Introduction à la géométrie non-euclidienne

INTRODUCTION

Il y a quelques mois, sur Internet, je suis tombé sur un article intitulé : « Evolution du concept de vérité en mathématiques¹ ». Dans cet article, l'auteur soutient que les mathématiques représentaient jusqu'au ^19ième siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et éternelle. Pourtant, Euclide² avait laissé avec son 5ème postulat le premier grain de sable qui allait déboucher des siècles plus tard sur l'irruption des géométries non-euclidiennes. On s'est aperçu alors que les mathématiques pouvaient être scindées en des théories multiples et indépendantes dont les résultats parfois contradictoires ne dépendent que de l'axiomatique de départ et de la prise en compte de tel ou tel axiome.

Cette réflexion avait alors suscité en moi le désir d'approfondir la question de l'existence de la géométrie non-euclidienne dans le cadre du travail de fin de cycle. C'est à juste titre que le présent travail se veut être une « Introduction à la géométrie noneuclidienne ».

1. Problématique

La géométrie euclidienne commence avec les Eléments³ d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Cependant, Euclide était sûrement bien loin de se douter qu'il avait laissé avec cet ouvrage un élément qui, plus de 2000 ans après sa mort, allait complètement bouleverser les mathématiques. Le XIX^e siècle voit alors l'apparition de nombreuses nouvelles géométries. L'origine de leurs naissances résulte d'interrogations sur le cinquième postulat des Eléments d'Euclide qui s'énonce comme suit : « Si une droite tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux

¹Cet article, écrit par Fabienne BOSSY, peut être trouvé sur le lien Internet suivant : http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/irem/histoire/Cv%C3%A9rit%C3%A9.htm

² On sait très peu de choses relatives à la vie d'Euclide, sinon que c'était un mathématicien grec qui naquit peutêtre à Athènes vers 325 avant J.C, qui partit en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée 1er et qui mourut vers 265 avant J.C.

³ Les Eléments (??o??cfa en grec) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive.

droits¹ ». Ce postulat, Proclus² l'exprima de la manière suivante: << dans un plan, par un point distinct d'une droite d, il existe une unique droite parallèle à d ».

Les premiers commentateurs d'Euclide avaient déjà émis des doutes non pas sur la vérité, mais sur l'évidence de ce postulat dit << des parallèles », et s'étaient efforcés soit de le démontrer, soit de le remplacer par un postulat plus évident. Le problème avait été ensuite repris par certains géomètres arabes. En Europe, le problème suscita un grand nombre de recherches, celles en particulier de Saccheri, de Lambert, de Legendre et celles de Gauss et de son entourage. L'insuccès de ces recherches fit naître l'idée que le postulat n'était pas démontrable à partir des évidences admissibles.

Cette idée devait être bientôt confirmée quand Bolyai³ et Lobatchevski⁴ découvrirent la possibilité d'ériger un édifice géométrique, la géométrie hyperbolique, où le postulat des parallèles était remplacé par le postulat dit << de Lobatchevski » qui admet l'existence d'au moins deux parallèles à toute droite par tout point non situé sur cette droite. Plus tard, Riemann complétait la liste des possibilités par une géométrie non euclidienne elliptique n'admettant pas le postulat des parallèles. La géométrie non euclidienne était alors née pour résoudre des situations où la géométrie euclidienne se trouvait prise en défaut.