Chapitre premier : CONSTRUCTION DE LA GEOMETRIE
EUCLIDIENNE
L'objet de la géométrie euclidienne est, en
principe, l'étude des formes et des propriétés des corps
naturels. Nous allons dans ce chapitre énoncer les cinq postulats
d'Euclide avant d'évoquer les notions d'espace vectoriel, d'espace
affine et d'espace euclidien.
1.1. Les cinq postulats d'Euclide
La construction de la géométrie plane d'Euclide
se fonde sur cinq postulats dont les quatre premiers sont
considérés aujourd'hui comme des axiomes. Ces postulats sont les
suivants :
Postulat 1 : Conduire une droite d'un point
quelconque à un point quelconque.
Sous forme moderne nous dirions que par deux points distincts A
et B, il passe une droite et il n'en passe qu'une seule. Autrement dit :
deux droites (D) et (D') qui ont deux points
communs sont confondues, tout point de l'une est un point de l'autre et
réciproquement.
Il résulte de ce postulat que deux droites (D)
et (D'), ou bien n'ont aucun point commun, ou bien ont un seul point
commun qui s'appelle "point d'intersection" et sont alors "sécantes" et
"distinctes" , ou bien ont plus d'un point commun et sont alors
"confondues".
Postulat 2 : Prolonger indéfiniment,
selon sa direction, une droite finie.
Sous forme moderne nous dirions que tout segment AB est
prolongeable en une droite passant par A et B (compte tenu du
premier axiome, elle est unique dans une géométrie
Euclidienne)
Postulat 3 : D'un point quelconque, et avec
un intervalle quelconque, décrire une circonférence de
cercle.
Sous forme moderne nous dirions pour tout point A et
tout point B distinct de A, nous pouvons décrire un
cercle de centre A passant par B.
Sous forme moderne nous dirions qu'à chaque angle du plan
correspond sa mesure 0,
effectuée avec une unité choisie une fois pour
toutes où 0 est un nombre positif, inférieur à
2ir.
Réciproquement, soit 0 un nombre positif quelconque compris
entre 0 et 2ir, nous admettrons
qu'il existe une infinité d'angles égaux entre eux
dont la mesure avec l'unité d'angle
choisie soit 0.
Postulat 5 : Si une droite, tombant sur
deux droites, fait les angles intérieurs du même côté
plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini,
se rencontreront du côté oil les angles sont plus petits que deux
droits.
Sous forme moderne nous dirions que étant donnés
une droite et un point, il existe une unique droite passant par ce point et ne
coupant pas la droite initiale.
Dans les Éléments d'Euclide, ce cinquième
postulat ressemble à la conclusion d'un théorème,
mais qui ne comporte pas de démonstration.
Fig.1.1.La droite d est la seule droite passant par le
point M et parallèle à la droite D. Tout autre droite
passant
par M (comme les droites tracées en pointillée) est
sécante avec D.
La construction d'Euclide permet donc le développement de
la notion de mesure de longueur, d'aire, de volume, d'angle.
Remarque 1.1.
Le théorème de Pythagore est un
théorème fondamental de la géométrie
euclidienne.
Théorème 1.1. (de Pythagore )
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de
l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés. En d'autres termes, si le
triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 +
AC2.
b a a b
b a b a
Fig. 1.2. Fig.1.3.
c
c
a
b
c c
c c
a
b
Demonstration
Considérons les deux carrés de côté
a + b illustrés par les figures 1.2 et 1.3. D'après la figure
1.2., on remarque que ce carré peut être décomposé
en quatre triangles rectangles, un carré de côté a et un
carré de côté b. D'après la figure 1.3., on constate
que ce carré correspond aussi à la somme des quatre mêmes
triangles rectangles, augmentée d'un carré de côté
c. Comme les deux carrés de côté a + b ont la même
aire, les figures demeurant une fois que l'on a ôté les quatre
triangles sont donc de surfaces égales. Sur la figure 1.2., l'aire
totale des deux carrés restants est égale à a2
+ b2. Sur la figure 1.3., l'aire du carré restant est
égale à c2. Donc a2 + b2 =
c2.
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