1.6. Matrices G'DGPLAADCFI-R I-A G'RPStoGDCFI-M GpC
ttoseau électrique [2]
D?après la théorie de l?analyse des circuits
électriques linéaires, les équations de tensions aux
différents noeuds conduisent aux représentations standards
suivantes sous forme matricielle condensée pour un système
à n noeuds indépendants.
[~~ [ ~ [ ] [ ] [ ] [V] (1.3)
[I/ vecteur colonne composé de phaseurs tensions aux n
noeuds du réseau ; [ ~ vecteur colonne composé de phaseurs
courants injectés aux n noeuds ;
[ ] matrice symétrique d?impédances du
réseau passif ;
[ ~ matrice symétrique d?admittances du réseau
passif.
[ ~ [ ~
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~ [ ]
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...
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~ [V]
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~
~
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; [ ]
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(1.3a) ]
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Il est plus facile de construire la matrice d?admittances du
réseau que celle d?impédances ; chaque séquence de
fonctionnement (directe, inverse et homopolaire) du réseau aura sa
propre matrice d?admittances ou d?impédances par le fait que les
impédances directe, inverse et homopolaire des composants du
réseau ne sont pas nécessairement identiques.
L?obtention de la matrice d?impédances est facile par
inversion de la matrice d?admittances si l?on se sert d?un calculateur
numérique requis.
Cette matrice d?impédances est très importante
pour les calculs des défauts comme nous le verrons au deuxième
chapitre traitant de la modélisation des défauts dans un
réseau électrique.
Les éléments et des matrices [ ] et [ ] sont
respectivement appelés
impédances et admittances mutuelles
ou de transfert entre les noeuds et ; chaque admittance mutuelle est
égale à l?opposé de la somme de toutes admittances
mutuelles entre ces deux noeuds.
Les éléments et sont respectivement
appelés impédances et admittances propres ou
ponctuelles aux noeuds ; chaque admittance propre à un noeud
est égale à la somme des admittances qui aboutissent à ce
noeud.
L?expression générale, pour une source de courant
débitant en un noeud d?un réseau à n noeuds
indépendants en dehors du noeud de référence est :
? ~
= (1.4)
Cette relation peut s?écrire pour chacun de n noeuds
auxquels la tension est inconnue.
1.7. Système triphasé
déséquilibré [2], [3], [9]
Les réseaux de transport et de distribution de
l?énergie électrique sont conçus de sorte qu?ils
fonctionnent dans des conditions très proches d?une parfaite
symétrie quand ils sont en fonctionnement normal.
Les impédances propres et celles mutuelles des toutes
les trois phases des alternateurs, transformateurs et lignes électriques
dans un système triphasé, ont des valeurs approximativement
égales.
Une part importante de la consommation industrielle est quasi
équilibrée sur les trois phases, mais cela n?est pas le cas pour
les consommations domestiques et professionnelles.
Statistiquement, la répartition de ces nombreuses
consommations monophasées est supposée balancée au niveau
des réseaux de distribution à haute et à basse tension.
Il est donc important d?analyser certaines situations
(défauts monophasé, biphasé, ...) pouvant conduire le
réseau à pouvoir fonctionner dans un
déséquilibre.
Pour cela, il a été introduit des
méthodes de calcul permettant une transformation d?un système
polyphasé déséquilibré à n vecteurs en un
système polyphasé équilibré à n vecteurs
également.
La transformation de Fortescue est une des transformations
couramment utilisée pour ce fait ; l?application de cette théorie
d?analyse des réseaux publiée en 1918 par Fortescue montrant
comment un système de tensions (ou de courants)
déséquilibré peut être transformé en trois
ensembles des composantes triphasés équilibrés, est d?une
importance capitale.
1.7.1. Transformation de Fortescue d'un systt(me
triphasé déséquilibré
Les n phaseurs de chaque ensemble des composantes sont de
même longueur et la phase entre elles a une valeur identique.
Dans le cas présent, nous nous intéressons aux
systèmes triphasés même si la méthode des
composantes symétriques est valable pour n?importe quels systèmes
polyphasés.
Selon le théorème de Fortescue, trois phaseurs
déséquilibrés ~ ~ ~ d?un système de tension
triphasé peuvent être représentés par trois
systèmes de phaseurs équilibrés :
> Direct
Composé de trois phaseurs ~ ~ ~ égaux en modules,
déphasés de 120°
et ayant la même séquence que le système
original ;
Les composantes symétriques directes sont données
à la relation (1.1) ; l?indice peut être remplacé par
l?indice pour exprimer la séquence directe.
> Inverse
Composé de trois phaseurs ~ T ~ égaux en modules,
déphasés de
120° et ayant la séquence opposée au
système original ;
Les composantes symétriques inverses sont données
à la relation (1.2) ; l?indice peut être remplacé par
l?indice pour exprimer la séquence inverse.
> Homopolaire
Composé de trois phaseurs ~ " ' égaux en modules et
en phases ;
Les composantes symétriques homopolaires sont ~ ~ ~ ; les
grandeurs
de cette séquence peuvent écrites avec l?indice ou
.
La relation de la transformation de Fortescue pour le
système de tension est :
~ ~
[ ~ ] ~ ~ [ ~ ] (1.5)
~ ~
La matrice de transformation de Fortescue est :
[ [
avec - (1.6)
La transformation inverse de Fortescue est régie par la
relation matricielle :
~ ~
[ ~ ] ~ ~ ~ [ ~ ] (1.7)
~ ~
Toutes les relations précédentes sont aussi
valables pour le système des courants :
[ ]
lag
1 a2 a
] ~ ~ [
] et [ [ ] [ ] (1.8)
Comme la somme des trois courants de ligne est égale au
courant de terre, cela implique que le courant de terre vaut trois fois le
courant homopolaire.
(1.9)
Une charge connectée en triangle n?ayant pas de connexion
à la terre, les courants de cette charge n?ont pas de composante
homopolaire.
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