1.6 Les applications de la PBN
1.6.1 Production agricole , production de biocarburant
Nous présentons ici un modèle qui nous a
été inspiré par la lecture de [18] et dont la
résolution permettrait non seulement d'augmenter la production agricole
du Cameroun (jugulant ainsi la crise alimentaire dont est sujet le pays), mais
aussi de réduire la pollution de l'air par les gaz d'échappement
d'automobiles et la pollution du sol et des eaux par les engrais chimiques.
Gêné dans sa politique de développement
par la faiblesse de la production agricole, face à la
nécessité de réduire la pollution associé à
l'émission des gaz d'échappement des automobiles et la pollution
des sols et des eaux par les engrais chimiques, le gouvernement Camerounais
décide d'explorer les possibilités afin d'encourager l'industrie
pétrochimique à utiliser les produits agricoles pour produire du
biocarburant. Différents produits agricoles tels que le tournesol, le
soja, les graines de coton, ou l'arachide peuvent être utilisés
à cette fin [18]. Mais il s'avère que le coût de production
de biocarburant est plus élevé que le coût de production de
carburant en utilisant les hydrocarbures. Dans le but d'encourager les
industriels à utiliser les produits agricoles, le gouvernement leurs
accordent une réduction de taxe suffisante. En contrepartie, l'industrie
s'engage à être neutre (i .e à ne pas spéculer sur
les prix) et à produire du biocarburant.
Le secteur agricole est représenté par un
ensemble d'exploitations agricoles; nous décrivons le modèle pour
une seule exploitation agricole; il pourra être facilement
généralisé dans le cas de plusieurs exploitations.
L'exploitant peut librement laisser une partie de sa
plantation en jachère (au quel cas plus tard cette partie pourra
être cultivé sans usage d'engrais chimiques) ou l'utiliser
à la production de plantes pour biocarburant. Dans les deux cas, il
engrange des revenues sous forme de
Genéralités sur la programmation
mathématique à deux niveaux 17
Mémoire de DEA * Laboratoire d'analyse
numérique * UYI Francisque.D.Fouodji (c)UYI 2007-2008
prime du gouvernement pour avoir laissé une partie de
ses terres au repos ou sous forme de subventions de l'État plus les
bénéfices faits après la vente de sa production à
l'industrie.
Pour maximiser son profit, le fermier décide par lui
même quelle surface de terre il va laisser en jachère, quelle
surface il va utiliser pour la culture de plantes destinées à la
production de biocarburant et quelle surface utiliser pour la production des
autres produits.
Soit xj E IR, xn E 1[8p,
xd E 1[8q respectivement la surface de terre laissée
en jachère, utilisée pour la production de produits pour
biocarburant et utilisée pour la production des autres denrées.
On considère les vecteurs ep = (1, ....,1)T
E 1[8p ; eq = (1, ....,1)T E
1[8q. (Les entiers p et q representant le nombre de produits agricoles
utilisés pour la productions de biocarburants et le nombre de produits
destinés à la consommation. Chaque composante des vecteurs
xn et xd representant la surface utilisée
pour la culture d'un produit fixé.)
Le problème du fermier consiste à maximiser
l'argent qu'il gagne grace à son exploitation :
|
< pd + u - cd,xd > + <
pn + s - cn,xn > + ãxj
--* max
|
(1.15)
|
|
xj,xd,xn
|
|
|
< ep, xn > + <
eq, xd > +xj C t
|
(1.16)
|
|
< ep, xn > +
xj C ó1t
|
(1.17)
|
|
< ep, xn > + <
eq, xd > C ó2t
|
(1.18)
|
|
xd C t', xn > 0, xd
> 0 , xj > 0
|
(1.19)
|
Où :
D pn,pd désignent respectivement le
vecteur argent gagné par unité de surface cultivé de
produits pour biocarburant et le vecteur bénéfice par
unité de surface cultivés pour les autres produits.
D s est le vecteur subventions accordées par
l'État pour les produits pour biocarburant ; cn le
coût de la production de ces plantes.
D ã est la prime par unité de surface de terre
laissée en jachère.
D u est la subvention accordée par unité de
surface de terre utilisée à la production d'autres produits ;
cd leurs coût de production.
D t est la surface de terre arable que dispose le fermier.
D ó1 et ó2 sont des proportions fixé par
le gouvernement.
D (1.15) est la fonction objectif du fermier.
D (1.16) est la contrainte sur la surface de terre arable
disponible dans l'exploitation agricole. En effet, on ne peut utiliser que ce
que l'on possède.
D (1.17) les restrictions de l'État sur la proportion
de terre laissée en jachère ou utilisée à la
production de plantes pour biocarburant. Car il faut encourager la production
des produits agricole destinées à la consommation.
D (1.18) les considérations agronomique visant
à limiter la surface de terre cultivé (pour éviter
Genéralités sur la programmation
mathématique à deux niveaux 18
la pollution du sol).
D La première inégalité de (1.19)
représente la contrainte sur certaines denrées qu'on ne veut pas
produire au delà de certaines quantités.
Le gouvernement joue le rôle de leader dans ce
problème. Son objectif est de minimiser le total des primes et des
subventions accordées aux exploitants. Soit kr le
vecteur volume de biocarburant r, r = 1, ..., w
produit par unité de surface ; Soit Tr la
réduction de taxe (proportionnelle au volume de biocarburant produit)
accordée à l'industrie pour le biocarburant r.
Alors le gouvernement doit résoudre le problème
:
Xw r=1
|
Tr < kr, xn > +
ãxj + < ueq, xd > + <
sep, xn >? « min
ô,ã,u,s
|
» (1.20)
|
|
Mémoire de DEA * Laboratoire d'analyse
numérique * UYI Francisque.D.Fouodji (c)UYI 2007-2008
< ep, xn > < t'
(1.21)
Xw < kr, xn
> < H (1.22)
r=1
pn = pn(T)
> 0, T > 0, ã > 0, u > 0
(1.23)
où xn, xj, xc
résolvent(1.15) - (1.19) (1.24)
Où
D t' et H sont des données
fixés par le gouvernement
D (1.20) est la fonction objectif du gouvernement
D (1.21) est la contrainte sur la surface de terre
utilisé pour la production de biocarburant.
D (1.22) la contrainte sur la quantité de biocarburant
produit.
D (1.23) traduit la neutralité de l'industrie, le prix
du biocarburant est fonction des réductions de taxes T et est
fixé une fois pour toute.
Nous obtenons ainsi un PBN. Ce modèle peut être
élargie à un problème d'optimisation à trois
niveaux en y incluant le problème de l'industrie
pétrochimique.
| 
