La théorie de la gravité quantique de Bohm dans l'approximation linéaire du champ

III- Chapitre 3

1. Obtention de l'équation (III.3)

&h_a

?k	? (k0 ? ? 2 8k^a, 1 ^a (Ike, + dl
&ha		o
			O

Nous négligeons dans ce deuxième membre les termes en ä :

of, 4 2

(III.3)

dans l'approximation linéaire du champ

2. Obtention de l'équation (III.5)

? ?

1d t ^{a d2rs} )⁺y^{a (rrs} )¹
2 -- ab r b r i

or

(III.5)

3. Obtention de l'équation (III.6)

hoo ^20^2 hii =^20^(c^) + ^22b

= ^S + 3 ? ?^2 ? = il ?2 22 ay (2hoo)ka ka d ?

; de même quand x²=y=b à

(III.6)

y=oo ;

4. Obtention de l'équation (III.8)

? ?A

+ .)

a s ? a			? ? ? ? ^2 ? ? ) ? 0 ? ? ? ?			= uoo r ? ? sn ? ? ?+ ah "3 + ?
										? 2	A ?
? (	1 !I (	A ?						1

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(III.8)

5. Obtention de l'équation (III.10)

(III.10)

6. Obtention de l'équation (III.12)

(III.12)

GaLs l'aSSrR[iPatiRL liLéaire Gu AhaPS

Lexique

Approximation linéaire du champ

gravitationnel : elle consiste à ignorer les termes d'ordre supérieur à un dans le développement en G (Constante de NEWTON) de l'expression du champ gravitationnel.

Astrophysique : partie de l'astronomie (science qui étudie la position, les mouvements et la constitution des corps célestes) qui étudie la constitution, les propriétés physiques et l'évolution des astres et des divers milieux qui les composent).

Calcul tensoriel : partie des mathématiques qui traite de l'algèbre des tenseurs, des opérations sur les tenseurs....

Composante covariante d'un tenseur : Composante d'un tenseur avec des indices en position basse : par exemple.

Composante contravariante d'un tenseur : Composante d'un tenseur avec des indices en position haute.

Connexion riemannienne : il s'agit d'une
connexion linéaire sur une variété

différentiable í, sans torsion qui conserve le produit scalaire défini par la métrique riemannienne, elle est noté :

;

Cosmologie : branche de l'astronomie qui étudie la structure et l'évolution de l'Univers dans son ensemble.

Espace - temps : c'est la réunion de tous les évènements possibles, un évènement étant ce qui peut survenir en un lieu et à un instant .C'est donc un ensemble de points dont les coordonnées de localisation sont au « nombre de 4 »(il peut en exister d'autres selon les nouvelles théories de la gravitation) :la première est celle du temps et les trois autres sont celles de l'espace physique ordinaire.

Espace - temps einsteinien : C'est une géométrie lorentzienne caractérisée par la métrique lorentzienne g_m, et muni de la connexion riemannienne associée à g. Il est courbe car il est décrit à l'aide d'une géométrie non euclidienne.

Espace - temps galiléen : espace - temps de géométrie euclidienne.

Espace - temps minkowskien : espace affine à 4 dimensions dont l'espace vectoriel réel associé est muni d'un produit scalaire lorentzien ; cela signifie qu'il existe une base

de l'espace vectoriel telle que

,

Cette base constitue une tétrade lorentzienne. Cet espace - temps est plan car défini à l'aide d'une géométrie euclidienne.

Géodésique : c'est la ligne d'Univers la plus courte joignant deux points sur une surface.

Géométrie Riemannienne : c'est une géométrie non euclidienne donc courbe, différentielle, muni de la connexion riemannienne.

Gravitation : phénomène physique par lequel deux corps matériels s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance (D'après NEWTON).

Gravité : force de gravitation exercée par un astre sur un corps quelconque (NEWTON).

Gravité quantique : La gravité quantique est la branche de la physique théorique tentant d'unifier la mécanique quantique et la relativité générale ;

Relativité générale : actuelle théorie

classique et déterministe de la gravitation (Théorie de l'infiniment grand) , fondée par EINSTEIN en 1916 , et dont la théorie de NEWTON de la gravitation n'est qu'une approximation pour des champs gravitationnels faibles.

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Le champ d'action de la relativité générale part des systèmes d'étoiles, en passant par les

galaxies jusqu'à l'Univers pris dans son ensemble.

Masse grave : masse traduisant la propriété qu'elle a d'attirer d'autres masses ou d'être attirer par d'autres masses. Suivant le cas, on parlera respectivement de masse grave active ou de masse grave passive.

Masse inerte : masse traduisant la propriété qu'elle a de résister à sa mise en mouvement par des forces. En fait la masse inerte et la masse grave pour un même corps matériel sont égales d'après le principe de

l'équivalence.

Métrique : c'est un champ de tenseur g deux fois covariant, symétrique et non dégénéré.

avec et .

Métrique de SCHWARZSCHILD : métrique permettant de décrire le champ gravitationnel autour d'une masse sphérique et statique (ie qui n'est pas en rotation). Cette masse peut être une étoile, une planète ou un trou noir de SCHWARZSCHILD.

Métrique lorentzienne : C'est une métrique décrite pour l'espace - temps einsteinien ou espace - temps lorentzien. Elle est notée

de signature .

Métrique minkowskienne : on définit

comme la métrique décrite dans l'espace - temps minkowskien et dont la signature est
ou .

Observateur : possède une horloge pour mesurer le temps d'un évènement et une règle graduée dans son voisinage immédiat pour mesurer la localisation spatiale dudit évènement. Si deux évènements peuvent être reliés par l'intermédiaire de cette règle alors ils sont dits simultanés pour cet observateur.

Observateur inertiel : c'est un observateur dont la ligne d'Univers est une droite de l'espace - temps galiléen non incluse dans l'espace. Il conserve une direction d'espace fixe au cours du temps.

Signature d'une métrique : Ensemble ordonné des signes des composantes de la diagonale

( ² 1) / 2

principale d'une métrique.

Symboles de CHRISTOFFELL : Ils sont de première espèce et de deuxième

espèce on a les relations

g ._ar_ka =F_icji et , Iki= k

,

Tenseur : être mathématique (géométrique) Représentant une grandeur physique intervenant dans des lois qui doivent avoir

Une forme à caractère universel c'est - à - dire que cette forme ne doit pas dépendre du système de coordonnées (critère tensoriel). Dans un système de coordonnées à 3 dimensions, le tenseur est défini par un nombre entier n, on lui associe alors une matrice à 3ⁿ composantes, qu'on identifie généralement sous forme indicée selon leur position dans la matrice du tenseur considéré.

Tenseur anti - symétrique : un tenseur est ainsi appelé lorsque : .

Tenseur de RIEMANN : c'est le tenseur de courbure pour la connexion riemannienne. Il possède des propriétés d'antisymétrie en tant que tenseur de courbure : = --R₁₁₀ , et

d'autres propriétés de symétries :

.Ce tenseur

vérifie également la première identité de BIANCHI : ainsi que la

deuxième : . Il

permet de calculer la commutation des dérivées

covariantes : . Ce

tenseur a composantes
indépendantes.

Tenseur de RICCI : il est obtenu en effectuant
une contraction d'indices sur le tenseur de

RIEMANN . Il est symétrique et

possède n(n+1)/2 composantes indépendantes. Tenseur symétrique : un tenseur est ainsi dit lorsque :

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Notice [16(4)]

1. Approches candidates à la gravitation quantique Un certain nombre de propositions ont ete avancees pour aborder le problème :

· La première tentative de guérir la non-renormalisabilite de la gravitation a ete de rajouter l'ingredient de la supersymetrie afin de relier le comportement du graviton à celui des autres particules de spin plus petit et adoucir ainsi les divergences de la theorie. Le resultat porte le nom de theorie de supergravite. Malheureusement, malgre un comportement en effet meilleur les divergences restent et ces theories ne sont donc pas bien definies quantiquement.

· La theorie des cordes ou bien, plus precisement dans sa version supersymetrique, la theorie des supercordes est une tentative non seulement de description quantique de la gravite mais egalement des autres interactions fondamentales presentes dans le modèle standard de la physique des particules. Les differents modèles de la theorie des cordes sont parfaitement definis d'un point de vue quantique et de façon remarquable admettent les theories de supergravite comme theories effectives à basse energie. En ce sens les theories de cordes fournissent une description microscopique, on parle aussi de completion ultraviolette, aux theories de supergravite. C'est la branche de ce domaine la plus active par le nombre des chercheurs et des publications. Une partie des chercheurs travaillant sur la gravitation quantique à boucles critiquent neanmoins la theorie des cordes dont la place qui lui est accordee est selon eux hegemonique et empêche le developpement normal de theories alternatives en l'absence de confirmations experimentales.

· La gravitation quantique à boucles introduite par Lee Smolin et Carlo Rovelli sur la base du formalisme d'Ashtekar s'attache à presenter une formulation quantique de la gravite explicitement independante d'une eventuelle metrique de fond (contrairement à la description actuelle de la theorie des cordes même si elle inclut egalement la symetrie de reparametrisation comme sous ensemble de ses symetries) ce qui est un effort naturel conforme à l'esprit de la relativite generale. Contrairement à la theorie des cordes, la gravitation quantique à boucle ne se donne pas comme but de decrire egalement les autres interactions fondamentales. Elle ne se veut donc pas une theorie du tout. La viabilite de ce projet est contestee par une partie de la communaute des chercheurs en theorie des cordes (voir Lubos Motl à ce sujet).

· Alain Connes a recemment propose l'utilisation de sa geometrie non commutative pour reconstruire le modèle standard par reduction dimensionnelle de la relativite generale sur une variete non-commutative dans l'esprit de la theorie de Kaluza-Klein cherchant à reproduire l'electromagnetisme par reduction dimensionnelle de la relativite generale sur un cercle. Cependant son analyse se base sur une description classique du modèle standard et la quantification de son modèle n'est pas encore developpee ce n'est donc pas encore à proprement parler une description quantique de la gravite.

· La theorie des twisteurs de Roger Penrose introduite dans les annees 70 a introduit un nouveau formalisme permettant l'etude des solutions des equations de la relativite generale et à ce titre aurait pu

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offrir un meilleur point de départ pour la quantification de celle-ci. Mais les efforts dans ce sens n'ont pas abouti et le projet de quantification par cette voie a été abandonné aujourd'hui. Par contre le formalisme de twisteur reste utile dans le cadre de la relativité et a même retrouvé un regain d'intérêt récemment dans le cadre de l'étude de la théorie de Yang-Mills via la théorie des cordes (travaux de Witten sur ce dernier point).

· Théorie de la gravité quantique de David BOHM incluant le potentiel quantique et récemment testé

sur les résultats de la relativité générale. Elle apporte des termes correctifs sur la déviation de la lumière par un corps massif á symétrie sphérique, résultat obtenue par simulation numérique (Déviation déjá calculée á l'aide de la relativité générale) et donne une image corrective des lignes des forces des marées. La théorie de BOHM est déterministe, ne respecte pas le principe de covariance générale mais inclut également une vision métrique de la gravitation, á l'aide la fonction d'onde du système. Je pense qu'avec la métrique obtenue dans le cadre de cette théorie, l'on peut prévoir également des phénomènes comme l'effondrement gravitationnel d'une étoile, les mirages gravitationnels, les ondes gravitationnels.... Physica Scripta 2003, Vol.68,207-212, Bohmian quantum gravity in the linear field approximation de Fatimah SHOJAI et Ali SHOJAI )

2. Unification des interactions

Les physiciens ont recensé quatre interactions fondamentales dans la nature. Il n'est pas impossible que d'autres interactions existent sans que les moyens expérimentaux dont nous disposons aujourd'hui ne nous permettent de les mettre en évidence. En tout état de cause, qu'il y ait 4, 10 ou 20 interactions fondamentales, aucune indication dans la nature ne nous renseigne sur les raisons pour lesquelles il y en aurait 4, 10 ou 20 ! Quelque soit le véritable nombre d'interactions, leur multiplicité est inexplicable et la contingence de ce nombre soulève de graves difficultés d'ordre épistémologique et philosophique. Finalement, il est tout á fait légitime de se demander pourquoi la nature compte quatre interactions fondamentales et non 3 ou 5. Pourquoi n'en existe-t-il pas une seule ? Les physiciens aiment la simplicité qu'ils ont presque élevée en principe universel. Or quatre interactions, cela fait désordre et compliqué, alors que le principe de simplicité nous ferait plutôt pencher vers une interaction unique, synthèse parfaite de toutes celles observées á ce jour. Cette recherche de la simplicité a permis de débroussailler, avec un grand succès, la multitude des particules (les hadrons). Alors pourquoi ne pas tenter la même aventure avec les interactions ?

Pour unifier les interactions, deux approches sont possibles :

1. Une approche synthétique : les interactions seraient des manifestations différentes d'un même phénomène plus global qui pourrait être décrit par un seul cadre théorique á très haute énergie,

2. Une approche "historique" : les interactions étaient unifiées au moment du "big bang" et elles se

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seraient différenciées au fil du temps, un peu à la manière des cellules d'un embryon.

La beauté de la chose réside dans le fait, qu'au fond, ces deux approches sont équivalentes. En effet, augmenter l'énergie mise en jeu dans les interactions revient à se rapprocher des conditions qui prévalaient lors du Big Bang. Augmenter l'énergie est donc équivalent à remonter le cours de l'histoire de l'univers. S'il existe effectivement une interaction unique à très haute énergie, synthèse des interactions observées à notre niveau d'énergie, alors cela signifie que cette interaction était celle qui existait au moment du Big Bang.

Certains faits expérimentaux tendent à laisser soupçonner l'existence d'une telle synthèse à très haute énergie. Notamment, les expériences ont montré que les valeurs des constantes de couplage des diverses interactions se modifient avec l'augmentation de l'énergie et semblent, en première approximation, converger vers une valeur unique (à l'exception de la gravitation, toutefois).

3. La théorie de BOHM

(Mécanique quantique de BOHM)

Elle est déterministe, tandis que la mécanique quantique standard admet une interprétation non déterministe. A la différence d'un potentiel de la physique classique, le potentiel quantique de BOHM ne diminue pas nécessairement avec la distance spatiale. De plus la manière dont il détermine la trajectoire d'un système quantique peut dépendre de façon immédiate de facteurs éloignés dans l'espace. Il s'agit donc d'un nouveau type d'interaction, caractéristique du domaine quantique : une interaction à distance qui contrairement aux autres interactions, ne respecte pas la vitesse finie de la lumière comme vitesse limite. Elle conduit aux mêmes résultats que la mécanique quantique standard mais inclut comme EINSTEIN des variables cachées non locales. L'opposition entre la mécanique quantique standard et la mécanique quantique de BOHM est un exemple paradigmatique de la thèse philosophique de la sous -- détermination de la théorie par l'expérience. Trois points permettent néanmoins de fonder une critique à l'adresse de la théorie de BOHM : La mécanique quantique est la déclinaison d'une théorie quantique plus large qui inclut la théorie des champs quantiques. La théorie de BOHM peut -- elle être étendue à la théorie des champs quantiques ? Peut -- elle en reproduire toutes les prédictions expérimentales ?

- Est -- il cohérent d'accorder à la position le statut de propriété privilégiée, la valeur numérique définie de la position étant la variable cachée ? Toutes les autres propriétés n'acquièrent, d'après la théorie de BOHM, comme d'après la mécanique quantique standard, une valeur numérique définie que lors du processus de la mesure.

- L'hypothèse d'un potentiel quantique étant, semble t -- il une hypothèse ad hoc, supposer qu'un tel potentiel existe repose sur l'argument de reproduire les prédictions de la mécanique quantique standard. Source voir bibliographie [11].

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Bibliographic

[1] Bohmian Quantum Gravity in the Linear Field Approximation Ali SHOJAI and Fatimah SHOJAI, Physica scripta .Vol. 68,207-212, 2003.

[2] Note de cours de RELATIVITE GENERALE (D.E.A de physique théorique) Paris VI, Paris VII, Paris IX, E.N.S, X

Bernard LINET, 2004 - 2005, [e-mail]

[3] Mécanique, Fondements et applications J.-P. PEREZ, 5^ème édition, MASSON 1997.

[4] Physics meets philosophy at the PLANCK scale, contemporary theories in quantum gravity

By Craig CALLENDER (University of California at San Diego)

And Nick HUGETT (University of ILLINOIS at Chicago)

CAMBRIDGE University Press, 2001 Printed in U.S.A.

[5] Le déterminisme en physique

Par Lucien MANDENG, Projet de mémoire (E.N.S 04 - 05) , sous la direction du Docteur Jean Marie MBOUNGA, 2005.

[6] La physique du Hasard de Blaise Pascal à Niels Bohr Ch. RUHLA, Liaisons scientifiques, Hachette 1989.

[7] La décohérence, espoir du calcul quantique Article d'Harold Ollivier et Philippe Pajot, La recherche Septembre 2004, N°378, Pages 34 - 37.

[8] « A la une, Dépasser EINSTEIN » : L'héritage infernal Science et vie, Avril 2005, Pages 50 - 55.

[9] « A la une, Le monde existe - t - il vraiment ? »

1. Aux limites de la matiAre, la réalité n'est plus une certitude.

2. Et si tout n'était qu'information ?

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Science et vie, Octobre 2005, (1) Pages 70 - 77 et (2) Pages 78 - 83.

[10] La gravité est - elle illusion ?

Article de Juan Maldacena, Pour la science, Janvier 2006, N°339

[11] Un problème de physique : interpréter ou expérimenter ? Article de Nicolas Gisin et Valerio Scarani , Hors - série sciences et avenir , Octobre / Novembre 2006, Pages 66 - 71.

[12] Les univers cachés

1. Des cordes pour unir les forces de la nature

Par Emile Martin, Ciel et espace, Mai 2006, Pages 40 - 42.

2. « Notre univers serait une brane parmi d'autres »

Interview de Pierre Binétry, cosmologiste, Ciel et espace, Mai 2006, Pages 43 - 45.

3. Le rêve : la théorie qui résout tout

Par Stéphane Fay , Ciel et espace , Mai 2006 , Pages 46 - 48 .

[13] L'Univers, un monstre informatique

Article de Seth Llyod et Y. Jack Ng, Pour la science, Novembre 2004, N°325, Pages 31 - 37.

[14] Einstein et la théorie unitaire : 40 ans perdus ?

Article de C. Goldstein et Jim Ritter, Pour la science, Décembre 2004, N°326.

[16] L'évolution des idées en physique

Albert EINSTEIN, Léopold INFELD, traduit par Maurice SOLOVINE, Champs (Flammarion), 1982

[16] Liens des pages web visitées :

1. http://jac_leon.club.fr/gravitation/article-francais/f-38.html

2. http://jac_leon.club.fr/gravitation/article-francais/f-39.html

3. http://jac_leon.club.fr/gravitation/article-francais/f-310.html

4. fr.wikipedia.org/wiki/Gravité_quantique

5. fr.wikipedia.org/wiki/Gravitation_quantique_à_boucles

6. http://www.peiresc.org/2004/Cosmologie.htm

7. www.cieletespace.com/cat/quiseralenouveleinsteinversunenouvelletheorie de_la_gravitation.html

dEns Bl'EpprRxiPEtiRn BlinéEire Bdu BAhEPp

8. http://depire.free.fr/publique/THC/Cordes12.html

9. www.linternaute.com/science/espace/dossiers/06/theorie-du-tout/7.shtml

10. www.lpt.ens.fr/~gervais/activites/node35.html

11. www.webastro.net/forum/showthread.php?t=2282

12. http://www.mad-jarova.org/francais/gal13.htm

13. http://fr.wikipedia.org/wiki/Horizon_(trou_noir)

14. http://fr.wikipedia.org/wiki/Singularit%C3%A9_gravitationnelle

15. http://dept-info.labri.fr/~gavoille/divers.html

16. http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node221.html

17. http://jac_leon.club.fr/gravitation/article-francais/f-37.html

18. http://perso.orange.fr/michel.hubin/celebres/chap_cel4.htm

19. http://www.outre-vie.com/vieapresvie/chercheurs/bohm.htm

20. http://www.arikah.net/encyclopedie-francaise/Elwin Bruno Christoffel

21. http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie diff%C3%A9rentielle

22. http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne

23. http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_euclidienne

Version reconstituée, adaptée pour la mise en ligne le 24 Septembre 2008

Edité par Lucien M.MANDENG

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