Introduction à la géométrie non-euclidienne

INTRODUCTION

Il y a quelques mois, sur Internet, je suis tombé sur un article intitulé : « Evolution du concept de vérité en mathématiques¹ ». Dans cet article, l'auteur soutient que les mathématiques représentaient jusqu'au ^19ième siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et éternelle. Pourtant, Euclide² avait laissé avec son 5ème postulat le premier grain de sable qui allait déboucher des siècles plus tard sur l'irruption des géométries non-euclidiennes. On s'est aperçu alors que les mathématiques pouvaient être scindées en des théories multiples et indépendantes dont les résultats parfois contradictoires ne dépendent que de l'axiomatique de départ et de la prise en compte de tel ou tel axiome.

Cette réflexion avait alors suscité en moi le désir d'approfondir la question de l'existence de la géométrie non-euclidienne dans le cadre du travail de fin de cycle. C'est à juste titre que le présent travail se veut être une « Introduction à la géométrie noneuclidienne ».

1. Problématique

La géométrie euclidienne commence avec les Eléments³ d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Cependant, Euclide était sûrement bien loin de se douter qu'il avait laissé avec cet ouvrage un élément qui, plus de 2000 ans après sa mort, allait complètement bouleverser les mathématiques. Le XIX^e siècle voit alors l'apparition de nombreuses nouvelles géométries. L'origine de leurs naissances résulte d'interrogations sur le cinquième postulat des Eléments d'Euclide qui s'énonce comme suit : « Si une droite tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux

¹Cet article, écrit par Fabienne BOSSY, peut être trouvé sur le lien Internet suivant : http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/irem/histoire/Cv%C3%A9rit%C3%A9.htm

² On sait très peu de choses relatives à la vie d'Euclide, sinon que c'était un mathématicien grec qui naquit peutêtre à Athènes vers 325 avant J.C, qui partit en Égypte pour y enseigner les mathématiques sous le règne de Ptolémée 1er et qui mourut vers 265 avant J.C.

³ Les Eléments (??o??cfa en grec) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive.

droits¹ ». Ce postulat, Proclus² l'exprima de la manière suivante: << dans un plan, par un point distinct d'une droite d, il existe une unique droite parallèle à d ».

Les premiers commentateurs d'Euclide avaient déjà émis des doutes non pas sur la vérité, mais sur l'évidence de ce postulat dit << des parallèles », et s'étaient efforcés soit de le démontrer, soit de le remplacer par un postulat plus évident. Le problème avait été ensuite repris par certains géomètres arabes. En Europe, le problème suscita un grand nombre de recherches, celles en particulier de Saccheri, de Lambert, de Legendre et celles de Gauss et de son entourage. L'insuccès de ces recherches fit naître l'idée que le postulat n'était pas démontrable à partir des évidences admissibles.

Cette idée devait être bientôt confirmée quand Bolyai³ et Lobatchevski⁴ découvrirent la possibilité d'ériger un édifice géométrique, la géométrie hyperbolique, où le postulat des parallèles était remplacé par le postulat dit << de Lobatchevski » qui admet l'existence d'au moins deux parallèles à toute droite par tout point non situé sur cette droite. Plus tard, Riemann complétait la liste des possibilités par une géométrie non euclidienne elliptique n'admettant pas le postulat des parallèles. La géométrie non euclidienne était alors née pour résoudre des situations où la géométrie euclidienne se trouvait prise en défaut.

2. Intérêt du sujet

A priori, il nous est difficile de déterminer si l'Univers dans lequel nous vivons est fait d'un type de géométrie plutôt que d'un autre. En vivant sur la surface de la terre, le sol nous semble plat et nous sommes plongés dans une géométrie à faible courbure à tel point que toute surface de l'espace nous semble localement euclidienne : << deux droites parallèles ne se coupent pas ». Cependant, la relativité générale d'Einstein montre qu'il existe des zones de l'espace où la géométrie est très fortement courbée et donc localement non-euclidienne. C'est seulement l'étude de ce genre de géométrie qui nous permet de tirer des théories expliquant des observations que nous ne pouvons faire uniquement avec l'intuition humaine.

Conscient du fait que la géométrie dans son ensemble comporte un champ de recherches immense que nous ne pouvons prétendre aborder entièrement dans ce travail, nous nous proposons de présenter les principes de base de géométrie non-euclidienne. Cette

¹ DEDRON P., ITARD J., Mathématiques et mathématiciens, Editions MAGNARD, Paris (1965), p.55.

² PROCLUS, philosophe de l'école néoplatonicienne, 412-486. Auteur de plusieurs oeuvres notamment le Commentaire sur le premier livre des Eléments d'Euclide.

³ Janos BOLYAI, mathématicien hongrois (1802-1860).

⁴ Nikolaï Ivanovitch LOBATCHEVSKI, mathématicien russe (1792-1856).

présentation nous aidera à comprendre pourquoi la géométrie non-euclidienne joue un rôle de plus en plus important dans la science moderne et la technologie.

3. Méthode et division du travail

3.1. Méthode

Pour réaliser notre travail, nous avons recueilli des informations dans des ouvrages et sur Internet. Et ici, nous utilisons la « méthode axiomatique ». Universellement utilisée en mathématiques, cette méthode consiste à chercher à énoncer des « vérités premières », « les axiomes » qui sont des affirmations que l'on admet sans démonstration, pour en tirer des conséquences logiques. Cette méthode est aussi appelée « méthode hypothético-déductive ».

Pour autant que l'outil informatique à notre disposition a pu le permettre, nous avons fait usage du logiciel NonEuclid pour certaines illustrations en géométrie hyperbolique.

3.2. Division du travail

Notre travail se subdivise en trois chapitres. Le premier chapitre reprend quelques éléments de base de la géométrie euclidienne ; le deuxième chapitre présente les notions de courbes et de surfaces de l'espace ; enfin, le troisième chapitre, avant la conclusion, nous introduit aux principes de la géométrie non-euclidienne.

Chapitre premier : CONSTRUCTION DE LA GEOMETRIE EUCLIDIENNE

L'objet de la géométrie euclidienne est, en principe, l'étude des formes et des propriétés des corps naturels. Nous allons dans ce chapitre énoncer les cinq postulats d'Euclide avant d'évoquer les notions d'espace vectoriel, d'espace affine et d'espace euclidien.

1.1. Les cinq postulats d'Euclide

La construction de la géométrie plane d'Euclide se fonde sur cinq postulats dont les quatre premiers sont considérés aujourd'hui comme des axiomes. Ces postulats sont les suivants :

Postulat 1 : Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

Sous forme moderne nous dirions que par deux points distincts A et B, il passe une droite et il n'en passe qu'une seule. Autrement dit :

deux droites (D) et (D') qui ont deux points communs sont confondues, tout point de l'une est un point de l'autre et réciproquement.

Il résulte de ce postulat que deux droites (D) et (D'), ou bien n'ont aucun point commun, ou bien ont un seul point commun qui s'appelle "point d'intersection" et sont alors "sécantes" et "distinctes" , ou bien ont plus d'un point commun et sont alors "confondues".

Postulat 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

Sous forme moderne nous dirions que tout segment AB est prolongeable en une droite passant par A et B (compte tenu du premier axiome, elle est unique dans une géométrie Euclidienne)

Postulat 3 : D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Sous forme moderne nous dirions pour tout point A et tout point B distinct de A, nous pouvons décrire un cercle de centre A passant par B.

Sous forme moderne nous dirions qu'à chaque angle du plan correspond sa mesure 0,

effectuée avec une unité choisie une fois pour toutes où 0 est un nombre positif, inférieur à 2ir.
Réciproquement, soit 0 un nombre positif quelconque compris entre 0 et 2ir, nous admettrons

qu'il existe une infinité d'angles égaux entre eux dont la mesure avec l'unité d'angle

choisie soit 0.

Postulat 5 : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté oil les angles sont plus petits que deux droits.

Sous forme moderne nous dirions que étant donnés une droite et un point, il existe une unique droite passant par ce point et ne coupant pas la droite initiale.

Dans les Éléments d'Euclide, ce cinquième postulat ressemble à la conclusion d'un théorème, mais qui ne comporte pas de démonstration.

Fig.1.1.La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Tout autre droite passant
par M (comme les droites tracées en pointillée) est sécante avec D.

La construction d'Euclide permet donc le développement de la notion de mesure de longueur, d'aire, de volume, d'angle.

Remarque 1.1.

Le théorème de Pythagore est un théorème fondamental de la géométrie euclidienne.

Théorème 1.1. (de Pythagore )

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En d'autres termes, si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

b a a b

b a b a

Fig. 1.2. Fig.1.3.

c

c

a

b

c c

c c

a

b

Demonstration

Considérons les deux carrés de côté a + b illustrés par les figures 1.2 et 1.3. D'après la figure 1.2., on remarque que ce carré peut être décomposé en quatre triangles rectangles, un carré de côté a et un carré de côté b. D'après la figure 1.3., on constate que ce carré correspond aussi à la somme des quatre mêmes triangles rectangles, augmentée d'un carré de côté c. Comme les deux carrés de côté a + b ont la même aire, les figures demeurant une fois que l'on a ôté les quatre triangles sont donc de surfaces égales. Sur la figure 1.2., l'aire totale des deux carrés restants est égale à a² + b². Sur la figure 1.3., l'aire du carré restant est égale à c². Donc a² + b² = c².

1.2. Parallélisme

Définition 1.1.

Sont appelés parallèles deux droites également distantes l'une de l'autre sur toute leur longueur.

Ce concept est directement relié au cinquième postulat d'Euclide et est souvent considéré comme le plus important ayant été montré que qu'il ne peut être considéré comme un axiome car n'étant pas respecté dans les géométries non-euclidiennes.

1.3. Les conséquences du cinquième postulat

Les conséquences du postulat des parallèles sont les suivantes dans la géométrie euclidienne :

a) Si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, toute droite (E'F') qui coupe l'une coupe l'autre.

Demonstration

Soit F le point commun à la droite (CD) et à la droite (E'F'): si la droite (E'F') ne coupait pas la droite (AB), elle lui serait parallèle, et par le point F passeraient deux droites (CD) et (E'F') parallèles à une même troisième (AB), ce qui n'est pas le cas. Donc, la droite (E'F'), coupe la droite (AB).

b) Deux droites (AB) et (CD) parallèles à une même troisième (E'F') sont parallèles entre elles.

Demonstration

Si la droite (CD) n'était pas parallèle à la droite (AB), elle la couperait : elle couperait aussi la droite (E'F') parallèle à la droite (AB), elle ne serait donc pas parallèle à (E'F').

Théorème 1.2.

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante :

a) Les angles alternes-internes sont égaux.

b) Les angles alternes-externes sont égaux.

c) Les angles correspondants sont égaux. Demonstration

Soient deux parallèles AB et CD et la sécante EF :

1°) Par le milieu O de EF menons la perpendiculaire GH à AB, qui est aussi perpendiculaire à
CD. Les triangles rectangles EOG et FOH ont un angle aigu égal à, et

l'hypoténuse égale, OF=OE. Ils sont égaux, et les angles et sont égaux.

2) Les angles alternes externes et sont égaux, car est opposée par le

sommet à l'angle , qui est alterne interne avec l'angle .

Réciproquement :

Si deux droites sont coupées par une sécante qui forme avec ces droites : - Soit deux angles alternes internes égaux,

- Soit deux angles alternes externes égaux,

- Soit deux angles correspondants égaux,

Alors ces deux droites sont parallèles.

Remarque 1.2.

Pour démontrer le parallélisme de deux droites, il faut et il suffit que les angles alternes internes, alternes externes ou correspondants, formés par ces deux droites avec une sécante, soient égaux.

1.4. Espaces vectoriels

Définition 1.2.

Etant donné un groupe commutatif E et K un corps commutatif, nous dirons que E est un espace vectoriel sur K s'il existe une multiplication externe associant à tout a?K et à tout

x?E, un élément de E noté a x, avec les propriétés suivantes :
- 1 x = x	(1.1.)
- a (? x) = (a /3) x	(1.2.)
- a (x+y) = a x + a y	(1.3.)
- (a + /3) x = a x + /i x	(1.4.)

Remarque 1.3

Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.

Exemple 1.1

- Il est démontré que R est un espace vectoriel sur lui-même.

- Il est aussi démontré que Rⁿ est un espace vectoriel sur R.

Définition 1.3.

Une partie non vide F de l'espace vectoriel E sur K est un sous-espace vectoriel de E si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

- (F, +) est un sous-groupe de (E, +) (1.5.)

- ? á ? K , ?x? F :áx? F (1.6.)

Remarques 1.4.

- Les opérations définies dans E sont donc également définies dans F et lui donnent une structure d'espace vectoriel sur K.

- Les conditions (1.5.) et (1.6.) peuvent s'écrire :

? ? ? ? ? ?

x F y F

, , á , á â

K x y F

+ ? (1.7.)

Définition 1.4.

Soit une suite (x1,..., x_n) de n éléments de E ; une combinaison linéaire de cette suite est un élément de la forme y = a1x1 + ... + anxn où a1,..., a_n sont des éléments quelconques de K. L'ensemble des combinaisons linéaires de la suite (x1,..., x_n) est appelé sous-espace vectoriel de E.

Définitions 1.5.

Une famille d'éléments de E est dite génératrice (de E) lorsque tout élément de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire des éléments de cette famille.

Définitions 1.6.

On dit que la famille de vecteurs (x1,...,x_n ) de E est liée si l'on peut trouver des scalaires ct1,...,ct_n ? K, non tous nuls, tels que :

a1x1 + a2x2 +...+ Ánxn = 0 (1.8.)

Remarque 1.5.

On dit aussi dans ce cas que les vecteurs de la famille sont linéairement dépendants. Définitions 1.7.

La famille de vecteurs (x1,...,x_n )de E est dite libre lorsqu'elle n'est pas liée ; c'est-àdire que x1,...,x_n sont libres ou linéairement indépendants ; ceci signifie que l'égalité (9) entraîne :

cL1 = cL2 = ... = cL_n=0. (1.9.)

Remarque 1.6.

On peut montrer qu'une famille (x1, x2) de deux vecteurs de E est liée si et seulement s'il existe un scalaire cL tel que x2 = a x1 ou un scalaire f3 tel que x1 = fix2. On dit dans ce cas que les deux vecteurs sont colinéaires. En revanche, rien n'assure qu'une famille liée comportant plus de trois vecteurs contienne forcément deux vecteurs colinéaires.

Définitions 1.8.

On appelle base de l'espace vectoriel E toute famille d'éléments de E libre et génératrice. On peut montrer qu'une famille d'éléments de E est une base si et seulement si tout élément x de E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de .

Remarque 1.7.

Si un espace vectoriel E admet une base ayant un nombre fini de n éléments, alors toute base de E est composée de n éléments.

Définition 1.9.

On appelle dimension d'un espace vectoriel E, notée dim E, le nombre d'élément n de sa base.

Remarques 1.8.

(1) Un espace vectoriel réduit à {0} n'a pas de base. Il est de dimension finie et on pose dim E = 0.

(2) Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.

(3) Les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie sont dits de dimension infinie. Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.

Définition 1.10.

On appelle droite vectorielle tout espace vectoriel de dimension finie égale à 1 et plan vectoriel tout espace vectoriel de dimension finie égale à 2.

Remarques 1.9.

(1) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors :

tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie, et dim F < dim E

si F est un sous-espace vectoriel de E tel que dim F = dim E, alors F = E.

(2) Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et F1, F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

dim (F1 + F2) + dim (F1 fl F2) = dim F1 +dim F2

1.5. Espace affine1

Soient un corps (K, +, x), un espace vectoriel (V, +, ·) sur ce corps, et un ensemble E non vide dont les éléments sont appelés points et notés par des lettres latines majuscules : A, B,...

Les couples d'éléments de E, éléments de E x E, seront appelés bipoints.

Définition 1.11.

Un espace affine peut alors être défini comme le triplet C = ( E, V, ? où

? : E × E ? V est une application satisfaisant aux deux propriétés suivantes (appelées axiomes des espaces affines) :

?

, , ? 3 , ? , + ? , = ? ,
( A B C E A B B C ) ( A C (1.10.)
A ? E, ?u?V, ? ! B?E/ ? ( A , B ) =u (1.11.)

Notation : pour tout couple de points (A, B), et si toute confusion est impossible, on note

« AB » le vecteur ? ( A, B) .

La propriété (1.10.) s'écrit alors :

? ( A , B , C ) ? E³,AB+BC= AC

¹ Historiquement, la notion d'espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de longueur et d'angle, qui reposaient elles-mêmes sur celle de distance, et poussèrent à redéfinir l'espace euclidien, en excluant ces notions et tout ce qui s'y rapportait. Le résultat fut une géométrie affine, où l'espace apparaît comme une structure algébrique, voisine de celle d'espace vectoriel qui en fut dégagée par la suite (donnant ainsi naissance à l'algèbre linéaire), Espace affine, Wilkipédia, http://www.wilkipeadia.com/

Remarques 1.10.

Cette propriété est souvent appelée Relation de Chasles.

La propriété (1.11.) dit tout simplement que lorsqu'on fixe un point P dans E, l'application

?_P : E V

M PM

est une bijection. Elle permet aussi de définir une opération (qui est plus utilisée comme une notation) correspondant à l'addition d'un vecteur à un point :

3 ' '

( )

A B E i V A i B AB i

, ? ? ?

? , , + = ? = '

Définition 1.12.

La dimension d'un espace affine est la dimension de l'espace vectoriel qui lui est associé.

L'espace vectoriel V est appelé direction de E.

1.5.1. Propriétés élémentaires

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine (c'est-àdire des axiomes (1.10.) et (1.11.). Soient A, B, C, D et A1,..., An des points quelconques dans

un espace affine C. Nous avons alors :

AB = 0 ?A=B; (1.12.)

BA=-AB; (1.13.)

n

-1

A A n = ? A _i A _i (Relation de Chasles généralisée) ; (1.14.)

1 + 1

i

=1

AB = DC ? AD = BC (Relation du parallélogramme). (1.15.)

1.5.2. Sous-espaces affines

Définitions 1.13.

Un sous-espace affine d'un espace affine å = (E, V, ? est un triplet (F, W,? où F est

inclus dans E et West un sous-espace vectoriel de V, le tout satisfaisant aux deux propriétés suivantes :

Pour tout couple de points A et B de F, le vecteur AB appartient à W; (1.16.)

Pour tout point A de F et tout vecteur i ' de W, le point A + i ' appartient à F.(1.17.) Le sous-espace vectoriel W est appelé la direction du sous-espace affine. La dimension d'un sous-espace affine est tout simplement la dimension de sa direction.

1.5.3. Repère affine

Définitions 1.14.

Dans un espace affine C = ( E, V) de dimension n où l'espace vectoriel V porte sa structure sur le corps K, un repère affine est un couple

où O est un point de E (appelé origine du repère), et e = (e1,e2,...e_n) est une base quelconque de V.

Pour tout point M de E, les coordonnées de M dans le repère sont tout simplement les

composantes du vecteur OM dans la base e de V, c'est-à-dire

M R = OM e

où M K dénote les coordonnées de M dans le repère , et

R ? n × 1 dénote les

composantes du vecteur dans la base e.

1.5.4. Notion de parallélisme.

Définition 1.15.

Dans un espace affine C, deux sous-espaces affines ( F, W,? et (F ' , W ' , ? sont

parallèles si l'un des sous-espaces vectoriels, W ou W', est inclus dans l'autre.

La définition (1.15) nous conduit au célèbre cinquième postulat d'Euclide. Celui-ci devient un résultat facile à démontrer à partir des définitions et des propriétés des espaces vectoriels.

Ce cinquième Postulat d'Euclide peut alors s'énoncer comme un théorème : Théorème 1.3.

Dans un espace affine å, étant donné un point quelconque P et une direction W, il existe un unique sous espace affine passant par P et ayant W comme direction.

1.6. Espace euclidien

1.6.1. Espace vectoriel euclidien

Définition 1.16.

Un produit scalaire sur E est une application f : E × E ? possédant les trois propriétés suivantes :

- symétrie : f( x , y ) = f ( y , x pour tout x ? E et tout y ? E (1.18.)

- bilinéarité : ( 1

f x + x y = f x y + f x y

2 , 1 , 2 , ), et f ( ë x , y = ëfx ,y pour tout ë ? et

tout x ? E, tout y ? E, tout x₁ ? E et tout x₂ ? E. (1.19.)

- positivité : f ( x, x ) = 0 pour tout x ? E, et f ( x, x ) = 0 équivaut à x = 0. (1.20.)

Remarque 1.11.

- Pour représenter le produit scalaire on utilise aussi les notations suivantes¹ :

x . y, ( x x) , x,y

- Ce produit est appelé produit scalaire justement parce que le résultat du calcul x . y n'est pas un vecteur, mais un nombre réel, un scalaire².

Définition 1.17.

Un espace vectoriel E de dimension finie n = 1 sur le corps des réels, où l'on a choisi un produit scalaire, s'appelle un espace vectoriel euclidien.

Définition 1.18.

On appelle x la norme du vecteur x telle que [ ( ) 2

1

(1.21)

x = f x , x .

Remarque 1.12.

Le produit scalaire peut être retrouvé à partir de la norme. Les propriétés (1.18.) et (1.19.) entraînent en effet

f ( x y x y f x x f ( y y ) f ( x y f ( y x

+ + =

, , + , + , + ,

d'où : f ( x y x y f ( x x f ( y y ) f ( x y ) f y x

+ + -

, , - , - , = 2 , (1.22.)

ce qui s'écrit encore :

2 2

2

,
f x y = x + y - x - y . (1.23.)
( ) 2

Définition 1.19.

On appelle angle (ou écart angulaire) des deux vecteurs x et y non nuls, le nombre réel

è ? [ 0, ð ] tel que :

f x , y

( )

cos è = (1.24.)

x

y

Le produit scalaire s'exprime donc sous la forme :

f (x , y ) = x y cosè (1.25.)

La notion d'angle ainsi introduite est relative : elle dépend du produit scalaire choisi.

Définition 1.20.

Soit E un espace euclidien de dimension n ; et soient x, y ? E .

On dit que les vecteurs x et y sont orthogonaux si leur produit scalaire f(x, y) est nul.

Définition 1.21.

Une base (e1,...,e_n) de E est appelée orthonormée si elle vérifie les conditions :

e₁ = ...= e _n =1 (1.26.)

f (e _i , e_j = 0si i ? j . (1.27.)

Remarque 1.13.

Si n vecteurs d'un espace E de dimension n, muni du produit scalaire f, vérifient les conditions (1.26.) et (1.27.), ils constituent une base.

Définition 1.22.

Soient F et G, deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel euclidien E. on dit

que F et G sont orthogonaux si tout vecteur x appartenant à F est orthogonal à tout vecteur y appartenant à G.

Définition 1.23.

Soit E un espace euclidien sur R de dimension n. On appelle transformation orthogonale de E, une application linéaire q de E dans lui-même qui conserve la longueur d'un vecteur quelconque :

? ( x ) = x , pour tout x? E. (1.28.)

Lemme 1.1.

Soit E comme ci-dessus et l : W ? une forme linéaire. Il existe un vecteur A? E et un seul tel que l(X) = X . A pour tout X ? E.

det(U,V,W) = A . W pour tout W ? E.

Définition 1.24.

Ce vecteur A, qui ne dépend que des vecteurs U et V, s'appelle le produit vectoriel de U et V et se note :

A = U?V (1.29.)

On a donc

det( U ,V , W =U? V ·W (1.30.)

Remarque 1.14.

L'égalité (1.30.) justifie l'expression de produit mixte qui est donné au volume algébrique det(U,V,W) des trois vecteurs U,V,W.

Théorème 1.4.

a)

U ?V = 0 si et seulement si U = 0 ou V = )U, ë ? (c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs U et V sont liés).

b) Si U et V ne sont ni nuls ni proportionnels (donc ne sont pas liés), (U, V, U ? V) forme une base directe de E, le vecteur U ? V étant orthogonal à U et à V.

c)

U ? V = U V sin è ,oùè ? [ 0, ð ] est l'angle des deux vecteurs U et V supposés non nuls.

1.6.2. Espace affine euclidien

Définition 1.25.

Un espace affine euclidien est un espace affine associé à un espace vectoriel euclidien. On peut y définir une distance, des notions d'angle géométrique et on retrouve en particulier la propriété de Pythagore et sa réciproque ainsi que celle de la somme des angles d'un triangle.

Remarque 1.15.

Les transformations fondamentales des espaces affines euclidiens sont les isométries, transformations conservant les distances, on démontre que ce sont des applications affines dont l'application linéaire associée est un automorphisme orthogonal.

Definition 1.26.

Un espace euclidien est un espace affine E de dimension finie sur le corps des réels, tel que, sur l'espace vectoriel associé X, on ait choisi un produit scalaire.

Si A, B, C, D sont quatre points de E, AB et CDsont deux vecteurs de X dont le produit scalaire est noté AB . CD.

Definition 1.27.

On appelle distance sur un ensemble E une application d de E × E dans l'ensemble + des nombres réels positifs ou nul qui a les propriétés suivantes :

d(A, B) = 0 équivaut à A = B (1.31.)

d(A, B) = d (B, A) pour tous les couples d'éléments A,B de E. (1.32.)

Quels que soient les trois points A, B, C de E on a :

d ( A ,C ) = d( A ,B ) +dB ,C . (1.33.)

Cette inégalité est l'inégalité triangulaire.

Definition 1.28.

Soit E un espace euclidien de dimension n. O un point de E, (e₁ , . . . , e_n une base de l'espace X associé à E. Le repère { O ; e₁ ,...,e_n est dit orthonormé si ( e₁ , ... , e_n est une base orthonormée de X.

Definition 1.29.

Soient F et G deux sous-espaces affines propres de l'espace euclidien E ; nous dirons

~ ~

que F et G sont orthogonaux si leurs directions F et G sont deux sous-espaces vectoriels

orthogonaux de l'espace vectoriel euclidien X c'est-à-dire si, pour tout couple (A, B) de points de F et tout couple (C, D) de points de G, les vecteurs AB et CDsont orthogonaux. Definition 1.30.

On appelle isométrie d'un espace euclidien E une application p de E dans lui-même qui conserve les distances :

Quels que soient P E Q E d P Q d P Q

? , ? , ( ( ) , (

? ? = , ) .

Chapitre deuxième : COURBES ET SURFACES DE L'ESPACE

Dans le deuxième chapitre, nous définirons les courbes et les surfaces de l'espace en mettant un accent sur la métrique d'une surface. Ces notions seront nécessaires pour la compréhension du chapitre qui va suivre.

2.1. Courbes de l'espace

Définition 2.1.

Nous assimilerons l'espace physique à R³ et le supposerons muni d'un repère

R = (O, i , j , k et nous noterons B la base ( i , j , k .

I R ³

? ? ?

Soient un ensemble I ? R et une fonction = f ( I) telle que : f ? ? , , ,

M ( x y z

t f t M

? ( )

? = ?

(2.1.)

Remarques 2.1.

- Si f est continue, alors est une courbe de l'espace appelée courbe d'un seul tenant.

- Une parabole, une sinusoïde sont des courbes appelées courbes planes. Une ellipse, un cercle sont elles appelées des courbes planes fermées. Pour ces exemples, tous les points des courbes considérées sont situés dans un même plan. Inversement, une courbe est appelée courbe gauche (gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi.

Définition 2.2.

Soient t 0 ? I et M 0 = f( t ₀) que nous noterons M ( t₀ ) .Le couple (f, I) où f est une

fonction continue est appelé arc paramétré. est appelée le support de (f , I) et t₀ est une origine de (f , I).

Remarques 2.2.

- Abusivement, nous disons aussi que (f, I) est un paramétrage de .

- Il est facile de définir d'autres arcs paramétrés admettant aussi comme support. Pour ce faire, il suffit de se donner une fonction ? bijective de I vers J ? R et telle que

Nous savons que dans un espace euclidien canonique dans R³ l'abscisse curviligne s'écrit alors :

ds 2 = ä _iiduⁱ du^j (2.2.)

avec i, j=1, 2, 3 et comme nous avons ä _ij= 0, i ? j , il reste :

ds 2 = du¹ du¹ + du² du ² + du³ du 3 = ( du¹ ) ² + du² +( du³)² (2.3.)

Dans le système cartésien :

u 1 = x, u ² = y,u 3 = z (2.4.)

il vient donc que :

ds ² = dx² + dy² + dz² (2.5.)

qui est donc l'élément différentiel linéaire d'un espace euclidien (le plus court chemin ou encore la géodésique ou encore l'abscisse curviligne différentielle.

Nous pouvons bien évidemment écrire (par multiplication des deux côtés de l'égalité) :

2 2 2 2

? ds ? ? dx ? ? dy ? ? dz ?

?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ??

dt dt dt

dt

(2.6.)

Exemple 2.1.

Voyons une application avec une hélice qui est un exemple typique de courbe gauche : Soit ( t , r , h)? R³, t>0,r>0,h>0 et la fonction :

? [ ]

, ? ?

3

f o t R

? t f t M

( ) ?

? ? = ?

avec M(x,y,z) et les coordonnées paramétriques :

x = r

r

cos( t)

sin

y

?
??

??

(2.7.)

( t)

z = ht

La fonction f est un arc paramétré dont le support est appelé une hélice, r en est le rayon et

h le pas. En prenant t 0 = 0 comme origine, l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau) est donné par :

2 2 2 2

( t) +r2 c(k² t h 2 = r 2 _h2 (2.8.)

? ds ? ? dx ? ? dy ? ? dz ? 2 2

?? ?? = ?? ?? sin

?? r

dt dt ?? + dt ?? + dt ?? =

Donc :

ds

dt

= r² + h² et donc s = r² + h² t (2.9.)

2.2. Trièdre de Frenet1

Soit une courbe, s(t) son abscisse curviligne et M 0 = s( t₀) son origine. Appelons :

df t

( ) d OM

T = = (2.10.)

ds ds

par définition de la différentielle la tangente T à au voisinage de M. De plus, par définition de l'abscisse curviligne :

et donc T unitaire. En considérant

ds

1

T

dOM

(2.11.)

dT (2.12.)

ds

Nous savons que :

T = TT

1

(2.13.)

donc :

d T T

( dT dT dT

= T T

+ = 2 T = 0 (2.14.)

ds ds ds ds

Ce résultat va nous être utile pour déterminer les conséquences de la définition suivante. Posons:

N=

dT

dT

	=	dT	(2.15.)
ds		ds
		C
ds

Definition 2.3.

Etant donné le résultat précédent, N est le vecteur perpendiculaire unitaire à T (nous disons que ce couple de vecteur est orthonormal direct) en M et C en est par définition la courbure.

¹ Jean Frédéric FRENET, mathématicien, astronome et météorologue français (1816-1900).

Si C ? 0 , alors :

d T

ds ? ? N= = 1

C C

?? ?? =

d T dT

R (2.16)

ds ds

où R est appelé le rayon de courbure.

Definition 2.4.

La relation :

N

R

dT

= (2.17.) est appelé première formule de Frenet.

ds

Pour donner une interprétation géométrique de la courbure à en M, il suffit d'étudier la projection ã de dans le plan défini par ( M , T , N . Ainsi, nous définissons par Ù le point

du plan contenant le centre du cercle osculateur ou cercle de courbure qui tangente le mieux ã et tel que :

Ù = M + R N (2.18)

Definition 2.5

Le cercle de centre Ù et de rayon R est le cercle qui tangente le mieux ã et . Il est appelé cercle osculateur à en M.

dT

Dans le cas particulier où est un vecteur constant : = 0

ds

et donc C = 0 ce qui implique que R n'est plus défini. On dit dans ce cas que le rayon de courbure à est infini (une droite présente alors une courbure nul en tout point). Etudions maintenant le vecteur : B = T × N (2.19.)

Nous pouvons déjà dire, étant donné que T et N sont unitaires que B l'est aussi.

Démontrons que ^dB est orthogonal à T : ds

dN N

× = × +

N

ds R

dN

× = ×

T

ds

, car N × N=O (2.20.)

T

dN
ds

+

T

dB =

dT ×

N

ds

ds

Etant donné que N est perpendiculaire à T , et que ^dB est aussi perpendiculaire à T nous

ds

pouvons en conclure que ^dB est colinéaire à N .

ds

Posons :

dB ds

N = R '

(2.21.)

Cette relation constitue la deuxième formule de Frenet avec R' où par définition, B est le vecteur binormal de au point M et ' - 1

R en est la torsion et R' le rayon de torsion.

Nous pouvons maintenant établir la 3^ème formule de Frenet :

B = T×N ? N=B×T (2.22.)

d'où nous tirons :

N

' × + × (2.23.)

T B
R R

ds

T₌

N

dN =

×

dB ×

T B

+

ds

ds

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

N × T=- B B × N=- T (2.24.)

d'où la troisième formule de Frenet :

(2.25.)

Définition 2.6.

T

B

dN =

' -

R

ds

R

Nous appelons trièdre de Frenet associé à au point M, le repère naturel orthonormal

Fig.2.1. Trièdre de Frenet.

de l'espace (M , T , N, B :

Remarque 2.3.

Le rayon de courbure est donc dans le plan osculateur (plan formé par le vecteur tangent et normal à la courbe) qui est le meilleur plan dans lequel est contenu la courbe. Le rayon de courbure donne en un point (localement) le meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La torsion nous donne par contre la tendance qu'à la courbe à sortir du plan osculateur. Si la courbe est contenue dans un plan, la torsion est nulle.

Exemple 2.2.

Cherchons le rayon et le centre de courbure en tout point M de l'hélice définie plus haut. Rappelons que la fonction paramétrique est donnée par :

)

x r t

= cos(

? ?

?

? ?

? ? z ht

=

? ?

OM = ? y r t

= sin( )

(2.26.)

et que :

ds

dt

ds

r

r h

2 2

+

h

r h

2 2

+

= + (2.27.)

r ² h ²

ds

dt

?

sin( ) ?

cos( )

t ? (2.28.)

? ?

d OM d OM dt

T = = =

T

r h

2 2

+

t

Nous avons dès lors :

r

Ainsi, la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée par :

	r	cos( t	)
	r h 2 2 +

sin( t )

dT

(2.29.)

(2.30.)

dT =

ds dt

dt

ds

r

r h

² + 2

dT =

ds

r

r h

2 2

+

0

Donc le rayon de courbure vaut :	R	r h ^2 +	2

r

? - cos( )

t ?

? ?

et il vient par la première formule de Frenet : N = ? - sin( )

t? (2.31.)

? ?

? 0 ?

De par la 3^ème formule de Frenet :

? ?

?

? ?

sin(

)

r

2 . 2 1

r + n

t

?

? ? - cos( )

t ?

r ? ? 1

B

T

×

N

t

cos( ) ? × ? - sin( )

t ? =

r ² + h2

+

? 2 2

? ? r h

h

? ? 0 ?

r t h

Appelons Ó = g (D) . Si g est continue, alors Ó est une surface de l'espace surface d'un seul tenant. Par définition, dans ce qui suit, le couple ( g, D) oft g est une fonction supposée continue sera appelé nappe paramétrée, et Ó le support de la nappe paramétrée. Nous disons encore que( g, D) et ( u , v) sont des paramétrages de Ó .

? ? ? ? ?

cos( ) .0 ( sin(

- - t ))

h

( cos( ) ( sin( ))

t - - r t · 0

( r t

sin( ))( sin( )) cos( )( cos(

- t r t

- - t ))

r² + 2 1 r + n

(2.32.)

1

2

r

[)

r h sin(t) ?

.

2

1

+ n

et le rayon de torsion étant donné par la relation :

dB ds

N = ' R

(2.33.)

Nous avons donc :

? ?

?
?
= ?

?

??

?

h ? ? h t

cos( )

'

cos( )

t ? - cos( )

t R

=

2 2 ? r h

2 2

ü +

h ? +

??

N = _R' dB =R'

dB

dt

h ? h t

sin( )

'

sin( ) ? ? - sin( )

ds

dt

ds

t R

t = (2.34.)

+

?
?
?

2 ² r h

2 2

ü h +

?

0

0 0

=

?

d'oft :

R

r ² + h2

h

(2.35.)

?x u v ( , ) ? D R ³ ? ? ? ? ?
2

Soient D R g ,

? : ? ? avec OM = ? y u v

( )

, ? (2.36.)

? ( )

u v g u v M

? , = ? ?z( u ,v

)

?

2.3. Nappes paramétrées

Definition 2.7.

Remarque 2.4.

Pour une surface Ó (par exemple un disque), il existe plusieurs nappes paramétrées associées (par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).

Soit maintenant I ? R et :

? I R ^2 ? ? h ? ( ) ( )? ? t h t u v ? = , ? tels que h( I ) ? D

(2.37.)

I R ³

? ? ?

Nous pouvons définir g h : g h ? ? (2.38.)

(

? t g h t g u t v t

? ( ) ( ), ( )

= ?

En supposant h continue, il est clair que g h est un arc paramétré. Appelons son

support, nous avons ? Ó et nous disons que est une courbe tracée ou courbe inscrite sur Ó .

Remarque 2.5.

Nous supposerons toujours désormais que D = I × J

Soit M 0 ? Ó , M₀ = g(u ₀, v ₀ ) . Intéressons nous aux deux courbes tracées sur Ó définies par les arcs paramétrés suivants :

?

g_v , I

₀ avec g v ??

0

?

I R ³

? ?

u g g u v

( )??

? = ,

v 0

0 ?

(

3

? I R

? ?

(

gu , J ₀ avec g ?? ( )?? (2.39.)
u 0 ? = ? v g g u v 0 , u 0 ?

gu0 ^et g_v0 sont les deux fonctions dites fonctions partielles de g en ( u₀ , v ₀ ) . Les supports de ( g_u , J

₀ et ( g_v , I

₀ sont appelés courbes-coordonnées de Ó en M₀

relativement au paramétrage( g, D) . Nous les notons respectivement _u0 et _v0 . Nous appelons aussi _u0 1ère courbe-coordonnée et _v0 2ème courbe-coordonnée.

Il est bien sûr évident que :

0 = = (2.40.)

dg_u ? g ? OM

dv

? v

?v

? OM

est tangent à _u0 en M₀ et que est tangent à _v0 en M₀ .

?u

(2.41.)

2.4. Métrique d'une surface

R

Soft ? 3 x(u , v)

Soft : g ? , avec OM = Ly( u , v)? (2.42.)

( u, v ) ? g u ,y` = M

z( u ,v) ?

Notons dg = ( dx, dy, dz) , autrement dit :

? dx ?

? ?

d OM = ? dy ? (2.43.)

? ?

? dz ?

Nous avons aussi :

? x

?x

+

dx

du

dv

?v

? u

?

, dy = y _du+ ?y dv , dz = ?z du + ?z dv (2.44.)

?u ?v ?u ?v

et nous avons démontré au début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace cartésien était donnée par :

_ds 2 = dx² + ^dy2 + dz2 (2.45.)

Nous avons donc après substitution :

dudv

2 2 2

? ? ? x ? ? ? y ? ? ? z ? ? ? ? x ? x ? y ? y ? z ? z ?

2 2

ds = ? ?? ?? + ?? ?? + ?? ? du + 2 + +

u u u ?? ?? ? u ? v ? u ? v ? u ? v ??

? ? ? ? ? ? ?

?? ? (2.46.)

2 2 2

? ? ? x ? ? ? y ? ? ? z ? ? 2 + ? ?? ?? + ?? dv

v

? v ?? + v ??

? ? ?

? ? ?

2

? ? OM ?

, G = v

?? ?? (2.48.)

?

? ?

????

E = ,

????

?u

?

OM

F

?OM

?OM

?v

?u

Ce qui est équivalent à écrire :

ds 2 = [?OMf du² + 2 ? OM ?OM _dudv+[? ^OM dv² (2.47.)

)

?u ?u ?v ?v

2

De manière plus traditionnelle avec la notation :

Nous obtenons la première forme quadratique fondamentale :

ds 2 = Edu² + 2Fdudv+ Gdv² (2.49)

avec

E = ? 1 x + ? y + ? z , ( )

2

( ) 2 ² G = ? 2 x + ? y + ? z ,

2

2 ² F x x y y z z

= ? 1 ? 2 + ? 1 ? 2 + ? 1 ? 2

1 1 2 2

Remarque 2.6

Cette expression est indépendante de la nappe paramétrée ( g, D) car l'élément de

longueur infiniment petit ds est indépendant du paramétrage de Ó . Cette forme quadratique est donc un invariant qui représente la métrique sur Ó .

Chapitre troisième : GEOMETRIE NON-EUCLIDIENNE

Tout ce qui précède nous aide à introduire la notion de géométrie non-euclidienne. Dans un premier temps nous présenterons les limites de la géométrie euclidiennes qui ont conduit à l'élaboration d'un autre type de géométrie. Les notions de géodésique et d'espaces de Riemann nous aideront à définir la géométrie non-euclidienne en prenant comme exemples concrets les cas de la géométrie sphérique et de la géométrie hyperbolique.

3.1. Limites de la géométrie euclidienne

Au début du chapitre premier, nous avons souligné que l'objet de la géométrie euclidienne est l'étude des formes et des propriétés des corps naturels. Longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif, elle présentait, en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse. Pour les anciens Grecs, la géométrie euclidienne avait un intérêt pratique et aujourd'hui encore, elle est très utilisée dans des domaines tels que l'architecture et la topographie.

Tant que nos calculs et manipulations s'effectuent dans le plan, la géométrie euclidienne reste valable. Cependant, dans des espaces dites courbes, par exemple, les principes de la géométrie euclidienne doivent être complétées par ceux de la géométrie noneuclidienne. Pour décrire la surface de la sphère, notamment calculer la distance entre deux points se trouvant sur une sphère, on doit faire nécessairement appel à la géométrie noneuclidienne. La géométrie euclidienne est aussi prise à défaut quand le postulat des parallèles n'est pas accepté.

3.2. Géodésique et équation métrique

Définition 3.1.

Considérons la surface bidimensionnel d'une sphère de rayon R. Etant donnés deux points B et C diamétralement opposés, nous cherchons la plus courte distance s mesurée sur la sphère entre B et C. La courbe obtenue est une géodésique.

Remarque 3.1.

Cette notion généralise, pour une surface arbitraire, la notion de droite du plan.

Fig. 3.1. Une sphère de centre 0, avec géodésiques.

Remarque 3.2.

Nous supposerons comme intuitif que la longueur d'une courbe de l'espace tridimensionnel euclidien est toujours supérieure ou égale à la longueur de toute projection plane de cette courbe.

Le rayon entre l'axe Oz et l'un des points B ou C est trivialement donné par :

r = Rsin è (3.1.)
Et donc la moitié du périmètre du cercle à hauteur de B et C sera donné par :

P 2 sin

ð è

R

s = =

2 = ð è

R sin (3.2.)

² 2 2

Le périmètre d'un cercle en fonction de l'angle d'ouverture de ce dernier étant donnée par:

L = R.á (3.3.)
Il vient donc automatique :

s 2 = R(2è ) (3.4.)

? ?

Comme ð sin è = 2 è sur l'intervalle ??

0, ð alors s 2 = s ₁ (il y a égalité en è = 0

?? 2

ð

et è = ).

2

Définition 3.2.

Les géodésiques de la sphère sont donc les arcs de grands cercles, trajets empruntés par les avions pour les vols intercontinentaux, et correspondent aux lignes obtenues entre la surface de la sphère et un plan passant par le centre de celle-ci.

Les propriétés géométriques des figures tracées sur la surface d'une sphère ne sont donc plus celles de la géométrie euclidienne. Ainsi, le plus court chemin d'un point B à un point C, sur la surface sphérique, est constitué par un arc de grand cercle passant par les points B et C. Les arcs de grand cercle jouent le même rôle pour la sphère que les droites dans le plan. Ce sont les géodésiques de la sphère.

Considérons maintenant deux surface bidimensionnelles : la surface de la sphère et celle du cylindre. Etant donnés deux points B et C, nous traçons la courbe géodésique entre ces points :

(3.5.)

Le cylindre peut être découpé parallèlement à son axe et déplié à plat. La géodésique apparaît ainsi comme une droite du plan. Nous disons alors que le cylindre est "intrinsèquement plat" (même si sa topologie diffère de celle du plan, il faut en particulier ici éviter que la coupure ne traverse la géodésique). Ce n'est évidemment intuitivement pas le cas de la surface de la sphère.

Dans le cas de la surface cylindrique, nous pouvons définir les coordonnées cartésiennes du plan B ( y₁, z ₁ ) et C( y₂, z₂ permettant d'écrire la longueur s de la courbe (droite) BC sous la forme du théorème de Pythagore :

s 2 = ( y - y ) + z - z (3.6.)

² ( 2

2 1 2 1

La métrique du plan est euclidienne et sous infinitésimale nous obtenons l'équation métrique euclidienne :

ds 2 = dx² + dy² (3.7.)

Sur le cylindre, le changement de variable y = rè donne :

2 2 s r r ^2 ( 2 = è è - + - = 2 ( ( è è - + - z z 2 1 ) z z r 2 1 2 1 2 1 Ou sous forme locale :

(3.8.)

La surface du cylindre peut ainsi être représentée par des coordonnées cartésiennes analogues à celles du plan, la métrique de la surface du cylindre étant euclidienne sous forme infinitésimale et sous forme globale.

Remarque 3.3.

La relation précédente (3.9) correspond à celle de l'équation métrique en coordonnées polaires.

Pouvons-nous nous intéresser à écrire l'analogue du théorème de Pythagore pour une surface sphérique ? L'impossibilité de découper la sphère et de l'aplatir pour épouser un plan rend cette tâche difficile.

Voilà pourquoi l'équation de la métrique ne peut s'écrire sous forme générale comme le théorème de Pythagore.

Cependant, localement (c'est-à-dire dans une région de petite dimension devant le rayon de la sphère), les propriétés de la sphère peuvent être décrites par des coordonnées cartésiennes d'un plan tangent à sa surface (c'est la propriété essentielle des espaces de Riemann) tel que l'équation métrique soit localement euclidienne :

ds 2 = r²dè ²+r² sin ² èd ö ² (3.10.)

En posant dî = g_èè dè, dç = g_èè dè il vient alors :

ds g d

² ( ) ² ( ) 2 2 2

= èè è + g d

öö ö î ç

= +

d d (3.11.)

Avec : g_èè = R² g öö = R² sin ² èds² (3.12.)
Alors que è , ö sont les coordonnées de Gauss, î , ç sont les coordonnées du plan

localement tangent.

Cette petite présentation ayant été faite dans un cadre plus général, nous allons nous intéresser aux espaces de Riemann.

3.3. Espaces de Riemann

Pour mieux comprendre ce qu'est un espace de Riemann, prenons un petit exemple d'une surface à deux dimensions.

Exemples 3.1.

Considérons une sphère de rayon R, de surface S, située dans l'espace ordinaire à trois dimensions. Les coordonnées cartésiennes x, y, z d'un point M de la surface S peuvent

32
s'exprimer, en fonction des coordonnées sphérique( r, è , ö . La sphère est entièrement décrite

pour un rayon donné 0 ? ö <2ð et 0 = è < ð .

Ces trois paramètres, coordonnées curvilignes sur la surface ou également dites coordonnées de Gauss permettent de déterminer un point sur la surface d'une sphère. D'autres paramètres quelconques u, v, w peuvent évidemment être choisis comme coordonnées curvilignes sur la surface.

L'élément linéaire de la surface ds ², carré de la distance entre deux points infiniment voisins M, M', s'écrit en fonction des coordonnées sphériques :

ds ² = dr² + r²dè ² + r² sin ² èdö ² (3.13.)¹

Nous obtenons ainsi une expression de l'élément linéaire en fonction des trois seules coordonnées de Gauss ( r, è , ö . Nous pourrions bien sûr imposer une étude locale (plan

tangent) comme étant un ainsi l'élément linéaire ne serait plus fonction que de (è ,ö ) comme nous l'avons vu plus haut :

ds ² = r²dè ² + r² sin ² èdö ² (3.14.)

Ecrire à l'aide des trois paramètres, la surface de la sphère (considérée comme un espace à deux dimensions) constitue un exemple d'espace de Riemann à deux dimensions. Dont l'élément linéaire est de la forme générale bien connue (cf. le chapitre traitant du calcul tensoriel) :

ds 2 = g_ik duⁱ du^k (3.15.)

où les duⁱ sont les composantes contravariantes du vecteur dM = MM' par r apport au repère naturel (M, e_i) .

Remarque 3.4.

L'étude des figures sur des surfaces riemanniennes fait partie de la géométrie différentielle.

Considérons à présent un surface quelconque de coordonnées u ¹ , u ². Les coordonnées

cartésiennes x, y, z de l'espace ordinaire où se trouve plongée cette surface s'écrivent de manière générale :

x = x( u , u ² , y = y u ¹ , u ² , z = z (u ¹ , u ² (3.16.)

Remarquons par ailleurs que l'équation métrique sous forme tensorielle :

¹ Cette expression découle des notions sur le calcul tensoriel qui ne fait pas l'objet de la présente étude.

ds = g _ik du du

2 i k (3.17.)

peut s'écrire sous forme développée à la manière de l'expression (2.49).

Remarques 3.5.

- L'expression donnée ci-dessus de l'élément linéaire s'appelle forme quadratique fondamentale de la surface considérée (cfr expression 2.49). Les coefficients E, F, G sont des fonctions des coordonnées curvilignes. De manière générale cette surface, considérée comme un espace à deux dimensions, constituera un exemple d'espace de Riemann, pour des coordonnées curvilignes arbitraires.

- Les différents espaces de Riemann constituent ce que nous appelons sous une forme générale une variété munie d'une métrique riemannienne.

Définition 3.3.

Les variétés sont des espaces topologiques qui sont localement comme Rⁿ (notre espace par exemple..).

Définitions 3.4.

Une variété topologique de dimension n est un espace de Hausdorff (espace séparé¹) M tel que pour tout p ? M il existe un voisinage ouvert U ? M avec p ? U, un voisinage

' n

ouvert U ? Ret un homéomorphisme :

? : U ?U (3.18.)

'

Définition 3.5.

Un homéomorphisme entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continu.

Remarque 3.6.

Parmi les variétés les plus simples figurent les courbes et surfaces du plan et de l'espace euclidien.

Exemples 3.2.

- Une variété peut être définie (non formellement), par exemple, par un ensemble de points situés dans un espace préexistant.

¹ Un espace topologique est dit séparé si, pour tous points x,y de cet espace, il existe un voisinage U de x et un voisinage V de y tels que U nV = { }.

- De manière générale une surface donne l'idée d'une variété à deux dimensions. La sphère et le tore sont des variétés à deux dimensions sans frontière.

- Un cylindre de révolution, un paraboloïde hyperbolique, sont des variétés à deux dimensions ouvertes, avec frontières à l'infini.

- Nous pouvons aussi envisager des variétés abstraites. C'est le cas par exemple d'un espace de configuration. Il s'agit alors d'un espace de points à n dimensions représenté par un ensemble ⁱ

q (ou noté ⁱ

u ) de coordonnées généralisées, ces dernières pouvant avoir des valeurs comprises dans un domaine fini ou non.

Nous pouvons maintenant mieux définir ce qu'est un espace de Riemann. Definition 3.6.

Un espace de Riemann est une variété à laquelle nous avons attaché une métrique. Cela signifie que, dans chaque partie de la variété, représentée analytiquement au moyen d'un système de coordonnées , nous nous sommes donnés une forme différentielle quadratique : ds = g _ij du du

2 i j (3.19.)

qui constitue la métrique de l'espace.

Dans les notions sur le calcul tensoriel, il est démontré que les coefficients g_ij ne sont pas entièrement arbitraires et doivent vérifier les conditions suivantes :

- Les composantes sont symétriques g ij = g_ji .

- Le déterminant de la matrice [ g_ij est différent de zéro.

- La forme différentielle de l'élément linéaire, et par conséquent le concept de distance défini par les g_ij , est invariante vis-à-vis de tout changement de coordonnées.

- Toutes les dérivées partielles d'ordre deux des g_ij existent et sont continues donc de classe ²

C .

Definition 3.7.

Un espace de Riemann est donc un espace de points, chacun étant repéré par un système de n coordonnées ⁱ

u , doté d'une métrique quelconque telle que la forme différentielle de l'élément linéaire vérifiant les conditions précédentes. Cette métrique est dite dès lors métrique riemannienne.

Remarques 3.7.

i j

- Si la métrique est définie positive, c'est-à-dire si g _ij v v > 0 pour tout vecteur v non

nul, nous disons que l'espace est proprement riemannien. Dans ce cas, le déterminant de la
matrice [ g_ij est strictement positif et toutes les valeurs propres de la matrice [ g_ij sont

strictement positives.

- Par définition, nous disons qu'une métrique d'un espace est euclidienne lorsque tout tenseur fondamental de cet espace peut être ramené, par un changement approprié de coordonnées, à une forme telle que la base orthonormée canonique : g ij = g_ji .

- Les espaces de Riemann à courbure variable comprennent comme cas particuliers les espaces euclidiens, de dimension quelconque, mais de courbure nulle, les espaces hyperboliques de Lobatchevski, de courbure négative constante et les espaces elliptiques de courbure constante positive. Riemann en signale d'un mot l'existence, ce qui a fait donner parfois le nom de géométrie de Riemann à la géométrie elliptique élémentaire¹.

3.4. La géométrie sphérique

Dans la géométrie elliptique, on part de l'hypothèse que la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux angles droits. Et par un point, il ne passe aucune droite parallèle à une droite donnée.

Fig. 3.2. La somme des angles d'un triangle est supérieure à 180°.

Définition 3.8.

La géométrie elliptique, communément appelée géométrie de Riemann ou encore géométrie sphérique est un espace sphérique à trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, à courbure régulière, alternative au postulat euclidien des parallèles.

¹ La Grande Encyclopédie Larousse, p.5386.

Fig.3.3. Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

Remarque 3.8.

- La géométrie sphérique est bien représentée par la surface d'une sphère. - Les points sont les paires de points antipodes d'une sphère.

- Les droites sont les grands cercles (c'est-à-dire dire les cercles ayant le même centre que la sphère).

3.5. La géométrie hyperbolique et le logiciel NonEuclid 3.5.1. La géométrie hyperbolique

Définition 3.9.

La géométrie hyperbolique, communément appelée Géométrie de Lobatchevski est un espace courbe où on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. Dans cette géométrie, la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles droits.

Fig. 3.4. Il existe une infinité de droites qui comme d1, d2 et d3 passent par le point M et sont parallèles à la

droite D.

Fig.3.5. La somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°.

Hormis le cinquième postulat, la géométrie hyperbolique respecte toutes les autres définitions d'Euclide. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modèles de géométrie hyperbolique à deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré, ...

3.5.2. Le logiciel NonEuclid

Avant de présenter le logiciel NonEuclid, définissons d'abord ce que c'est une pseudosphère.

Definition 3.10.

Comme la sphère, la pseudosphère peut être pensée comme une surface de dimension 2. La sphère est plus petite que le plan: elle est finie, alors que le plan est infini. Une pseudosphère, elle, est plus grande que le plan. Les deux sont infinis, cependant la pseudosphère offre plus de place. C'est pourquoi, on dit que la pseudosphère est d'une infinité plus dense que le plan.

Puisque la pseudosphère est plus grande que le plan, il est très difficile de la représenter dans nos dessins régis par la géométrie euclidienne. Mais il y a une méthode pour faire entrer une pseudosphère à l'intérieur d'une région circulaire. Cette méthode est appelée, Le modèle de Poincaré pour la géométrie hyperbolique, et c'est le modèle utilisé par NonEuclid.

Definition 3.11.

NonEuclid est un logiciel qui permet de représenter l'espace courbe de la géométrie hyperbolique. C'est donc un modèle de la géométrie hyperbolique.

Pour construire les segments et droites dans ce modèle, nous utilisons des cercles orthogonaux au cercle frontière. Ainsi, sur la première figure ci-dessous les segments sont des arcs de cercles orthogonaux au cercle blanc. Pour la deuxième figure, A étant le centre du cercle frontière, les centres des cercles orthogonaux sont à l'infini, ce sont des droites ....

Fig.3.6.1: Segments égaux de même extrémité.
Fig. 3.6.2: Segments de longueur 0.25, 0.5, 1.0, 2.0, 4.0, 8.0 et 16.0 Unités.
Fig. 3.6.3: Pavage de triangles égaux.

Quand un point approche du cercle frontière, sa distance au centre devient infinie. La figure 3.6.1. montre un ensemble de segments tous de longueur 3.00 unités. Notons que plus le segment est proche du cercle frontière, plus il apparaît court. Cet ensemble de segments représente les rayons d'un cercle (ils sont égaux et ont une même origine). L'ensemble des segments de la figure 3.6.2., ont un point de départ commun au centre du cercle frontière. AB a une longueur 0.25 unités. AC une longueur de 0.5 unités. En tournant, chaque segment est deux fois plus long que le précédent. Les deux derniers (AG et AJ) semblent avoir la même longueur, pourtant AJ (un demi pixel de plus) a deux fois la longueur de AG.

Quand on utilise NonEuclid pour marquer des points, on constate que le curseur ne peut dépasser une distance de 10 unités du centre sans sortir du modèle. Sur un écran, nous sommes limités à la résolution d'un pixel¹. Cependant, la distance entre le dernier point accessible à l'écran et la frontière est infinie.

3.5.3. Droites Parallèles

Fig.3.7. Droites parallèles dans l'espace courge de la géométrie hyperbolique

Grâce au logiciel NonEuclid, nous constatons que dans la figure ci-dessus, la droite hyperbolique BA et la droite hyperbolique BC sont toutes deux des droites infinies dans le même plan. Elles se rencontrent au point B et, par conséquent, elles ne sont pas parallèles. La droite hyperbolique DE et la droite hyperbolique BA sont aussi des droites infinies dans un même plan, et elles n'ont pas de point commun, DE est parallèle à BA. De même, la droite hyperbolique DE est aussi parallèle à la droite hyperbolique BC.

Nous savons qu'en géométrie euclidienne: Si deux droites sont parallèles à une même troisième, ces droites sont parallèles entre elles. C'est un théorème en géométrie euclidienne, cependant en géométrie hyperbolique l'exemple ci-dessus prouve que c'est faux (BA et BC sont parallèles a DE, pourtant BA n'est pas parallèle à BC).

Dans ce modèle de la géométrie hyperbolique, les objets paraissent de plus en plus petits quand ils approchent le cercle frontière et que la distance d'un point quelconque intérieur à la frontière est infinie. Même si un segment hyperbolique mesure 100 millions de miles de long, il n'atteindra pas le cercle frontière et chaque extrémité du segment peut être éloignée.

3.5.4. Utilisation du logiciel

Le modèle utilisé par NonEuclid est un modèle fini à deux dimensions de la géométrie hyperbolique. Le large cercle vide qui apparaît au démarrage de NonEuclid est nommé le Cercle frontière. Celui-ci est la zone de dessin à l'écran et il contient complètement l'espace hyperbolique infini à deux dimensions.

Exemple 3.3.

Construction d'un triangle ABC.

Les étapes suivantes permettent la construction du triangle en géométrie hyperbolique :

- Choisissons l'option Draw Line Segment (Specify Two Endpoints) du menu Constructions. La boîte de dialogue Draw Line Segment s'affiche.

- Déplaçons la souris à l'intérieur du cercle frontière. Notons que quand la souris est à l'intérieur de ce cercle le curseur devient une croix.

- Cliquons quelque part à l'intérieur du cercle frontière. Un point sera dessiné. Ensuite, remarquons que quand nous déplaçons la souris, Length = est suivi d'un nombre dans la boîte de dialogue Draw Line Segment. Ce nombre est la distance du premier point marqué à la position de notre souris.

- Cliquons à un deuxième emplacement à l'intérieur du cercle frontière. Un second point sera dessiné et un segment de ligne droite affiché entre les deux.

- Cliquons sur l'une des extrémités de votre segment. Puis déplaçons la souris vers un troisième point et cliquons à nouveau. Un second segment de droite sera dessiné. Deux côtés de notre triangle sont alors définis.

- Construisons le troisième côté en cliquant sur l'une des extrémités puis sur l'autre. Notre premier triangle est alors complet.

Fig.3.8. différentes étapes pour la construction du triangle ABC

Remarque 3.9.

Nous pouvons mesurer les angles et les longueurs des côtés de notre triangle avec l'option Measure Triangle du menu Measurements. Remarquons que la somme des trois angles de notre triangle est toujours inférieure à 180°.

En géométrie hyperbolique le triangle ABC, montré ci-dessus, semble courbe. Et pourtant en géométrie hyperbolique, ses trois côtés sont des segments parfaitement rectilignes! En géométrie hyperbolique la plupart des droites apparaissent courbées vues de notre géométrie euclidienne habituelle. Si nous vous pouvions entrer dans le monde de la géométrie hyperbolique, toutes les lignes droites montrées dans cette représentation nous apparaîtraient parfaitement rectilignes.

Remarques 3.10.

- La droite hyperbolique n'est pas la même chose que la droite euclidienne (par exemple, la droite hyperbolique est incurvée). Elles ont cependant beaucoup de propriétés semblables entre autres :

En géométrie euclidienne, il n'y a qu'un plus court chemin entre deux points. Nous appelons ce "plus court chemin" la ligne "droite", et ce chemin forme le segment de droite joignant les deux points. La même chose est vraie en géométrie hyperbolique avec les points hyperboliques et le segment de droite hyperbolique.

En géométrie euclidienne, deux points définissent une droite unique. Autrement dit, avec 2 points quelconques, il existe une droite passant par ces deux points. De plus cette droite est unique. Nous avons exactement la même chose en géométrie hyperbolique.

En géométrie euclidienne, la lumière se déplace selon une ligne droite euclidienne. De même en géométrie hyperbolique, la lumière se déplace selon une ligne droite hyperbolique.

- En dépit de ces similarités, les droites hyperboliques ont de nombreuses propriétés différentes des droites euclidiennes. Par exemple, les théorèmes de géométrie euclidienne suivants sont faux en géométrie hyperbolique:

En géométrie euclidienne, si deux droites sont parallèles à une 3ème, ces droites sont parallèles entre elle.

En géométrie euclidienne, si deux droites sont parallèles, alors elles sont équidistantes.

En géométrie euclidienne, des droites qui n'ont pas de fin (droites infinies), n'ont pas d'extrémité (un point sans suivant, ici jamais atteint).

3.6. Domaine d'application

La géométrie riemannienne est d'une importance capitale dans la théorie de la relativité générale. En effet, dans la théorie de la relativité générale, Einstein postule que l'espace-temps est un espace riemannien. Plutôt que de suivre des lignes droites, comme c'était le cas en relativité restreinte, les observateurs inertiels de la relativité générale suivent des géodésiques, courbes qui sont localement équivalentes à des droites et généralisent cellesci dans le cadre de la géométrie riemannienne.

La notion de droite énoncée par Euclide est celle d'une ligne qui est identique à ellemême en tous points, cependant, une autre définition possible est de dire qu'une ligne droite est le << plus court chemin joignant deux points donnés ». Ainsi, on peut étendre cette dernière définition au cas des espaces courbes (=riemanniens), la construction globale de la courbe se faisant de proche en proche, jusqu'à donner une géodésique. Les géodésiques en tant que généralisations naturelles des lignes droites sont d'ailleurs des objets mathématiques très utilisés.

Exemples 3.4.

- << Le plus court chemin pour voler de la Floride aux Philippines passe par l'Alaska ». Les Philippines sont au Sud de la Floride - pourquoi faut-il voler vers le Nord, vers l'Alaska pour avoir le plus court chemin? La raison en est que la Floride, l'Alaska, et les Philippines sont colinéaires en géométrie sphérique. Ces lieux sont sur un Grand Cercle.

- Lorsque l'on marche droit devant soit, la Terre n'étant pas plate mais courbe, on ne suit pas une ligne droite, mais bien une géodésique : en continuant suffisamment on se retrouve à son point de départ. Et le fait que ces trajectoires sont les plus courtes est également très important pour la navigation aérienne ou maritime, ce qui explique pourquoi

les avions traversant l'Atlantique se rapprochent du Pôle Nord, alors que sur une carte cela semble rallonger la distance.

A chaque géométrie on peut faire correspondre une idée de courbure de l'espace : positive chez Riemann, négative chez Lobatchevski, et nulle dans la géométrie euclidienne. Einstein a utilisé cette idée pour construire la théorie de la relativité : « un rayon lumineux suit le plus court chemin, mais, si l'espace est courbe, celui-ci n'est plus nécessairement une droite. »

La géométrie non-euclidienne est fort utilisée par les pilotes et capitaines de navire pour naviguer autour du monde.

CONCLUSION

Nous voici arrivé au terme de notre expédition dans l'univers de la géométrie noneuclidienne. On l'aura constaté, c'est un domaine très vaste et qui reste encore à explorer. Néanmoins, le but de notre travail était d'essayer de comprendre pourquoi et comment les mathématiciens, dans leurs recherches, en sont arrivés à la géométrie non-euclidienne.

Pour ce faire, nous sommes partis de l'héritage nous léguer par Euclide à travers ses Eléments où il formalisa toute sa théorie avec diverses définitions et cinq postulats fondamentaux. Parmi ces postulats, il en est un qui fit couler beaucoup d'encre. C'est le cinquième, celui connu sous le nom de postulat des parallèles. Le fait qu'il n'était pas accepté et donc modifié engendra de nombreuses années après Euclide ce que nous appelons aujourd'hui les géométries courbes. Ces géométries sont tout aussi cohérentes que celle d'Euclide. Elles ne sont pas nées pour supprimer la géométrie euclidienne mais plutôt pour la compléter.

Ce qu'on appelle alors géométrie riemannienne (géométrie non-euclidienne) est une généralisation, à des espaces de dimensions quelconques, de la notion de courbure introduite par Gauss, des géométries de Gauss, Bolyai, Lobatchevski et même celle d'Euclide. Celles-ci ne devenant que des exemples particuliers de géométries riemanniennes.

Nos recherches personnelles sur Internet nous ont conduit à la découverte du logiciel NonEuclid. Celui-ci nous a permis de représenter les droites telles que vues dans l'espace courbe de la géométrie hyperbolique.

Au cours de l'élaboration de sa géométrie, Riemann eut l'intuition que « puisqu'elle était plus vaste et générale que celle d'Euclide, elle était peut-être, malgré les apparences, plus en accord avec le monde réel¹». C'est ainsi que la géométrie non-euclidienne a donné une impulsion considérable à de grandes théories comme celle de la relativité générale et a permis plusieurs avancées dans différents domaines tels que la physique, l'astrophysique, l'astronomie, l'aviation, la navigation, etc.

La géométrie n'est donc pas quelque chose de figer il y a 3000 ans en Grèce. C'est un champ de recherche actif et actuel. Voilà pourquoi les efforts fournis dans ce travail pour comprendre la géométrie non-euclidienne laissent les portes grandes ouvertes à quiconque voudrait aller plus loin.

¹ Article lu sur http://www.futura-sciences.com/fr/comprendre/dossiers/doc/t/physique/d/relativite-generalecomment-lespace-temps-devint-dynamique_510/c3/221/p5/

BIBLIOGRAPHIE

1. Livres

1. BERGER Marcel, A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer, London,

2002.

2. BOREL E., L'espace et le temps, PUF, Paris, 1949.

3. COMBES A., BARGUES D., Mathématiques. Géométrie affine et euclidienne. Cinématique, Librairie WILBERT, Paris, 1975.

4. DENIS-PAPIN M., Mathématiques générales, DUNOD, Paris, 1977.

5. DERON P., ITARD J., Mathématiques et mathématiciens, Editions MAGNARD, Paris, 1965.

6. GOTTET-EMARD F., GOETGHELUCK P., Mathématiques sur ordinateur, Editions De Boeck Université, Bruxelles, 1993.

7. LESSIEUR L. et Ali, Algèbre linéaire, géométrie, Armand Colin, Paris, 1977.

8. LESSIEUR L., JOULAIN Cl., Mathématiques, Armand Colin, Paris, 1977.

9. STEWART, Analyse. Concepts et contextes, vol. 2, Editions De Boeck Université, Bruxelles, 2006.

2. Articles

1. COQUE R., « Géométrie différentielle classique », in Encyclopedia Universalis, Corpus 10, S.A. 1989, pp. 358-366.

2. GROUSSON Mathieu, « D'où viennent les maths ? », in Science & vie, n°1080, septembre 2007, pp. 50-67.

3. MORLET Cl., « Variétés différentiables », in Encyclopedia Universalis, Corpus 23, S.A. 1989, pp. 344-351.

4. RUSSO F., « Géométrie », in Encyclopedia Universalis, Corpus 10, S.A. 1989, pp. 345-350.

3. Cours

KALALA MUTOMBO, Géométrie différentielle, Faculté des Sciences, UNILU, 2006, cours, inédit.

4. Ouvrages généraux

1. AUGE et alii, Grand Larousse Encyclopédique, Librairie Larousse, Paris, 1962.

2. Encyclopédie Microsoft Encarta, 2005.

3. La Grande Encyclopédie, Librairie Larousse, Paris, 1974.

5. Liens Internet

1. http://www.labri.fr/perso/betrema/deug/poly/euclide.html#iter, 12 juillet 2007.

2. http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometreisnoneuclidiennes01.php, 20 juillet 2007.

3. http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htm, 04 août 2007.

4. http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/planhyp.htm, 10 août 2007.

5. http://www.futura-sciences.com/fr/comprendre/dossiers/doc/t/physique/d/relativitegenerale-comment-lespace-temps-devint-dynamique_510/c3/221/p5/, 16 septembre 2007.

6. http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/irem/histoire/Cv%C3%A9rit%C3%A9.htm, 13 novembre 2006.

7. http://www.wilkipeadia.com/, 07 avril 2007.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 1

1. Problématique 1

2. Intérêt du sujet 2

3. Méthode et division du travail 3

3.1.Méthode 3

3.2. Division du travail 3

Chapitre premier : CONSTRUCTION DE LA GEOMETRIE EUCLIDIENNE 4

1.1. Les cinq postulats d'Euclide 4

1.2. Parallélisme 6

1.3. Les conséquences du cinquième postulat 7

1.4. Espaces vectoriels 8

1.5. Espace affine 11

1.5.1. Propriétés élémentaires 12

1.5.2. Sous-espaces affines 12

1.5.3. Repère affine 13

1.5.4. Notion de parallélisme 13

1.6. Espace euclidien 14

1.6.1. Espace vectoriel euclidien 14

1.6.2. Espace affine euclidien 16

Chapitre deuxième : COURBES ET SURFACES DE L'ESPACE 18

2.1. Courbes de l'espace 18

2.2. Trièdre de Frenet 20

2.3. Nappes paramétrées 24

2.4. Métrique d'une surface 26

Chapitre troisième : GEOMETRIE NON-EUCLIDIENNE 28

3.1. Limites de la géométrie euclidienne 28

3.2. Géodésique et équation métrique 28

3.3. Espaces de Riemann 31

3.4. La géométrie sphérique 35

3.5. La géométrie hyperbolique et le logiciel NonEuclid 36

3.5.1. La géométrie hyperbolique 36

3.5.2. Le logiciel NonEuclid 37

3.5.3. Droites Parallèles 38

3.5.4. Utilisation du logiciel 39

3.6. Domaine d'application 41

CONCLUSION 43

BIBLIOGRAPHIE 44

TABLE DES MATIERES 46