Memoire Online - Application des méthodes de krigeage à la prospection minéralogique: cas du permis d'exploitation artisanale de Djani-Yao (s/p Tanda)

Le comportement du variogramme à l'origine renseigne sur la continuité et la régularité spatiale du phénomène observé (DEVEUGHELE et RIZZOLI, 1976). Plusieurs cas peuvent se présenter. Les comportements énumérés ci-dessous ne sont pas toujours observables de façon nette sur un variogramme expérimental. Ce dernier ayant en générale une allure irrégulière. Une estimation à partir d'une telle représentation parait difficile ; il faut donc ajuster à un modèle théorique pour une caractérisation au mieux du phénomène.

Application de la métliode de krigeage ordinaire aux épaisseurs de gravier en prospection minéralogique

Elle traduit un phénomène complètement
aléatoire : toutes les valeurs prises par la
variable régionalisée Z(x) sont indépendantes

Elle traduit un phénomène très régulier. La
quantité Z(x+h)-Z(x) est proportionnelle à h au
voisinage de l'origine. (Equation 16, annexe 2)

le précdent mais possède une cotinuité en quantité Z(x+h)-Z(x) est proportonnelle à h au voisinag de l'orgine (Equation 1

Elle traduit un effet de pépite. L'effet de pépite peut représenter des erreurs d'analyse, de réelles micro-structures ou/et des structures d'une certaine taille non-détectées par un échantillonnage insuffisant.

Figure 5 (a, b, c, d) : allures fréquentes de variogrammes II.4.2 Comportement du variogramme aux grandes distances

Au delà d'une certaine distance, il arrive que le variogramme tende vers une limite finie C appelée palier. La distance a correspond au seuil d'indépendance des valeurs et s'appelle la portée, i.e. absence de corrélation possible entre les échantillons espacés de plus de a,
	Figure 6 : Variogramme avec palier

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La dérive exprime le comportement très variable des variogrammes du paramètre suivant les différentes directions observées souvent aux grandes distances.

Le calage est l'ajustement du variogramme expérimental à un modèle théorique. Il existe plusieurs modèles théoriques dont les plus utilisés sont :

- le modèle exponentiel : ce modèle croit à l'origine plus vite mais tend moins vite vers sa limite comparativement au modèle sphérique ;

- le modèle sphérique : il a une allure linéaire à l'origine et atteint vite son palier contrairement au modèle exponentiel.

Le choix d'un modèle n'est pas quelconque, il est lié d'une part au comportement à l'origine et d'autre part à l'existence ou non d'un palier. Dans le domaine minier, les modèles de calage les plus récurrents sont les modèles linéaire et sphérique.

II.5.1 Caractéristiques du modèle sphérique Le modèle sphérique ou schéma de MATHERON se caractérise par :

- l'effet de pépite notée Co : c'est l'ordonnée à l'origine de la courbe du variogramme. Il quantifie la variance d'estimation entre deux point proches ; il traduit l'irrégularité du phénomène spatial à l'échelle d'étude ;

- le palier noté a² : c'est l'ordonnée maximale de la courbe. Il quantifie la variance moyenne entre un point et la limite de sa zone d'influence ;

- la portée notée a : elle correspond à l'abscisse à partir de laquelle la courbe à une variable n'est plus corrélée.

Le modèle sphérique est défini par l'équation18 (cf. annexe 2). II.5.2 Caractéristiques du modèle linéaire

Le modèle linéaire se caractérise par une allure constante horizontale traduisant un
phénomène complètement aléatoire. Il se définit par l'équation 19 (cf. annexe 2).

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L'approximation se fait soit par la variance de l'ensemble des échantillons, soit par la moyenne des variances des couples de points de la zone de stationnarité locale.

Elle représente la phase réelle de l'étude de l'estimation des variables régionalisées ; et ne concerne que les variables qui présentent le modèle sphérique. Elle se résume dans le calcul des différentes variances dont le développement figure ci-dessous.

Elle représente la variance de l'ensemble des valeurs prises par la variable régionalisée Z(x) pour toutes les implantations possibles dans un bloc de volume v (DEVEUGHELE et RIZZOLI, 1976) qu'on note a² (o/v) (Equation 20, annexe 2). La variance de dispersion est reliée au variogramme par l'équation 21 (voir annexe 2).

La variance de dispersion permet de préciser dans quelle mesure la valeur estimée en un point est représentative de tous les autres points de notre zone.

C'est la variance de l'erreur qu'on commet en estimant la variable aléatoire régionalisée au point x par la valeur au point (x+h). Plus généralement, si V est un volume du bloc à estimer et v celui du bloc qui sert à estimer V (v est donc un ensemble de prélèvements ponctuels), la variance d'estimation du volume V par v traduit l'erreur induite par cette opération. (Equations 22 & 23, voir annexe 2)

Dans la pratique, nous avons souvent affaire à des panneaux carrés ou rectangulaires ou à des blocs ; les variances peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions auxiliaires faisant l'objet d'abaques dans le cas des principaux schémas types de variogramme.

La continuité spatiale n'est pas nécessairement la même dans toutes les directions. Il y a isotropie lorsque le variogramme est identique dans toutes les directions de l'espace ; dans le cas contraire, on parle d'anisotropie. On distingue deux principaux types d'anisotropie : l'anisotropie géométrique et l'anisotropie zonale.

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Bien que dans la nature il existe une très grande variété d'anisotropies, en géostatistique, on ne peut modéliser aisément que les anisotropies géométriques. Il faut donc toujours rechercher si anisotropie il y a ; le principe est aisé.

Le krigeage est une méthode d'estimation linéaire. Fondamentalement ; il représente un estimateur linéaire sans biais optimal (au sens de la moindre variance) obtenue par combinaison linéaire des informations disponibles. Son intérêt réside dans le fait qu'un échantillonnage ne fournit des informations exactes sur le minerai qu'au point d'où proviennent ces données. Il faut alors une méthode précise pour estimer la valeur aux points intermédiaires ou bien les moyennes sur des blocs. Le krigeage donne la meilleure estimation sans biais, la précision de celle-ci dépend alors de plusieurs facteurs :

Il existe plusieurs types de krigeage dont le krigeage universel, le krigeage simple, le krigeage ordinaire. Le krigeage ordinaire est la méthode la plus utilisée.

C'est le krigeage dans le cas d'une moyenne inconnue. Les équations correspondantes d'un bloc v sont les équations 3 et 4 (voir annexe 2) :

Nous disposons par exemple de n valeurs de teneur ( t(xi)) en n positions (xi, 1=i=n) : t(x1), t(x2),..., t(x_n) et nous souhaitons estimer la variable t(x) par une combinaison linéaire de ces données (t(x) est la teneur au point x ou la moyenne dans un bloc v)

Les facteurs de pondération yi sont choisis de telle sorte que l'estimateur soit :

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*De variance minimale : Var ((t(x)- t*(x)) minimale, cette variance sera appelée variance de krigeage.

En conclusion, le krigeage d'une variable régionalisée est fonction des paramètres tel que l'effet de pépite, la portée, le palier, l'isotropie, lesquels dépendent de l'étude variographique. C'est une méthode d'interpolation optimale dont l'objectif est de proposer une cartographie corrigeant la tendance spatiale par la prise en compte des dépendances locales.

Il existe également plusieurs autres types d'estimateurs linéaires dont la méthode des rectangles, la méthode des iso-grades qui arrivent à donner des estimations linéaires en des points sur une parcelle.

Ces méthodes étant certes des méthodes d'estimation linéaire, le krigeage reste la méthode d'estimation par excellence qui offre des résultats très satisfaisants.

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II-4 Comportement du variogramme