2.1.2.2. Théorème du faible gain [14]
Supposons que ( ) et ( ) ont tous les pôles à partie
réelle négative, alors le système
bouclé de transmittance en boucle ouverte ( ) = ( ) ( )
est stable si ? ?8 < 1.
Ou bien si : V JZ )
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Où valeur singulière maximale de ( )
calculée à la pulsation
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2.2. Notions de robustesse
La mise en équation d'un processus physique
nécessite des approximations, d'où résultent par
conséquent des incertitudes de modèle. De plus la synthèse
du correcteur fait généralement appel à un modèle
simplifié, dans lequel sont, par exemple négligées les
dynamiques hautes fréquences du système, celles des capteurs ou
actionneurs, d'éventuels retards purs...etc. Enfin, les
paramètres du modèle ainsi obtenus sont plus au moins
entachés d'incertitudes.
On dit qu'une propriété du système
asservi est robuste si cette propriété est garantie malgré
la présence d'incertitudes. En particulier, on cherchera au moins
à assurer au système asservi la robustesse de la
stabilité. Une exigence plus importante consiste à garantir la
robustesse d'une performance (telle que le taux de rejet d'une perturbation par
exemple).
2.2.1. Incertitudes de modèle [4]
On ne peut parler de robustesse que par rapport à un
objectif donné et aux types d'incertitudes considérées.
Dans le cadre linéaire, celles-ci sont généralement
regroupées en deux classes:
1' Incertitudes non-structurées:
Elles représentent les incertitudes influant sur le
système mais pour lesquelles aucune information structurelle n'est
disponible. Elles peuvent traduire par exemple des phénomènes
hautes fréquences comme des dynamiques négligées dans un
modèle (incertitudes dynamiques).
1' Incertitudes structurées :
Elles représentent des incertitudes dont on peut
déterminer l'influence sur la structure du système
étudié. Elles peuvent traduire des phénomènes
basses fréquences comme des variations paramétriques dues
à l'usure du système (incertitudes paramétriques).
Une représentation générale d'un
système soumis à des incertitudes de modèle est
donnée sur la figure 2.5.
?( )
( )
Figure 2.5 - Représentation
généralisée des incertitudes de modélisation
Toutes les incertitudes de modèle sont
rassemblées dans la matrice L( ). La matrice de
transfert ( )
modélise les interconnexions entre les entrées , les sorties , et
les signaux
et qui permettent de faire intervenir les incertitudes.
En écrivant les relations entre les
déférents signaux :
( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )
( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.5)
( ) = i( ) ( )
On calcul le transfert entre et :
33
L'expression (2.6) est appelée une Transformation
Fractionnaire Linéaire LFT. Elle est
notée ,i(s)
Pour écrire l'expression (2.6), il faut que la matrice (
)L( ) inversible pour
presque tout .
L'étude de la robustesse consiste à chercher
à garantir une propriété particulière (par exemple
la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L( ). On peut imaginer 2
degrés de complexité différents pour aborder ce
problème :
- Soit en ignore la structure de i ( ), en cherchant simplement
quelle est la plus grande
valeur admissible de sa norme. L'outil adéquat pour
traiter le problème de cette façon est la norme 8.
- Soit on prend compte de la structure de L( ), ce qui conduit
à des résultats plus
précis. Il faut pour cela définir un nouvel outil :
la valeur singulière structurée.
Remarque :
Si la propreté qu'on cherche à garantir est la
stabilité, et si par hypothèse ( ) et L( ) sont
stable, la
seul source d'instabilité provient du bouclage par L( ), et il est donc
équivalent
d'étudier la stabilité du système de la
figure 2.6, avec ( ) = ( ).
i( )
( )
Figure 2.6 - Schéma d'analyse de la robustesse de la
stabilité
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