Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

I.2. Valeurs moyennes et fluctuations

I.2.1 Valeur moyenne

Un grand système peut être subdivisé en sous-systèmes qui forment de nouveaux systèmes mécaniques mais qui ne sont pas isolés, le grand système considéré est isolé. La physique statistique se rapporte à un système se trouvant en équilibre.

D'habitude est isolé cette condition d'équilibre est vérifiée ; au contraire, les sous-systèmes sont soumis à des actions diverses de la part des autres parties des systèmes. A cause du grand nombre de degrés de liberté de ces autres parties, les interactions ont un caractère compliqués et enchevêtrés.

Ceci rend impossible les méthodes de la mécanique. Par conséquent, la méthode statistique repose essentiellement sur une certaine distribution statistique permettant de calculer la valeur d'une grandeur quelconque.

En statistique classique, la valeur moyenne d'une grandeur quelconque f(p,q) est donnée par la formule :

(1.1)

Où est la fonction de distribution statistique qui est égale à la probabilité pour les coordonnées q_i et les impulsions p_i de prendre les valeurs se trouvant dans les intervalles infiniment petits q_i, p_i et q_i+dq_i, p_i+dp_i

(avec i =1,2,...,N)

q = (q₁,q₂,...,q_N) est l'ensemble des coordonnées généralisées,

p = (p₁,p₂,...,p_N) est l'ensemble des impulsions généralisées

dq = dq₁dq₂...dq_N ; dp = dp₁dp₂...dp_N,

N est le nombre de degrés de liberté

La moyenne trouvée à l'aide de la fonction de distribution est appelée statistique. La statistique permet de faire les prédictions se réalisant avec une grande précision pour la majeure partie d'un intervalle de temps suffisamment long pour que l'influence des conditions initiales disparaisse. En ce sens, les prédictions de la statistique ont un caractère non pas aléatoire mais pratiquement déterminé. On dit qu'un système se trouve en équilibre statistique, de même qu'en équilibre thermodynamique ou thermique, si les grandeurs physiques macroscopiques caractérisant chacune de ses parties sont égales, avec une précision relativement grande à leurs moyennes.

En mécanique quantique, la valeur moyenne de toute grandeur caractérisant le système, ainsi que les probabilités des différentes valeurs de ces grandeurs sont déterminées à l'aide de la matrice densité.

Ainsi, la valeur moyenne de toute grandeur f à l'état donné est :

` (1.2)

Où sont les éléments matriciels de la grandeur f

est l'opérateur correspondant et dépendant généralement du temps, est l'ensemble des grandeurs qui représentent la matrice densité. [5]

Les distributions statistiques des sous-systèmes doivent, par définition de l'équilibre statistique, être stationnaires. Par conséquent, les matrices statistiques de tous sous-systèmes sont diagonales ; la grandeur, notée aussi par, est la distribution de probabilité.

Par suite, la formule déterminant la valeur moyenne d'une grandeur f se trouve ainsi simplifiée.

(1.3)

Avec les éléments matriciels diagonaux.