2.1.2 Modèles à parois cellulaires
multicouche (Multicouche)
Le modèle gigogne « Multicouche » comporte les
quatre changements d'échelle, ou Passages,
évoqués ci-dessus. A chaque changement
d'échelle, les expressions analytiques, donnant des estimations des
propriétés élastiques du solide homogène
équivalent à l'échelle considérée
30
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
sont proposées en fonction des
caractéristiques élastiques de l'échelle
immédiatement
inférieure et des paramètres retenus comme
étant caractéristiques de la transition envisagée.
Les techniques d'homogénéisations restent
simples, voire simplistes, elles sont basées essentiellement
sur la loi des mélanges. Elles considèrent des
assemblages en série ou en parallèles des sous-ensembles,
l'objectif étant de prendre en compte les
paramètres considérés, au mieux de ce que permettent
les techniques utilisées. Chaque Passage de la
modélisation gigogne constitue un « tiroir »
alimenté par un jeu de paramètres d'entrée et
délivrant un ensemble de paramètres de sortie. Sans changer le
principe de la méthode, l'un des « tiroirs » peut être
changé au profit d'un sous modèle plus performant
(éventuellement plus réaliste). Le paragraphe 2.1.3, relatif au
modèle Squelette, illustra ce propos.
2.1.2.1 Passage 1 : des macromolécules à la sous
couche pariétale
Le Passage 1 traduit les propriétés
élastiques d'une sous couche pariétale, en l'occurrence,
chacune des composantes du tenseur des modules élastiques Cijkl,
ceci en fonction des propriétés élastiques des
polymères constitutifs.
Une sous couche pariétale « s » est
assimilée à un composite à renfort filamentaire
constitué d'une matrice amorphe de lignine et
d'hémicelluloses, supposée homogène et isotrope,
renforcée par un faisceau de fibres parallèles ; les
microfibrilles de cellulose fortement cristallines.
Les propriétés des constituants pris en compte sont
donc : Propriétés élastiques isotropes de la matrice
ligno-cellulosique :
Em : Module d'Young de la matrice
õm : Coefficient de Poisson de la matrice
Propriétés élastiques des microfibrilles de
cellulose :
Ef : Module d'élasticité longitudinal
õf : Coefficient de Poisson des fibres de
cellulose
Une grandeur caractéristique de ce premier changement
d'échelle, quantifiant la proportion de renfort filamentaire dans le
milieu bi phasique est adoptée :
V : Fraction volumique en microfibrilles.
Le solide équivalent, correspondant à la sous
couche pariétale, est supposé homogène,
élastique, orthotrope, et à isotropie transverse.
L'expression matricielle associée au tenseur
r r r r
des complaisances élastiques Sijkl
dans un repère
(1 , 2, 3)
dont l'axe
(1 )
est colinéaire au
renfort filamentaire est notée sous la forme suivante
(2.1) :
31
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
S
S
S
0
s s s
11 12 12
0 0
s s s
S 12
Ss
S 22
s
S 12 0
s
0 0
(2.1) (Ss ijkl ) = 12
0
0
S 23
0
0
S 22
0
0
0
Ss 44
0
0 0
0 0
Ss 55 0
0 0
0 0 0
Ss 55
Dans la direction longitudinale
r
(1 )
de la sous couche envisagée, une association «
en
parallèle » de la matrice amorphe et des fibres
cristallines conduit à :
S
(2.2)
s 1
=
11 V Ef + (1 V) Em
Compte tenu de la relation d'ordre entre la
rigidité des fibres cristallines (quasi
r r
indéformables) et celle de la matrice ligno cellulosique,
dans les directions transverses
un arrangement de type « série » conduit
à l'expression (2.3) :
(2, 3)
s s =V (1 V) (1 V)
(2.3)
S 22
= S 33 = +
E f E m E m
En raison de cette même relation d'ordre, les
composantes Ss23 et Ss44 de la matrice des
complaisances sont évaluées par les expressions
(2.4) et (2.5):
(2.4)
Ss 23
m
Ss 23
= í
(2.5)
Ss44
E m
(1 V) 2 (1 + ím )
=
Em
r r
La souplesse au cisaillement dans le plan
(1 , 2)
est estimée par la somme pondérée
des
souplesses au cisaillement des fibres et de la matrice :
(2.6)
Ss66
= Ss55
2 (1 + íf )
= V +
Ef
(1 V)
2 (1 + ím )
Em
Les seules autres composantes non nulles sont alors
Ss12 et Ss13, complaisances élastiques
toutes les deux identiques sous l'hypothèse d'une
isotropie transverse de sous couche (2.7) :
(2.7)
s
S 12
s
= S 13
í f
= V
(1 V) í
m
E f E m
32
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
Les formules permettant d'exprimer les composantes
Cij de la matrice des rigidités en
fonction des composantes Sij de la matrice des souplesses sont
reproduites dans le Tableau
2.1.
|
2 2 2
D = S11 S22 S33 + 2 S12 S23 S31 -S11 S23 -S22
S31 - S33 S12
|
|
C11= 1 (S S S2 )
D 22 33 23
|
1 2
C = S S - S
22 D 33 11 31
|
C33= S11 S22 - S
1 2
D 12
|
|
1
C32 = C23 = D (S31 S12 - S32 S11)
|
1
C23 = C32 = D (S12 S23 - S13 S22)
|
|
1
C21 = C12 = D (S23 S31 - S21 S33)
|
|
1
C44 =
|
1
C55 =
|
1
C66 =
|
S44
S55
S66
Tableau 2-1 Expression des modules élastiques
Cij en fonction des complaisances Sij
2.1.2.2 Passage 2 : de la sous couche à la double paroi
Le Passage 2 conduit à l'expression des modules
d'élasticité longitudinal ELp et transverses ETp de la
double paroi. Ces mêmes modules élastiques, appelés
par la suite modules élastiques bipariétaux,
représentent des caractéristiques élastiques de tissus
ligneux (chapitre
1, paragraphe 1.2.5) et non des modules élastiques de
paroi.
La double paroi représente la quantité de
matière comprise entre deux lumens constitutifs, elle est, dans ce
premier modèle, assimilée à un stratifié
multicouches comportant un nombre N de sous couches empilées.
La sous couche de rang « p » est
caractérisée par :
les modules élastiques ELp et ETp déduits du
paragraphe précédent,
l'orientation AMF öP, angle des
microfibrilles de la sous couche (p) par rapport au grand axe de la
cellule (Figure 1.1),
l'épaisseur ep de la sous couche
considérée.
Le calcul des caractéristiques élastiques de la
double paroi comporte deux étapes :
a) expressions des modules élastiques de chaque sous
couche dans le référentiel de paroi
(2.8)
C P ijkl
= Cs pqrs .á P pi .á P
qj .á P rk .á P sl
Les composantes áij sont celles de
la matrice de changement de base faisant passer du
référentiel de sous couche au
référentiel de cellule :
c P
(2.9) [á P ij ] = s P
0
s P 0
c P 0
0 1
33
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
b) l'assemblage des N sous couches permet de dégager
notamment les rigidités de membranes
Aij du multicouche, auxquelles sont associées
les modules d'élasticité longitudinal et transverses de
double paroi notés respectivement ELp et ETp :
N
en posant c = cos ( ), s = sin ( ), avec h=
e(p)
p = 1
l'épaisseur de la double cloison et avec
z(p) la côte du plan moyen de rang (p) par
rapport au plan du stratifié, il vient :
1 N (p)
( p ) p 4
12 66
( p )
( p )
p2 p2
22
( p ) p4
(2.10) ELp h
e {C 11 c
p =1
+ (2C + 4C ) s
c + C s
(C(p) c p2 + C (p) s p2
) 2
- 13 32 }
C
(p)
33
1 N (p)
22
( p ) p4
( p )
( p )
p2 p2
( p ) p4
(2.11) ETp h
e {C c
p = 1
+ (2C 12 +4C 66 ) s c
+ C 11 s
(C(p) s p2 + C (p) c p2
) 2
- 13 23 }
C
(p)
33
Cette même construction permet également
d'expliciter (via les rigidités de flexion torsion)
les modules équivalents de flexion torsion E11 et
E22 des structures multicouches. Leurs évolutions avec certains
paramètres essentiels seront détaillées plus loin
(chapitre 3).
12 N
(p)
(p) 2
e(p) 3
( p )
12 66
( p )
( p )
p2 p2
22
( p ) p4
3
(2.12) E11 {
h
e z
p =1
+ } {C 11 c
12
+ (2C + 4C ) s
c + C s
N (p) 3
(C(p) c p2 + C (p) s p2
) 2
- 13 32 }
C
(p)
33
D11
12
(p)
(p) 2 e
( p ) p4
( p )
( p )
p2 p2
(2.13) E22 12
3
h
{ e z
h 3 p =1
+ } {C c
12
+ (2C 12 +4C 66 ) s c
(p) p2
(p)
p2 2
22
11 s
+ C ( p ) p4 -
(C13 s + C 23 c ) }
C
(p)
33
Remarque : cette présentation du modèle ne
préjuge pas du nombre N de sous couches prises
en compte.
2.1.2.3 Passage 3 : de la double paroi cellulaire au tissu
ligneux homogène
Le Passage 3 correspond au changement d'échelle
permettant l'évaluation de la masse
X
volumique ñx ainsi que les modules
d'élasticité longitudinal EL
X
, radial ER
et tangentiel
34
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
X
ET d'un tissu cellulaire « x »
élaboré à partir d'un ensemble de cellules jointives
supposées
localement identiques.
La représentation schématique d'un tissu
ligneux retenue Figure 2.1, est un nid d'abeille à cellules
rectangulaires. Les données d'entrée de ce troisième
changement d'échelle sont :
les modules d'élasticité longitudinal ELp et
transverse ETp, ERp de la double paroi considérée,
les caractéristiques géométriques du tissu
ligneux représentées par les diamètres radial
(DR) et tangentiel (DT) ainsi que les
épaisseurs de parois radiales (eR) et tangentielles
(eT) de la cellule représentative du
tissu.
Figure 2.1 Schéma en perspective retenu pour un
tissu ligneux de résineux
Quatre grandeurs sont déduites, la masse volumique
tissulaire ñx, les modules d'élasticité
X X X
tissulaire mésoscopique, longitudinal EL
, radial ER
et tangentiel ET .
Nb : à cette étape de la modélisation, le
qualificatif mésoscopique est employé pour distinguer
les deux « catégories » de modules
élastiques tissulaires ; les modules élastiques
bipariétaux évoqués précédemment et les
modules élastiques d'un V.E.R de chaque tissu du plan ligneux.
a) Porosité et masse volumique d'un tissu ligneux
Sous l'hypothèse couramment retenue selon laquelle la
masse volumique du matériau ligneux constituant les parois
cellulaires est une constante ñm = 1,51 kg/m3, la
donnée des quatre paramètres cellulaires
géométriques (DR, DT, eR, eT), retenus ici, fixe la
porosité P0 du
matériau, et en conséquence la masse
volumique ñx du tissu ligneux « x »
considéré. On prendra garde dans la suite que les données
géométriques tissulaires et la masse volumique ne sont pas des
paramètres indépendants.
Vol.lumen
(D
2e
)(D
2e )
e e
e e
(2.14)
P0 = = R T T R = 1
2 T + R 2 T R
Vol.Total
D R D T
D R D T
D R D T
e e
e e
(2.15)
ñ x = ñ m (1 P0 ) = 2ñ m T
+ R 2 T R
D R D T
D R D T
35
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
X
b) Evaluation du module élastique longitudinal
EL
d'un tissu « x »
Un effort longitudinal est distribué sur une
surface égale à celle de la section droite de la
X
cellule représentative. En conséquence, le
module d'élasticité longitudinale EL
du solide
homogène équivalent au nid d'abeille,
s'évalue à partir de ELp et en proportion de l'aire de
la
surface « mécaniquement » active de la
paroi par rapport à l'aire de la section droite de cellule,
soit :
D D
(D
2e
)(D
2e )
e e
e e
(2.16)
E L x
= R T R T T R E Lp
= 2 T
+ R
2 T R E Lp
E
E
D R D T
D R D T
D R D T
Compte tenu de l'avant dernière expression (2.14) de
la masse volumique tissulaire ñx, (2.15)
devient :
=
(2.17)
E L x
ñ x
Lp
ñ
m
=
Cette relation exprime la dépendance des paramètres
géométriques évoquée ci-dessus en a).
X
c) Evaluation du module d'élasticité radial
ER
d'un tissu « x »
Un effort appliqué suivant la direction radiale,
comme représenté sur la Figure 2.2, se
transmet par les parois radiales des cellules, supposées
positionnées dans le prolongement les unes des autres (Khale et
al, 1994).
X
En conséquence, le module élastique radial
ER
, du solide homogène équivalent se déduit
du
module d'élasticité transverse ETp de la
double paroi dans le rapport de l'épaisseur de la double paroi
radiale (2 eR) au diamètre tangentiel (DT) :
(2.18)
E R x
2e R
Tp
D
T
Figure 2.2 Illustration de la distribution des efforts
dans le cas d'un chargement radial
36
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
X
d) Evaluation du module élastique tangentiel
ET
d'un tissu « x »
Un effort appliqué suivant la direction tangentielle
comme précisé sur la Figure 2.3, se
transmet par les parois radiales mais aussi par les parois
tangentielles des cellules, du fait de la disposition en quinconces de
celles-ci. Les éléments de paroi tangentiels (AB, CD, EF,
Figure
2.3) travaillent en traction compression de façon analogue
aux sollicitations décrites dans le paragraphe précédent.
De plus, l'élément de paroi radiale (BCE, Figure 2.3)
travaille en
« flexion trois points ».
Figure 2.3 Illustration de la distribution des efforts
dans le cas d'un chargement tangentiel
Les assemblages de rigidités sont
réalisés de la façon suivante ; les
éléments AB et EF, assemblés en parallèles sont
associés en série avec les éléments BCE et CD. En
conséquence,
X
le module élastique tangentiel ET
somme de deux termes :
du solide homogène élastique équivalent
s'écrit comme la
(2.19)
1 = 1 D R +
x
1 D R (D
R 2e T )3
3
E T 2E Tp e T
128.E Rp D T e R
Le premier terme du second membre, comparable à
l'expression (2.18), correspond aux
éléments travaillant en traction compression,
tandis que le second terme est relatif à l'élément
travaillant en flexion (poutre de largeur unité et de hauteur
2eR « encastrée » aux deux extrémités).
(2.20)
1 = 1 D R
1 E Tp eT
(D R 2eT )3
1 +
E T x
2.E Tp
e T
64 E Rp D T
e R 3
Les configurations cellulaires choisies (directement
inspirées de microphotographies de
résineux), illustrées sur les Figures 2.1,
2.2 et 2.3, correspondent respectivement à des alignements des
parois radiales et à des dispositions en quinconce des parois
tangentielles
(Bodig et al, 1982, Khale et al, 1994,
Bergander et al, 2000). Il s'agit de situations extrêmes
X
qui donnent des estimations respectives par
excès du module radial ER
X
et par défaut du
module tangentiel ET .
37
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
2.1.2.4 Passage 4 : des tissus ligneux au bois propre
Le cerne de croissance d'un résineux est assimilé
à un composite de trois tissus ligneux ; le bois initial (bois de
printemps), le bois final (bois d'été) et les rayons ligneux.
Figure 2.4 : Schéma d'un volume
élémentaire de cerne de croissance : a) constitué de trois
tissus ; b) en
deux tissus après homogénéisation
des bois initial et final.
La maille élémentaire représentative d'un
cerne de croissance est constituée d'un cube, limité
r r r
par les faces perpendiculaires respectivement à
chacun des axes d'orthotropie
matériau. L'arête du cube élémentaire
est égale à la largeur de cerne.
(R, T, L) du
Le Passage 4 assure donc le changement d'échelle entre les
trois tissus ligneux constitutifs et
le cerne de croissance.
Les variables d'entrée sont les
caractéristiques élastiques de chacun des trois
tissus
X X
constitutifs, à savoir : les trois modules
d'élasticité longitudinal EL
X
, radial ER
et tangentiel
ET .
Les paramètres complémentaires sont
spécifiques de l'organisation des tissus ligneux dans le
cerne :
· la texture TX, rapport de l'épaisseur de bois
final à la largeur de cerne, caractérise la proportion bois
initial et de bois final,
· la fraction volumique en rayon ligneux, notée
n, définie la proportion de ce tissus par rapport à l'ensemble
des tissus constitutifs.
Le Passage 4 est assuré en deux phases successives :
a) Homogénéisation selon le sens radial du bois
initial et du bois final
L'épaisseur du cerne (e) est assimilée
à un bicouche, de bois initial formé en début de
croissance, suivi d'une couche de bois final.
38
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
Le solide homogène élastique anisotrope
équivalent est noté « infi », les modules
élastiques
correspondants sont évalués par la loi des
mélanges, en considérant des assemblages série et des
assemblages parallèles.
Suivant la direction radiale, les rigidités radiales
ERini, ERfin du bois initial et du bois final sont en
série, en conséquence, les souplesses s'additionnent au prorata
des épaisseurs :
(2.21)
1 = (1 Tx )
Tx
+
E R infi
E R ini
E R fin
Suivant la direction tangentielle, les rigidités
tangentielles ETini, ERfin du bois initial et
du
bois final sont en parallèle, en conséquence, les
rigidités s'additionnent également au prorata des
épaisseurs :
(2.22)
E T infi = (1 Tx ) E T
ini + Tx E T fin
Suivant la direction longitudinale, les rigidités
longitudinales ELini, ELfin du bois initial et
du
bois final sont en parallèle, en conséquence,
les rigidités s'additionnent au prorata des épaisseurs :
(2.23)
E L infi
= (1 Tx ) E L ini
+ Tx E L fin
b) Homogénéisations selon le sens tangentiel du
bois « infi » et des rayons ligneux
Il s'agit de caractériser l'assemblage du tissu «
infi » décrit au paragraphe précédent et des rayons
ligneux considérés comme un tissu ligneux spécifique.
Suivant la direction radiale, la disposition en
parallèle des tissus entraîne que la rigidité
E
radiale
selon:
infi
R
R
du bois « infi » et la rigidité radiale
E Rayon des rayons ligneux s'additionnent
(2.24) ER = (1-n) E infi + n E Rayon
R R
Suivant la direction tangentielle, la disposition en
série des tissus fait que la souplesse
E
tangentielle
1
du bois « infi » et la
souplesse tangentielle
inf i
T
1
des rayons ligneux
E
Rayon
T
E
s'additionnent selon :
E
(2.25)
1 (1 n) n
= +
inf i
T T
Rayon
E
T
39
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
Suivant la direction longitudinale, la disposition en
parallèle des tissus fait que la rigidité
L
longitudinale E inf i
du bois « infi » et la rigidité
longitudinale des rayons ligneux
Rayon
E
L
s'additionnent selon :
(2.26) EL = (1-n) E inf i + n E Rayon
L L
Les relations (2.24), (2.25) et (2.26) expriment ainsi
les modules d'élasticité homogénéisés
ER , ET et EL du Bois propre en fonction des modules
d'élasticité homogénéisés du bicouche
«infi», E inf i , E infi , inf i
Rayon
Rayon
R
Rayon
T E L
et des modules d'élasticité du tissu rayon
ligneux, E R
, E T et
E L compte tenu de la fraction volumique en
rayons ligneux n.
Trois tissus ligneux constituent le cerne de croissance dont la
composition est réglée par deux
paramètres, la texture (TX) qui fixe la proportion de
bois initial et de bois final et la fraction volumique (n) en rayon ligneux. A
l'instar des tissus bois initial et bois final, les cellules de rayons sont
caractérisées ici par un jeu de quatre paramètres
géométriques ; épaisseurs
(radiale et tangentielle) et diamètres (radial et
tangentiel).
2.1.2.5 Conclusion sur les modélisations M1 et M2
Les relations (2.1) à (2.26) assurent les quatre
changements d'échelles (Passages) considérées
au paragraphe 2.1.1. On remarquera que la double paroi
cellulaire est un multicouche dont le nombre N de sous couches est
laissé à l'appréciation de l'utilisateur. Nous discuterons
par la suite et dans le chapitre 3, de deux configurations
particulières de la modélisation Multicouche:
le modèle M1 comportant deux sous couches S2,
le modèle M2 comportant neuf sous couches (neuf plis).
2.1.3 Modèle à squelette de microfibrilles
(Squelette)
Le modèle M3 à squelette de microfibrilles
est directement inspiré des travaux discutés
précédemment. Cette modélisation
diffère de la précédente (paragraphe 2.1.2) en ce que les
deux premiers Passages (Passage 1, des macromolécules à la sous
couche pariétale ; Passage
2, de la sous couche à la double paroi
cellulaire) sont fusionnés en un seul changement d'échelle
noté Passage 1-2. Le Passage 1-2 conduit directement
des propriétés des macromolécules à celles de
la double paroi cellulaire. Les caractéristiques de la sous couche
S2 sont ici privilégiées, notamment en ce qui
concerne l'orientation des microfibrilles (ö). Les
caractéristiques et la vocation de cette modélisation ont
été évoquées au chapitre 1.
2.1.3.1 Passage 1-2 : des macromolécules à la
double paroi virtuelle
Comme au paragraphe précédent, (2.1.2.1), les
propriétés des constituants pris en compte sont :
les propriétés élastiques isotropes de la
matrice (Module d'Young Em, coefficient de
Poisson õm),
40
Modèles multi échelles et construction du
Résineux Standard Virtuel (RSV)
les propriétés élastiques des
microfibrilles de cellulose (Module d'élasticité
longitudinal Ef, coefficient de Poisson
õf),
la proportion de renfort filamentaire décrite par la
fraction volumique en microfibrilles
V,
l'angle des microfibrilles (noté dans ce
modèle ö) de la sous couche S2 du tissu ligneux
considéré.
Les modules élastiques bipariétaux longitudinal
ELp et transverse ETp sont évalués en fonction de ces
paramètres micromécaniques, comme indiqué par les
relations (2.27) et
(2.28).
Lp
(2.27) E = (1 V) (1 í) E m + V (1- s4)Ef
(1 + í)(1 2í)
Tp Rp
(2.28) E = E = (1 V) (1 í) E m + V (1-
c4)Ef
(1 + í)(1 2í)
| 
