VIII. Annexe 1 : La fonction de
vraisemblance du modèle avec sauts à effets permanents
Nous avions écrit dans la partie B2 du chapitre
3 :
· Si , la variable suit une loi normale de moyenne et
de variance .
· Si , la variable suit une loi normale de moyenne et
de variance .
La fonction de densité de s'écrit :
Soit
Avec K observations et h=1, la logvraisemblnce du
modèle s'écrit :
)
IX. Annexe 2 :
Estimation du modèle de Lee Carter (codes matlab)
matrixD=input ('entrer matrice des décès D (x,t)'
);
matrixE=input ('entrer matrice des vivants E (x,t)' );
%convergence est l'erreur dans la reestimation des kt
convergence= input('entrer convergence' );
%logtauxbrut est la matrice log des taux brut de
mortalité(x=age,t=année)
% taille est une matrice 1x2 (nombre de groupe d'age,nombr
d'année)
logtauxbrut=log(matrixD./matrixE);
taille=size(logtauxbrut);
%construction de la matrice alpha (estimation des alpha)
for i=1:taille(1,1)
alpha(i)=(1/(taille(1,2))*sum(logtauxbrut(i,:)));
end;
%Z est le centrage des logtauxbrut par rapport a leur moyenne
temporelle
%construction de la matrice Z
for i=1:taille(1,1)
for j=1:taille(1,2)
Z(i,j)=logtauxbrut(i,j)-alpha(i);
end
end
%decomposition en valeure singulière de Z
[U,S,V] = svd(Z);
% le taux d'inertie mesure la qualite de l'approximation
%c'est le pourcentage de variance expliqué
tauxinertie=S(1,1)/trace(S);
%construction des vecteurs beta et k (estimation des beta et
kt)
beta=(1/sum(U(:,1))).*U(:,1);
k=S(1,1)*sum(U(:,1)).*V(:,1);
%reestimation des k(t)
for t=1:51
x=k(t);
while
abs(sum((matrixE(:,t).*(exp(alpha').*exp((x*beta))))-matrixD(:,t)))>convergence
x=x-(sum((matrixE(:,t).*(exp(alpha').*exp((x*beta))))-matrixD(:,t))/sum(matrixE(:,t).*(exp(alpha').*(beta.*exp((x*beta))))));
end
nkt(t)=x;
end
disp('le pourcentage de variance expliqué est:')
tauxinertie
disp('les matrices alpha, beta et k sont:')
alpha
beta
nkt
X. Bibliographie
Hua Chen. Contingent claim pricing with applications to
financial risk management. A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment
of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy in the Robinson
College of Business of Georgia State University, 47-81, 2008.
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prospective en France. Mémoire de statistique appliquée,
ENSAE 2004.
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prospectif avec dérive contrainte. Groupe de travail, ISFA
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mortality graduation. Application to mortality data for the Valencia Region
(Spain). SORT 29 (2), 269-288, July-December 2005.
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Department of Statistics, University of Toronto, 2008.
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Estatística ,Portuga, 2000.
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of US mortality. Journal of the American Statistical Association, vol.
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