dans la théorie des
algèbres ,contràole optimal,théorie spectrale ...
sont liés a` la notion d'inversibilité des
éléments d'une algèbres ou s'y ramènent.
C'est pourqoui certains Mathématiciens ont pensé
a` introduire des nouvelles notions d'inversibilité qui sont
utiles aux problèmes cités auparavant. Parmi ces
Mathématiciens nous retenons J.Von Neumann,I.Kaplansky, M.Z.Nached,
C.R.Cardus, J.J.Koliha ...et bien d'autres.
En 1936 J.Von Neumann a introduit la notion d'inverse
généralisé pour les éléments d'un anneau,
plus tard et plus précisément en 1948 I.Kaplansky, a donné
une extension de cette notion pour les algèbres, ensuite la notion
d'inverse de Moore-Penrose s'est traitée par Eliakim Hastings Moore et
Roger Penrose indépendamment, et en 1958 Drazin a` son tour a
donné une autre extension de la notion d'inverse
généralisé nommé par son nom "inverse de Drazin"
ceci a fait l'objet de plusieurs articles publiés récemment par
J.J.Koliha , Enrico Boasso et V.Rakocevic.
Dans ce travail on s'intéresse a`
l'étude des différentes notions d'inversibilité en se
basant essentiellement sur les articles de J.J.Koliha puisque il a
redémontré presque tous les résultats de l'inverse de
Moore-Penrose en utilisant l'inverse de Drazin contrairement aux autres
chercheurs. Pour cela, on adoptera le plan suivant :
le chapitre I sera consacré aux différents
résultats qui seront utilisés dans les chapitres qui suivent.
le chapitre II sera réservé a` la notion
d'inverse généralisé en se basant sur l'article de
M.Z.Nached puis on introduit la notion d'inverse de Moore-Penrose.
le chapitre III a pour but d'introduire la notion d'inverse de
Drazin en étudiant les artciles de J.J.koliha.
le chapitre IV est
consacré a` l'étude des conditions sous lesquelles
l'inverse de Moore-Penrose ainsi
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