CONCLUSION GENERALE
Dans ce travail, nous avons
généralisé les travaux de [32, 18] dans le cas ou le
modèle comporte k classe de malades. Ces modèles peuvent
décrire la dynamique des maladies infectieuses telles que la
tuberculose, le VIH-SIDA, le paludisme, etc.
Nous avons commencé ce travail par un rappel
sur les éléments mathématiques que nous avons
utilisés tout au long de notre travail. Il s'agit principalement des
notions de quelques notions sur les matrices, de système dynamique et de
stabilité des points d'équilibre d'un système. C'est
également dans le cadre de la stabilité que nous avons
rappelé la stabilité au sens de Lyapunov et le principe
d'invariance de LaSalle.
Dans le deuxième chapitre de notre travail,
nous avons décrit le système dynamique que nous avons
étudié. Il s'agit d'une classe de modèles
épidémiologiques dont nous présentons quelques
éléments dans la suite du chapitre. Ces éléments
peuvent se mettre sous la forme de (2.1) et vérifient toutes les
hypothèses qui ont été données. Ce sont les
modèles des maladies infectieuses telles que le VIH-SIDA,
l'hépatite, la tuberculose et le paludisme. Nous somme sans ignorer que
la pandémie du SIDA sévit dans le monde entier en ce moment,
même si nous semblons, d'après le programme nationale de lutte
contre le SIDA, être dans une phase de stabilisation de la maladie dans
notre pays. Quant au paludisme, elle est la première cause de
mortalité sur le continent Africain.
Notre objectif dans ce travail est d'exprimer la
stabilité asymptotique globale du point d'équilibre
endémique dans chaque cas, ce que nous faisons en utilisant les
fonctions de Lyapunov larges dans chaque cas. Pour ce faire, le chapitre 3 de
notre travail est consacré à cet étude. Il commence par
l'étude de l'invariance positive de l'orthant positif, qui est une
condition d'application du principe d'invariance de LaSalle. Ensuite, nous
déterminons le le taux de reproduction debase R0 et
nous déterminons une formule de calcul unique pour les points
d'équilibre du système. Nous avons ainsi démontré
suivant que R0 = 1 ou R0
> 1 qu'il existe respectivement un équilibre
non endémique et un équilibre endémique. La
stabilité du point d'équilibre non endémique est en
général assez aisée. Pour le point d'équilibre
endémique, il se pose en général le problème de la
détermination des coefficient de la fonction de Lyapunov
V (t) =
Xn ai(xi - x* i
lnxi).
i=1
Nous déterminons ces coefficients qui peuvent
être calculé explicitement ce qui fait la
par-
ticularité de ce travail, puisque la recherche
de la fonction de Lyapunov reste un problème
très actuel en
épidémiologie. La différence entre les coefficients de la
fonction V (t) et celles
Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI
2008
de U(t)
réside dans le paramètre x* qui vaut
Ë/u pour le DFE et x* n pour le point d'équilibre
endémique. Le chapitre se termine par une étude numérique
dont le but est de valider numériquement par quelques exemples de
modèles les résultats théoriques obtenues, avec les
données que nous avons obtenue dans [46].
Dans le cas des maladies comme la Tuberculose, nous
avons considéré des "perdus de vus". Ce sont des personnes qui
ont commencées le traitement qui ont abandonner à un certain
moment sans que des examens bactériologiques confirmant la
guérison complète. D'près les estimations du programme
national de lutte contre la tuberculose, ils représentent au moins
30% des malades et ce sont eux qui développent le plus
les résistances aux médicaments.
Une bonne analyse d'une classe de modèles
épidémiologiques n'est possible que si les conditions qui
prévalent dans la réalité ne sont pas toutes prisent en
compte, car on ne peut pas décrire exactement ce qui prévaut dans
une population. Mais, du fait que les modèles tiennent compte d'un
ensemble de mesures, il mettra en évidence leur effet cumulatif
possible, ce que les essais thérapeutiques ne permettent pas d'estimer
à long terme. On sait que les actions de santé publique ont une
efficacité différente en fonction des paramètres
démographiques, épidémiologiques, techniques, sociaux,
économiques, ce qui explique selon les pays ou régions, que l'on
puisse préférer une mesure de lutte et rejetés d'autres
avec parfois des raisons qui semblent contradictoires. Si au lieu d'être
intuitives, ces préférences pouvaient s'appuyer sur des
données quantitatives issues de l'emploi des modèles, la
santé publique en tirerait un bénéfice important. C'est
pourquoi chaque paramètre du modèle doit être modifier en
fonction des conditions qui prévalent localement.
Dans ce travail, les calculs ont été
faits pour une forme de de non linéarité Q Pk p=1
âpxn_pxn. Des formes plus générales Pk p=1
Qpâpxn_pxn ou Qf(x) pourrons
faire l'objet de nos futures investigations. Toutes les tentatives qui ont
été faites en dimension élevé pour ces types de
modèles n'as pas encore aboutit, pourtant cela décrirait encore
la dynamique de beaucoup plus de maladie infectieuses.
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Mémoire de DEA:
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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008
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