3.1.2 Les processus AR(2)
Le comportement d'un processus AR(2) :Xt =
ç1Xt_1 + ç2Xt_2 +
ct dépendra fortement des racines de son équation
caractéristique 1 - ç1.z -
ç1.z2 =0. Le cas le plus intéressant
est celui où l'équation caractéristique a deux racines
complexes conjuguées et rei9 et
re_i9 pour r<1 : le processus est alors
stationnaire (et oscille alors autour de 0, sans exploser, de la même
facon que les processus AR(1) dans le cas où
|ç| < 1). Le processus est alors quasi-cyclique, de
fréquence , avec un bruit aléatoire.
Exemple 3.1.2.1 (AR(2) avec
ç1 > 0 et ç2 <
0)
Considérons le processus AR(2) noté
(X1t) avec ç1 = 0.6,
ç2 = -0.4. Autrement dit X1t =
0.6X1t_1 - 0.4X1t_2 +
ct. On a le code R suivant:
Le code ci-dessus nous permet de visualiser l' ACF et la
PACF de la série (X1t) :
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FIGURE 3.3 - La série X1 : ACF(rouge) et
PACF(vert)
On a une décroissance sinusoïdale
pour l'ACF et on a des pics de signification pour le
premier retard et le second retard pour la PACF.
Exemple 3.1.2.2 (AR(2) avec ç1
< 0 et ç2 < 0)
On se donne la série AR(2) noté
(X2t) avec ç1 = -0.6,
ç2 = -0.4. Autrement dit X2t =
-0.6X2t_1 - 0.4X2t_2 +
ct. On a le code R suivant:
Le code ci-dessus nous permet de visualiser l' ACF et la PACF
de la série (X2t) :
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FIGURE 3.4 - La série X2 :
ACF(rouge) et PACF(vert)
D'une manière générale que pour un
processus AR(p), la fonction d'auto-corrélation décroit
exponentiellement et/ou sinusoïdalement rapide et pour la la fonction
d'autocorrélation partielle les pics sont significatifs pour les
premiers retards, les autres coefficients sont nuls pour des retards
supérieurs à p.
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