Etude de l'influence des efferts d'echelle dans le modele de Dugdale

UNIVERSITE SAAD DAHLEB DE BLIDA

Faculté des Sciences de l'Ingénieur
Département de Génie Mécanique

MEMOIRE DE MAGISTER

Spécialité : Construction

ETUDE DE L'INFLUENCE DES EFFETS D'ECHELLE DANS
LE MODELE DE DUGDALE À TRAVERS LE CAS D'UNE
BANDE INFINIE SOUMISE À UN CHARGEMENT
ANTI PLAN

Par

BRICK CHAOUCHE Amine

Devant le jury composé de

M. OUALI Professeur, U. de Blida Président

A. AIAD Maître de conférence, U. de Blida Examinateur

K. AZOUAOUI Maître de conférence, U. de Bab Ezzouar Examinateur

H. FERDJANI Maître de conférence, U. de Blida Rapporteur

RÉSUMÉ

Le but de ce travail est de montrer, dans le cadre de la mécanique de la rupture avec le modèle de rupture de Dugdale- Barenblatt, ou de façon plus générale, les modèles de forces cohésives, que les défauts de petite taille devant la longueur caractéristique du matériau ont pratiquement peu d'influence sur les capacités de résistance d'une structure. On traite pour cela l'exemple d'une bande contenant une fissure parallèle à la face supérieure, en résolvant une équation intégrale singulière obtenue par conversion analytique des équations d'élasticité, la résolution de fait en utilisant les polynômes de Chebyshev.

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L, 1234.2 bHA 4)J^,M) _N(O90@K9*+ ,-. (J0. 1234.2 5621 713834.2 790:;.2 <30=.2 Û+ ?^,@*A 3B CD2EF.2 bHA I) JF-.2
~ DUGDALE CP9QR S^,4=TD^,U V.W
~ \3(=.2 ,-]^_. \`23) ab _N(O \3T]c i=Ut1 0B^,eTQ 90f C]0gh C.^,i CD2E1 _jT0D
\1F=T) _N(O FQ:Jti 404kJ CMP9^U J]J2 C4* I) L ~ C0(0(]c CMP)L. V.W L ÛJ2J c CJi=Q _N.AÛJ2JT.24.1^,=) JzJ]c _jT0
·
·
·
.Chebyshev 1LF].2

ABSTRACT

The goal of this work is to prove that, within the framework of Fracture Mechanics with the cohesive forces model, or Dugdale- Barenblatt model, the defects the size of which are small compared to the material characteristic length are practically without influence on the limit loads of the structure. For that we treat the case of an infinite strip containing a Dugdale crack parallel to its boundaries. The problem is formulated in term of a singular integral equation obtained by transforming analytically the equations of elasticity. The resolution is done using Chebyshev polynomials.

TABLE DES MATIERES

REsUMEtttttttttttttttttttttttttttttttt. (¹) TABLE DEs MATIEREsttttttttttttttttttttttt.tt.. (⁴) LIsTE DEs sYMBOLEs ttttttttttttttttttttttttt.. (⁶) INTRODUCTIONttttttttttttttttttttttttt.ttt.. (⁹)

1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE tt.tttttttttttttttt....tt. (¹⁵) 1.1 Introductionttttttttttttttttttttttt..tt..t... (¹⁵) 1.2 Lois d'interface des modèles de force cohésive (¹⁵)

1.2.1 Modèle de Dugdaletttttttttttttttttt.tttt (¹⁶)

1.2.2 Modèle de Dugdale régularisétttttttttttttt.tttt (¹⁷)

1.2.3 Modèle de Needlemanttttttttttttttttttttt. (¹⁸) 1.2.4 Modèle de Tvergaardttttttttttttttttt.tttt.. (²⁰) 1.3 synthèse des travaux de Ferdjani et altttttttttttttt..ttt. (²¹)

1.3.1 Cas d'une plaque pré fissuré ou trouéttttttttttt..tt.tt (²¹)

1.3.2 Modèle de Dugdale tttt..ttttttttttttt..ttt.t (²²)

· Cas d'une fissure préexistantettttttttttttt...tttt.. (²²)

· Cas d'une cavité circulairettttttttttttttt..tttt (²⁵)

1.3.3 Modèle de Dugdale régulariséttttttttttttt.tt.ttt (²⁹)

1.4. Demi plan contenant une fissure rectilignetttttttttttt.ttt (³²)

2. Position du problème traitéttttttttttttttttttt..t..ttt (⁴⁰)

2.1 La phase cohésivetttttttttttttttttttttt..ttt (⁴³)

2.2 La phase propagationttttttttttttttttttt.tt.ttt (⁴⁵)

2.3 Conclusionttttttttttttttttttttttt.ttt.tt (46)

3. Dérivation de l'équation intégrale.................................................................	(^47)
3.1 Introduction	(^47)
3.2 Les données de la transformation	(^47)

3.3 Démonstration de la convergence uniforme de l'intégrale I............................... (⁵³)

3.4 Conclusion.......................................................................................	(^55)
4. Résolution de l'équation intégrale.................................................................	(56)		4.1 Introduction.......................................................................................
(^56)	4.2 Résolution........................................................................................
(^56)	4.2.1 Introduction des quantités normalisées...............................................
(57)

4.2.2 Application de la méthode de résolution standard des équations intégrale...... (58)

4.2.3 Évaluation numérique des différentes intégrales.................................... (⁶⁰)

4.2.4 Evaluation numérique de L(r, s)..................................................... (60)

4.3 Formule donnant le facteur d'intensité de contrainte.......................................	(^63)
4.4 Formule donnant l'ouverture de la fissure...................................................	(^63)
4.5 Etude de convergence............................................................................	(^64)

4.6 Etude du cas de fissure dans un milieu infinie...............................................(66)
4.6.1 Equation intégrale.........................................................................(66)
4.6.2 Phase cohésive.............................................................................(67)
4.6.3 Contrainte de rupture.....................................................................(68)
4.6.4 Phase de propagation.....................................................................(68)
4.7 Conclusion .......................................................................................(69)

5. Présentation des résultats........................................................................... (^70)			5.1 Introduction (^70)
		5.2 La phase cohésive
(^70)		5.3 La charge de rupture
(^72)		5.4 La phase de propagation
(^72)		6. Conclusion (^74)
Bibliographies (75)

LISTE DES SYMBOLES

ö : Densité d'énergie de surface.

[[u_n ]] : saut de déplacement normale (ouverture de la fissure) en mode I pure.

G : Taux de restitution d'énergie. G_c : Taux de restitution d'énergie critique.

Ô₀ : Le saut critique de décohésion.

Ô, : Déplacement tangentiel.

Ô_c : Ouverture critique de rupture (caractéristique des modèles cohésive).

Ô_n : Discontinuité du déplacement normale.

a_c : Contrainte critique (caractéristique du matériau).

a_n : Contrainte normale d'interaction entre les lèvres de la fissure.

a, : Contrainte tangentielle.

/₀ : Position de la pointe de fissure initial (ou diamètre du défaut initial dans le cas de trou) /a : Position de la zone non cohésive.

/c : Position de la zone cohésive.

/cc : Position de la zone cohésive continuum.

L : Largeur de la plaque fissuré.

F : La fissure.

F_n : Partie non cohésive de la fissure.

F_c : Partie cohésive de la fissure.

F_c : Partie cohésive continuum de la fissure.

a_co :Charge appliquée.

x₁ : Direction parallèle a la fissure.

x₂ : Direction normale a la fissure.

x₃ : Direction perpendiculaire a la plaque.

K₁ : Facteur d'intensité de contrainte en mode I.

vi : Potentiel.

SI : Domaine de la plaque fissuré.

D: La fissure (défaut).

yl_c :Longueur caractéristique qui se déduit de l'ouverture critique ê_c et les constantes

matérielles.

E: Module de young.

y : Coefficient de poison. p : Module de cisaillement.

a_a :Charge d'amorçage de la fissure. a,.: Charge de rupture.

q(x₁) :Répartition des contraintes normales exercées sur les lèvres de la fissure. h: Profondeur de la fissure.

²co : Contrainte de cisaillement appliquée.

x₃ :Direction normale a la plaque.

W : Champ de déplacement.

u_x : La réponse élastique (le champ de déplacement).

u₁ : Composante du déplacement dans la direction 1.

u₂ : Composante de déplacement dans la direction 2.

u₃ : Composante de déplacement dans la direction 3.

n : La normale a la plaque.

2 : Champ de contrainte dans le domaine SI .

2_c : Contrainte tangentielle critique (caractéristique du matériau).

2₂₃ : Contrainte de cisaillement appliquée sur les lèvres de la fissure dans la direction x₃ . 2₁₃ : Contrainte de cisaillement appliquée sur les lèvres de la fissure dans la direction x₁ . Ir_c : Domaine fissuré.

K₃ : Facteur d'intensité de contrainte en mode III.

ô(x_i ): Chargement en fonction de x_v .

t : Variable caractérisant la direction x,bornéesur l'intervalle [- l_a,l_n] résulte des

transformations intégrale.

k(x_i , t) : second partie du premier terme de l'équation intégrale appelée le kernel. ø(t) : Fonction de densité d'énergie.

T_n : Polynômes de Chebychev du premier ordre.

w : Fonctions poids associés aux polynômes de Chebychev du premier ordre. U_n: Polynômes de Chebychev de second ordre.

N :Nombre d'équation du système d'équations algébrique obtenu par application de la méthode de collocation sur l'équation intégral.

r. : Points de collocation.

tk :Noeuds.

n: Nombre de noeuds.

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