Etude d'un glissement de terrain par différente méthodes

II.2.4.EN Amérique :

+ Cas de Salvador :

A la suite d'un tremblement de terre de magnitude 7.6 à l'échelle Richter survenu en 2001 au large des cotes du Salvador, deux glissements de terrain se sont produits : le glissement de La Leona près de San Vicente et le glissement de Las Collinas.

Fig. (II.9): Glissements de La Leona près de San Vicente(a) et de Las Collinas (b).

+ Cas de Colombie:

Le glissement a eu lieu en 1987 au quartier de Villatina Medellin qui est localisé sur le flanc oriental de l'aval du Rio Medellin. Il est l'une des grandes catastrophes naturelles qui ont eu lieu en Colombie dans une zone urbaine. Le nombre des victimes a été entre 450 et 500, avec plus de 120 maisons détruites.

Le glissement est parti de la zone de dunites (roches argileuses fracturées) qui a une pente supérieure à 20%, il est descendu en suivant la ligne de plus forte pente (Figure II-10).

Fig. (II.10): Morphologie de la zone de glissement de Villatina Medellin en Colombie.

II .3. Conclusion:

Ces cas pathologiques cités précédemment montrent l'importance des effets de glissement pouvant engendrer des dégâts humains et matériels pouvant se chiffrer en plusieurs millions de Dinars dont les gouvernements doivent prêter beaucoup d'attention.

Les photos visualisées ci-dessus montrent les dangers permanents rencontrés dans tous les pays du monde dues aux glissements de terrain.

Pour cela, il faut compte tenu de ces phénomènes et de leurs dangers, et de prendre les précautions convenable pour détecter les zones instables afin de trouver les meilleurs solutions de protections ou de traitements.

III .1. Introduction:

La reconnaissance des sols permet d'appréhender les problèmes qui peuvent se poser lors de l'étude d'un projet de construction ou lors de l'expertise de sinistres. La reconnaissance des propriétés d'un terrain constitue le lien entre la cause d'un sinistre et les remèdes que l'on se propose de mettre en place.

Il y a sommairement, deux catégories de moyens de reconnaissances qui complètent les investigations géologiques de surface :

-Les méthodes d'observation du terrain, soit en place, soit à l'aide d'échantillons (prolongement en profondeur de la géologie de surface) : puits, tranchées, sondages...

-Les méthodes de mesure "in situ" basées sur la mesure d'une propriété physique du terrain, dont font parti les essais géophysiques.

III .2. Reconnaissance géologique :

C'est l'identification du sol par observation visuelle des différentes couches, confirmée par l'examen des cartes géologiques. On observe donc pour cela des puits, galeries ou tranchées qui donnent une coupe généralement "fraîche" de sol. Il est aussi possible d'utiliser des cavités existantes. L'examen des carrières ou des tranchées, situées à proximité de la zone considérée, donne des précisions immédiates sur les sous-couches. La reconnaissance peut s'effectuer à l'aide de sondages dont certains exemples sont décrits au paragraphe de la reconnaissance géotechnique. Il sera possible d'établir des coupes prévisionnelles ou même un bloc diagramme qui pourra être confirmé par les sondages.

III .3. Reconnaissance géophysique :

Les méthodes de reconnaissance géophysiques permettent de déterminer la nature des couches profondes en utilisant par exemple leurs caractéristiques:

- magnétiques

- Prospection électrique - Prospection sismique

- Prospection gravimétrique

III .4.	Reconnaissance g			éotechnique :
III. 4. 1		. Essais "in	situ" :

° L e pénétro mètre dyna mique : Il permet la détermination de la résistance mécanique

d'un so l. Une pointe métallique portée par un train de tiges pénètre dans le sol par battage success if. On mesure ensuite à intervalle s d'enfonce ment régul ier, l'énergi e nécessaire corresp ondante.

° L e pénétro mètre statique : Il permet d'enfo ncer, à vites s e lente et c onstante (0 ,5 à 2

cm par s econde) des tiges munies d'une pointe à leur extrémité. Il est conç u pour mesurer le frottement latéral s ur les tubes extérieurs qui entourent la tige c entrale et le s efforts sous la

pointe.

Pour prévenir tout risque de tassement di fférentiel, l e pénétromètre statique est utilisé pour le

contrôl e du compactage de couches de re mblais.

Fig. ( III.1) : différents types

de pénétromètre

° Les sondages destructifs

Ils sont destinés à l'acquisition de données. Les paramètres sont enregistrés soit sur cassettes soit sur diagrammes directement exploitables sur le chantier. Liste des paramètres non exhaustive:

-la vitesse instantanée d'avancement V.I.A.

-la pression sur l'outil P.O.

-le couple de rotation C.R.

-la pression de frappe P.F.

-le temps

L'appareil permet après étalonnage sur un sondage carotté ou à la tarière et interprétation des enregistrements, de retrouver et situer avec précision les différentes couches traversées, de détecter les hétérogénéités à l'intérieur d'une même couche, de localiser les cavités ou les blocs.

° Les essais à la plaqueLes essais à la plaque consistent à déterminer le déplacement vertical moyen de la surface du sol située sous une plaque rigide circulaire chargée. Les essais à la plaque ont essentiellement pour buts :

-soit de mesurer la déformabilité des plateformes de terrassement constituées par des matériaux dont les plus gros éléments ne dépassent pas 200mm. On utilise généralement dans ce cas les mesures faites au cours de 2 cycles de chargement successifs (modules de déformation Ev1 et Ev2)

-soit de contrôler les fonds de fouille de fondations ou d'apporter des éléments complémentaires sur le comportement d'une fondation.

III .4 .2. Essais de laboratoire

III .4.2.1. Teneur en eau naturelle

Elle définit le rapport en % du poids d'eau Ww que le sol contient au poids Wd de ses éléments secs. L'obtention des éléments secs s'obtient par dessiccation du sol pendant 24

heures à l'étuve à 105°C.

III .4.2.2. Analyse granulométrique

Elle permet de déterminer la distribution dimensionnelle en poids des éléments d'un matériau. Elle comprend deux opérations:

-tamisage pour les éléments de dimensions supérieures ou égales à 80 mm.

-sédimentométrie pour les éléments de dimensions inférieures à 80 mm.

III .4.2.3. Les limites d'Atterberg

les limites d'Atterberg définissent à la fois un indicateur qualifiant la plasticité d'un sol, mais aussi l'essai qui permet de définir ces indicateurs. Cet essai a été établi par l'agronome suédois Atterberg.

La teneur en eau d'un sol peut en effet beaucoup varier au cours des opérations de terrassements.

Pour la fraction fine (graviers exclus), la cohésion tient à la présence d'eau : parfaitement sec, le matériau serait pulvérulent. Au-dessus d'une certaine teneur (limite de plasticité), on peut le pétrir en forme de boudin, de boulette ou de fil. Pour une teneur plus forte (limite de liquidité), il forme un liquide, visqueux, qui ne conserve pas la forme qu'on lui a donnée. La détermination, soigneusement normalisée, de ces deux teneurs caractéristiques appelées limites d'Atterberg, est un élément important d'identification, et permet déjà de prévoir certaines propriétés.

III .4.2.4. Les essais de cisaillement

La boîte de Casagrande est constituée de deux demi-coquilles sur lesquelles on exerce perpendiculairement au plan de jonction des deux demi-coquilles, une pression. L'échantillon, comprimé subit une compaction, c'est à dire qu'il perd une certaine proportion d'eau. L'une des deux coquilles étant fixe, on exerce alors une pression latérale, tendant à faire glisser

l'autre parallèleme nt à leur séparation. En augmentant progressivement cett e contraint e , on constat e que la rés istance de l' échantillon croît, passe par un m aximum, pu is décroît j us qu'au momen t où se pro duit la rupt ure. L'usage de cet essai est notam ment appro p rié pour l' ét ude

des glis

sements de

terrain.

Fig. ( III.2) : La bo				îte de Casagrande
III	.4.2.5. Les	essais de compactage

oids principe

Les rés ultats se pré sentent sous la forme d'une courbe dont en ab scisse : la teneur en eau et en

ordonn ée : le poids volumiqu e sec. Cette courbe a un maximum dit "Optimum Proctor "

normal ou modifié selon la nature de l'ess ai. Ce maximum définit la teneur en eau et le poids

volumi que max.

Ils ont pour but d'é tudier l'influence de la teneur en eau d'un éc hantillon de sol sur le p volumi que sec de cet échantil lon soumis à une énergie de compactage déte rminée. Le consiste à compacter avec une énergie définie un échantillon de sol remani é dans un moule normal isé et à mes urer le poi ds volumique sec obtenu. L'essai e st recommencé pour

différe ntes teneurs en eau. Il existe deux types d'ess ai d'usage courant : l'es sai Proctor Normal et l'ess ai Proctor Modifié

III.4.2.6.L'essai oedom

étrique :

dans une b

son drain a

me consta r n

dice des vi d

t en foncti o

on permet d'
un temps d é

ion de la c on
thme du te m

Un échantillon de sol est placé
deux pi erres poreu ses assurant

oîte cylindrique rigide

de sectio n appliquer

terminé. o n

trainte) e t

ps).

circulaire entre sur l'échantillon

peut étab lir des

de consolidation

une contrainte verticale unifo

de compressibilité (in

courbe s

(variation relative de tassemen

ge. Un pist te pendant

es en fonc t
n du logar i

Fig. (III.3 ) : appare		il d'essai oedométrique
III. 5.	Hydrogéologie

les puits, l es

uivi de ces

s instabilité s de pente s, l'étude

de connaître la répartition des pre ssions s et, en prévision de l a réalisation d'un

ens des éc oulements,

repérage des niveaux d'eau dan s

météorolo giques. Le s

alimentation...). Les

disposer d 'une image

Étant donné le rôle primordial que joue l ' eau dans l e hydrog éologique e st très imp ortante. Ell e a pour but interstitielles dans le sol, leur évolution dans le temp drainage, le foncti onnement des nappes ( s techniques utilisée s sont la pi ézométrie, l e mesures de débits de sources, le recueil des données paramè tres doit se faire pendant une année au minimum, afin de représentative des conditions hydrogéolo giques du site.

III .6. Caractéristiques de sole à prendre en compte dans l'analyse des talus:

Dans les calculs de stabilité, le choix des caractéristiques mécaniques est fonction du problème lui-même. Mais d'une manière générale on constate que lorsqu'il s'agit de sols argileux, le calcul à court terme conduit au coefficient de sécurité le plus faible. L'expérience montre que c'est souvent juste après la construction que se produisent les glissements dans les sols argileux. On utilisera donc les caractéristiques mécaniques non drainées (C_u, ö _u). Par

contre dans les sols sableux, le calcul à court terme n'a pas de sens car on atteint très rapidement le long terme. On utilisera donc les caractéristiques mécaniques (CCD, ö _CD) .

Dans le chapitre IV, nous allons décrire les différentes méthodes de calculs qui peuvent être utilisées dans l'analyse de la stabilité des talus.

n :

ance au c i

priétés d u

s pour s' a

er une pen

te à l'échec

IV.1.i ntroducti o

Une fois la rési st pente e t d'autres p ro doivent être effect ué force te nd à provo qu

saillement, la pression d'eau dans les pores, la géométrie de la sol et la p ente sont établis, les calculs de la stabilité des talus ssurer que les forces sont suffisamment résistant supéri eure à la .

ite :

te et on utilisera un coefficient nt de la rupture le long de la ilibre limite forme une bande é de l'ense mble est donc liée à

massif (force H,

IV. 2. Le princ ipe d'équ ilibre lim De manière classi que, on définira les conditions d'é quilibre limi de sécurité. On suppose que l'équilibre limite existe au mom e ligne d e glisseme nt. L'expérience montre que la zone en équ assez é troite de part et d'autre de la zone de rupture. La stabilit celle de la bande c onsidérée.

lle le coeffi cient de

à déterminer le facteur de sécurité

sistance de la surface de gli ssement pour que l a

la limite de l'équilibre. Ce facteur peut être écrit de

Les méthodes de calcul consistent à rec hercher la surface le long de laque sécurit é F est le plus faible.

FS par masse

la façon

Le prin cipe de cal cul de stabilité des talus consiste lequel il faut diviser la ré potenti ellement stable soit à suivante :

Q: cette valeur définit la solli c force V, moment M).

Qmax: valeur maximale de Q.

itation vectorielle ou tensorielle appliquée au

être calcul é, pour un paramètre s électionné,

valeur cal culée sous les conditions de projet

le ratio

de ce paramètre.

en prenant

Le facteur de sécurité pourrait de la v aleur à la rupture, par l a On peut citer plusi eurs exemples :

de l'eau initial (ou de projet) liqué

Fw = niveau de l'eau à la rupture / niveau
FL = chargement ultime / chargement app

FS(Q) = a max (rupture) / a max (Q) ; Q : le chargement sismique d'accélération maximale a max

On distingue deux démarches pour le calcul de facteur de sécurité :

1. Dans la première, le glissement a déjà eu lieu, il s'agit d'une valeur de FS inférieure ou égale à 1, donc :

- soit, on connaît la surface exacte et on cherche à déterminer, pour FS=1, les caractéristiques correspondantes.

- soit, on a les caractéristiques et on cherche à déterminer la surface de glissement.

2. La deuxième, la plus fréquente, consiste à déterminer la marge de sécurité disponible et adopter les solutions adéquates pour améliorer la sécurité de l'ouvrage en répondant à des exigences en fonction de l'emploi des talus.

IV.3. Choix de la valeur du coefficient de sécurité dans le calcul de stabilité :

Le facteur de sécurité minimal FS adopté est assez rarement inférieur à 1.5. Il peut quelquefois être égal à 2, voire à 2.5 pour des ouvrages dont la stabilité doit être garantie à tout prix (grand risque pour les personnes, site exceptionnel), ou pour des méthodes dont l'incertitude est grande (analyse en contrainte totale avec risque d'erreur sur la valeur de la cohésion drainé Cu).

Le ci-dessous, nous donnent les valeurs de FS en fonction de l'importance de l'ouvrage et des conditions particulières qui l'entoure

Tableau (IV-1): Classification FS en fonction de l'importance de l'ouvrage

FS	Etat de l'ouvrage
<1	danger
1.0-1.25	sécurité contestable
	sécurité satisfaisante pour les ouvrages peu importants
1.25-1.4	sécurité contestable pour les barrages, ou bien quand la rupture serait catastrophique
	satisfaisante pour
>1.4	les barrages

La définition des seuils des facteurs de sécurité dépend de l'approche adoptée, des fréquences de sollicitations de l'ouvrage en question et du risque créé par la rupture. En condition normale, Fellenius propose un seuil égale à 1.25, alors que FS = 1.5 pour Bishop (l'approche de Fellenius est plus conservatoire que celui de Bishop)

IV.4. Calculer le coefficient de sécurité :

Considérons un élément carré d'unité (dx = dy = 1) exposé aux contraintes normales a1 et a3 appliquées aux côtés de l'élément. Comme l'élément est assez petit, il est donc logique d'accepter que le plan de rupture soit une ligne droite. L'inclinaison du plan de rupture est définie par l'angle q. La rupture du milieu est normalement due aux contraintes de cisaillement développées à la surface de rupture. A partir des équations d'équilibre, la contrainte mobilisée de cisaillement tf et la contrainte normale mobilisée af au plan de rupture peuvent être déterminées en fonction de a1 et a3.

FIG. (IV-1) : Contrainte normale au plan de rupture.

Contrainte tangentielle au plan de rupture:

On définit le facteur de sécurité FS comme le rapport de la résistance au cisaillement disponible à la résistance au cisaillement mobilisée, ce qui traduit la réserve de sécurité dispose le terrain sous cette sollicitation (ó1, ó3) et en fonction du critère de rupture (c, ö)

FS = Ré

sistance au

cisaillement disponibl

e / Résistance au cisaillement mobilisée

Donc, on peut écrire:

En remp

laçant les é

quations (1

) et (2) dan

s l'équation

(3), on trouve:

En méc anique et selon le critère de Mohr-Coulomb, nous pouv ons prouver que l'angl e du plan de rupture est égal à 45+ö /2 par rapport à la dire ction principale ó3. I l est uniquement

fonction de l'angl e de frottement. nous p ouvons donc calculer l a valeur du facteur de sécurité

par rapport au plan potentiel de rupture. En remplaç ant la valeur de q par 4 5+ö/2 dans la

relation (4), nous trouvons:

IV.5. F

acteurs i

nfluença

nt la stab

ilité des t

alus :

Quelque s facteurs influençant la stabilité

du talus (voir Fig (IV- 2)) :

à l'approche adoptée pour calculer ce coefficient;

à l'état de contraintes dans le milieu (Mé thode adoptée) aux pro priétés du milieu

à l'hyp othèse de l a forme de l a surface de rupture

FIG. (IV.2) : facteurs influençant la stabilité du talus.

V. 6. Les méthodes classiques pour l'analyse de la stabilité :

Il existe plusieurs dizaines de méthodes de calcul de stabilité ayant toutes des avantages et des inconvénients. Aucune n'est parfaite, car aucune ne tient compte de la déformabilité du sol.

Nous étudierons ci-après plusieurs méthodes de calcul traditionnelles mais la confiance que l'on peut leur accorder sera essentiellement fonction de l'expérience que l'on peut en avoir.

Ces méthodes peuvent être classées selon plusieurs critères, dans le présent chapitre ces méthodes seront classées selon la nature des forces considérant dans la vérification de l'équilibre qu'ils soient des forces, des moments ou des forces et des moments en même temps.

V. 6.1. Cas glissement plan :

Pendant longtemps on a préféré croire (par simplicité des calculs) que les surfaces de glissement étaient planes. Or la simple observation sur le terrain prouve que les surfaces sont courbes. Cependant dans des cas particuliers, on peut admettre des rayons de courbure infinis, ce qui nous amène à des glissements plans. D'autre part, cette méthode est une bonne introduction aux méthodes plus élaborées que nous verrons dans la suite de ce chapitre.

Si on considère une pente infinie, la pente est supposée s'étendre infiniment dans toutes les directions et le glissement est supposé se produire le long d'un plan parallèle à la face de la pente. Car la pente est infinie, les contraintes sont les mêmes sur tous les deux plans qui sont perpendiculaires à la pente, comme les plans A-A' et B-B' dans la figure (IV-3).

T

Fig. (IV.3): pente infinie de surface de rupture plane.

Les équations d'équilibre sont calculées en considérant un bloc rectangulaire comme celui de la Figure (IV-3). Pour une pente infinie, les forces sur les deux extrémités du bloc seront identiques en amplitude, en sens opposé, et colinéaires. Ainsi, les forces sur les extrémités du bloc équilibre exactement les uns aux autres et peuvent être ignorés dans l'équilibre des équations. Résumant les forces dans des directions perpendiculaires et parallèles au plan de glissement donne les expressions suivantes pour la force de cisaillement, T, et la force normale, N, sur le plan:

T = W sinâ et N = W cos â (IV-1)

Où â est l'angle d'inclinaison de la pente et du plan de glissement, mesuré par rapport

à l'horizontale, et W est le poids du bloc. Pour un bloc de l'unité d'épaisseur dans la direction perpendiculaire au plan de la section transversale dans la Figure (IV-3), le poids est exprimé en :

W = ã . l . z . cos â (IV-2)

Où ã est l'unité de mesure du poids total du sol, l la distance entre les deux extrémités

du bloc, mesurée parallèlement à la pente, et Z la profondeur verticale au plan de cisaillement. En substituant (IV-2) dans (IV-1) donne :

T = ã . l . z . cos â . sin â (IV-3)

Et :

N = . l . z . cos (IV-4)

ã ² â

Les contraintes normales et de cisaillement sur le plan de cisaillement sont constantes pour une pente de longueur infinie et sont obtenues en divisant les équations (IV-3) et (IV-4) par la surface du plan (l .1), pour obtenir:

ô = ã.z. cos â.sin â (IV-5)

Et :

ó ã

= .z. cos (IV-6)

² â

En substituant ces expressions dans l'équation globale pour obtenir la formule du coefficient de sécurité, on trouve :

â ö

Fs +

c z

ã . . cos ² . tan

= (IV-7)

ã â â

. . cos . sin z

En terme des contraintes effectives :

+ ( ã . . cos ²

z â - u )

ã â â

. . cos . sin

Fs =

c '

z

tan ö'

(IV-8)

Pour un sol purement pulvérulent (c, c'=0), le coefficient de sécurité se réduit à :

tan ö

Fs = (IV-9)

tan á

L'équilibre limite est atteint pour F_min = 1 ; soit: á = ö. Ceci exprime bien que l'angle de talus naturel d'un sol pulvérulent est égal à l'angle de frottement interne.

IV .6.2. Méthodes de l'équilibre des moments :

Les méthodes qui supposent une surface de rupture circulaire envisagent l'équilibre des moments sur le centre du cercle pour l'ensemble de la masse libre composé de toutes les tranches.

IV .6.2.1. La méthode générale des tranches pour une surface de rupture circulaire:

Le principe de la méthode consiste à découper le massif situé au dessus de la ligne de rupture en tranches. L'expérience montre qu'il n'est pas nécessaire de prévoir des tranches très minces pour obtenir une précision suffisante.

Ces méthodes considèrent une surface de rupture circulaire et sont basées sur l'équilibre des moments sur le centre du cercle.

Se référant à la pente et la surface circulaire de rupture illustré dan la figure (IV-3), le moment moteur peut être exprimée comme :

M = ? W _i . a i (IV-10)

Ti

Fig. (IV.4) : La masse du talus découper en tranches

Où W_i est le poids de la ème

i tranche et a_i est la distance horizontale entre le centre du

cercle et le centre de la tranche. Les distances vers la crête de la pente, à la droite du centre montre la figure (IV-4), sont positives; les distances vers le pied de la pente, à la gauche du centre, sont négatives. Bien que théoriquement, le bras de levier est mesuré à partir du centre du cercle au centre de gravité de la tranche, un nombre suffisant de tranches permet de considérer les différences entre le centre et le centre de gravité de la tranche sont Négligeables.

Le bras de levier a_i dans l'équation (IV-10) peut être exprimé en termes de rayon du

cercle et de l'inclinaison de bas de la tranche respectifs. Bien que la base de la tranche est courbé, la base peut être considérée comme une ligne droite, comme l'a suggéré dans la figure (IV-4), avec une perte négligeable de la précision. L'inclinaison de la base du morceau est représentée par l'angle á_i mesuré entre la base de la tranche et de l'horizontale. L'angle entre

une ligne prolongée à partir du centre du cercle au centre de la base de la tranche et une ligne verticale est aussi égal à l'angle á_i (IV-4). Ainsi, le bras de levier est exprimée par :

a i = r. siná_i (IV-11)

Et le moment moteur exprimé dans la relation (V-10) devient :

M = r ? W_i . sin á i (IV-12)

Le rayon dans l'équation (TV-13), a été transféré en dehors de la somme, car le rayon est constant pour un cercle.

Le moment résistant est fourni par la contrainte de cisaillement ô sur la base de chaque tranche; la contrainte normale ó sur la base de chaque tranche agir à travers le centre du cercle, et donc ne produire aucun moment. Le moment résistant de toutes les tranches est :

M r = ? r.T i = r ? T i (TV-13)

Où T_i est la force de cisaillement à la base de la ème

i tranche et la sommation est effectuée pour toutes les tranches. La force de cisaillement est le produit de la contrainte de cisaillement ô_i et la surface de la base de la tranche de l'unité d'épaisseur Äl . Ainsi :

M r = r ? ô _i . Äl i (TV-14)

La contrainte de cisaillement peut être exprimée en termes de la force de cisaillement et le facteur de sécurité à donner

M r i ? Ä T l . i = ^r F

(TV-15)

Assimiler le moment résistant [Eq. (TV-15)] et le moment moteur [Eq. (TV-13)] et les réorganiser, l'équation suivante peut être écrite pour le coefficient de sécurité:

=

? Ä

T l

i . i

Fs

(TV-16)

á i

. sin

W i

?

Pour une contrainte totale, la résistance au cisaillement est exprimée par :

T_i = c+ ó tanö (TV-17)

(Rn)t = C i.AB+N_n.tanöi (IV-2 0)

La somme des mo ments pour toutes les tranches est :

On remplaçant ce-ci dans l'équation (V-16), on trouve :

F_s = (IV-18)

? +

( c ó ö

? W . sin á

tan ) . Ä l

L'équation (IV-18) représente l'équation d'équilibre statique pour les moments du centre d'un cercle. Si ö est égale à zéro, l'équation (IV-18) devient

? Ä

c l

.

F_s = (IV-19)

? W . siná

Si l'angle de frottement n'est pas égal à zéro, l'équation présentée ci-dessus pour le coefficient de sécurité [Eq. (IV-18)] exige que la contrainte normale sur la base de chaque tranche soit connue. Le problème de la détermination de la contrainte normale est indéterminé. La méthode Ordinaire des tranches et de bishop faire deux séries d'hypothèses distinctes pour obtenir la contrainte normale sur la base des tranches et, par la suite, le facteur de sécurité.

IV .6 .2 .2. La méthode de Fellenius:

c'est la méthode la plus simple pour l'analyse de stabilité des talus. Fellenius suppose que le volume de glissement délimité par la surface de glissement et la topographie du talus est subdivisé en n tranches. Chaque tranche est considérée comme un solide indéformable, en équilibre sur la ligne de glissement. Considérons un talus recoupant un certain nombre de couches de sols de caractéristiques différentes Ci, _?öi , ãi. La stabilité est étudiée en considérant le problème 2D, c'est-à-dire en analysant l'équilibre d'une masse de sol d'épaisseur unité dans le sens perpendiculaire à la figure.

Soit un cercle quelconque de centre O et de rayon R pour lequel on vérifie la sécurité vis-à-vis du risque de glissement. La méthode consiste à découper le volume de sol concerné (compris dans l'arc EMF) en un certain nombre de tranches limitées par des plans verticaux. Etudions l'équilibre de l'une de ces tranches, par exemple la tranche "ABCD". Les forces agissant sur cette tranche sont les suivantes:

Fig. (IV.5) : Les forces agissant sur une tranche

-son poids W;

-la réaction du milieu sous-jacent sur l'arc AB;

-les réactions sur les faces verticales BC et AD décomposées en réactions horizontales H et en réactions verticales V. Il s'agit de forces internes au massif étudié.

-les pressions hydrauliques.

Définissons par rapport au centre O :

-le moment moteur, comme celui du poids des terres W (et des surcharges éventuelles), qui tend à provoquer le glissement ;

-les moments résistants, comme ceux des réactions s'opposant globalement au glissement de la tranche.

La surface de rupture étant limitée par les points E et F, le coefficient de sécurité global FS est défini par le quotient:

FS = SEF(des moments résistants maximaux) /SEF(des moments moteurs)

Considérons la somme des moments pour l'arc EF, sachant que la somme des moments des

forces est nulle. Fellenius a fait une hypothèse qui simplifie considérablement les calculs, à
savoir que la seule force agissant sur l'arc AB est le poids W, à l'exception des forces internes.
Dans ces conditions, le moment résistant maximal est fourni par la valeur maximale que peut

prendre la composante tangentielle de Rn : (Rn)t D'après la loi de Coulomb, elle s'écrit

			(IV-21)
urs, le moment moteur	est dû à Tn

m: nombre total de tranc hes, R : rayon du cercle ci & öi : caractéristiques mécaniques de la couche dan tranche AB . Par aille

de glisse ment.

s laquelle est situé l'arc de la et égal à TnxR, d'où:

Dans la mé thode de B ishop l'expression du coefficient de sécurité est obtenue en

écrivant les deux équations d'équilibre statique :

- L'équilibre des forces vertical es qui sont appliquées à chaque tranche.

- L'équilibre global des moments.

		(V-22)
IV .6.2.3. Méthode de Bishop	(1955) :

Soit la tranche représentée dans la figure (IV-6) ci-après.

Vi

T

Vi+1

Fig. (IV.6): Représentation des forces inter-tranches sur une tranche.

Le coefficient de sécurité est déterminé comme suit : - l'équilibre vertical :

Wi + ( Vi - Vi + 1) = N icosai+ T isinai (IV-23)

C i b i tg ? i

W + ( Vi - Vi + 1 ) = N cos

i á + ·

i sin N

á i + ·

i sin (IV - 24)

á i

Fs

Fscos

ai

D'ou la valeur de Ni :

bi

-

ái

i- Vi + 1

)

+ (V

C i

F_s

tg

Ni

i

( IV - 25 )

tg?

ái + siná i

cos

W (V

i +

i - V i+1

) - C i^bitgái

F_s

( IV - 26)

m_á

Ni

F_s

Ou bien sous une forme compacte, en désignant la quantité :

cos

tg tg

á ?

i i

á i +

( 1 ) m

= á

F s

Pour une ligne de glissement circulaire :

n ? b i ?

N tg ?

?? C i + i i

? cos á ??

=

FS i 1 i

= ( V 27 )

I -

n

? i 1 =

W sin i á

i

b i

W (V V ) - C

i + + +

i i 1 i tg á i

1 C bi

i F

On porte dans l'expression de F_s la valeur de Ni précédemment calculée :

FS = [ (

? + tg [

?

? i ] ) ] (IV - 28)

w sin

i á i cosá i m_á

Le deuxième membre contient F_s explicitement et par l'intermédiaire de má mais la formule se prête très bien à une résolution par approximations successives.

L'équilibre horizontal de la tranche s'écrit :

- 29)

tg ? i C b

i i

(E - E ) N (

i i 1

+ + i cos - sin )

á i á +

i = 0 (IV

F s F s

D'ou la valeur de Ni :

i
+ E - E i +

1

(

)

- C i b i

N i

F

s

tg

?

i

= (IV-30)

cos á i

sin á i -

F

L'élimination de Ni entre les deux expressions issue des équilibres horizontaux et verticaux et donne une relation entre les composantes horizontales et verticales des efforts inter-tranches :

i

tg ?

i

cos

á

i

-

F

sin á

?

? -

?? ?

?? cos á i + sin á ? F

tg

? i

i

? C b

i i

F

(IV-31)

sin á

i

tg ?

? - cos á

i

i

?

? ?

F C b

i i

(E - E ) (V - V )

i i 1

+ + i i 1

+ ? ? = W -

i tg á i

i

tg ? F

cos á sin á i

i

?? + ??

? F ?

Puisque les efforts inter-tranches sont des intérieurs au talus leurs sommes sont nulles :

Ó (Ei - Ei+1) = 0 et Ó (Vi - Vi+1) = 0

En sommant la relation précédente sur les efforts inter-tranches verticaux :

tg ? i ? ? tg ? i ?

sin -

á i cos á i sin -

á cos á

n i i

? ? ⁿ C b ? ?

?

i 1

F i i F C b

i i

(IV - 3 2)

(V - V )

i i 1

F

F i ??

+ ? ? ? ⁽W t ) ? ?

tg ? i

= cos á i sin i

?? + á ??

? F ?

IV .6.2.4. La méthode de Bishop simplifiée:

Dans la méthode simplifiée de Bishop, les forces sur les côtés de la tranche sont supposés être horizontale (c'est-à-dire, il n'y a pas de cisaillement entre les tranches). Les forces sont résumées dans le sens vertical pour satisfaire l'équilibre dans cette direction et d'obtenir une expression de la contrainte normale sur la base de chaque tranche. Se référant à la tranche illustrée dans la figure (IV-6) et on détermine les forces verticales, l'équation de l'équilibre suivante peut être écrite pour les forces dans le sens vertical:

N . cos á + T sin á - W = 0 (IV-33)

T

Fig. (IV.7): La représentation des forces sur une tranche dans la méthode de Bishop

Les Forces sont considérées comme positifs lorsqu'ils agissent vers le haut. La force de cisaillement dans l'équation (IV-33) est liée au contrainte de cisaillement par :

T = ô. Äl (IV-34)

Pour les forces de cisaillements exprimés en termes de contraintes effectives avec l'équation de force de Mohr-Coulomb, nous pouvons écrire :

1 c l N u l ö

T = [ ' ( . ) tan ']

Ä + - Ä (IV-35)

F

Combinant les équations (V-33) et (V-35) et pour résoudre la force normale, N, nous obtenons :

? 1 ?

?? ?? (

F

á

W

sin

c l u l

' Ä - Ä

.tan ö ' )

=

N

?
??

+

cos

á

(IV-36)

(sin . tan ' á ö ) ? F??

La contrainte effective normale à la base de la tranche peut être exprimée par la relation :

ó ' = N -u (IV-37)

Äl

Combinant les équations (V-33) et (V-35) et on les introduire dans l'équation d'équilibre (V-18), on peut écrire -après réarrangement des termes- :

? ?

? c l

' cos

Ä á + ( W u l

- Ä cos á ö

) tan ' ?

? ? ?

?

( sin . tan '

á ö ) ??? ?

F ? (IV-38)

W sin á

De l'équation (V-38) ; l'expression finale du coefficient de sécurité de la méthode de bishop simplifiée s'écrie comme suite :

? +

c b W ub

' ( - )tan '

ö ?

? ? ?

m

? á ?

F = (IV-39)

? Wsiná

Avec :

tan tan '

á ö ?

m cos 1

= ? +

á á ?? ??

F

Pour non-drainé l'analyse de la procédure est similaire et le facteur de sécurité devient :

	n ?	( c x + W ) Ä tan ö ui i i ui	? 1 ?^?M ( ) è i	? ??
F =	i=1				. (IV-40).
		n

? W i sin è i

i=1

Avec :

tan ui

M ( ) = [ 1 + è ö

è cos è tan ]

i i ⁱ F

n=nombre de tranches.

IV .6 .3 . Méthodes de l'équilibre des forces :