Invariants d'une algèbre centrale simple à involution

1.3 Groupe de Brauer

Nous rappelons la définition d'un groupe introduit par Brauer en 1929. Gr^ace au théorème de Wedderburn, on vient de voir que toute F-algèbre simple centrale de dimension finie est isomorphe à une algèbre de matrices sur une algèbre à division de centre F, celle ci étant uniquement déterminée à isomorphisme près. Deux F-algèbres simples centrales A et B sont

dites Brauer-équivalentes ou semblables (et on écrit A B) si elles sont F-isomorphes ^àdes algèbres de matrices sur des algèbres à division isomorphes ou, de façon équivalente,

s'il existe deux entiers n et m tels que M_n(A) = M_m(B). Il est clair que définit une

relation d'équivalence sur les F-algèbres simples centrales de dimension finie; la classe d'une F-algèbre simple centrale A sera notée [A]. Le produit tensoriel (sur F) de deux F-algèbres simples centrales étant une F-algèbre simple centrale, l'ensemble des classes d'équivalences de F-algèbres simples centrales muni de la loi induite par le produit tensoriel de F-algèbres est un groupe abélien appelé groupe de Brauer de F et noté Br(F). L'élément neutre de Br(F) est [F] et l'inverse de [A] est [A^op] (par l'assertion (2) du théorème de Wedderburn) (voir [13, page 290]).

Exemples :

1. Le groupe de Brauer d'un corps algébriquement clos est trivial.

2. Le groupe de Brauer d'un corps fini est trivial.

3. Br(R) est un groupe cyclique d'ordre 2; son élément non trivial est donné par la classe de l'algèbre des quaternions d'Hamilton (-1, -1)R.

1.4 Algèbre conjuguée - Norme d'une algèbre

Soit F/F0 une extension quadratique séparable avec Gal(F/F0) = {1, u}.

Définition 1.4.1 Soit A une F-algèbre. L'algèbre conjuguée de A notée A, est A en tant qu'anneau, mais l'action de F sur A est : â * a = u(â)a.

Proposition 1.4.2 Si A et B sont deux F-algèbres simples centrales, alors :

1.

A est une F-algèbre simple centrale.

2. A®FB=A®FB

3. M_n(A) = M_n(A)

4. L'application ø : Br(F) -? Br(F) est un homomorphisme de groupes. [A] 7-? [A]

Considérons l'application S : A ®F A -? A ®F A

a®b7-? b®a

Pour tout a, b E A et pour tout À E F :

S(À.(a ® b)) = S(u(À)a ® b) = b ® u(À)a = u(À)(b ® a) = u(À)S(a ® b), donc S est u- semilinéaire, en plus S est un automorphisme de F0-algèbres.

Définition 1.4.3 On appelle norme (transfert, ou corestriction) de la F-algèbre A, notée NF/F0 (A), la sous F0-algèbre de A ®F A formée des éléments invariants par S.

Autrement dit: NF/F0(A) = corF/F0(A) = {x E A ®F A/S(x) = x}.

Lemme 1.4.4 ?: F ®F0 NF/F0(A) --* A ®F A

À ® x i--* Àx

est un isoomomorphisme canonique de F0-algèbres.

Corollaire 1.4.5 Si A est une F-algèbre centrale simple alors _NF/F0(A) est une F0-algèbre centrale simple et deg(NF/F0(A)) = (deg(A))².

Proposition 1.4.6 1. Si A et B sont des F-algèbres centrales simples alors

NF/F0(A ®F B) = NF/F0(A) ®F0 NF/F0(B).

2. Si A est une F0-algèbre centrale simple alors NF/F0(A ®F0 F) A _®F0 A.

3. NF/F0 : Br(F) --* Br(F0) est un homomorphisme de groupes. [A] i--* [NF/F0(A)]

Preuve : Voir ([14, proposition 3.8, page 23 ]).

ChaPItre 2

Involution d'une algèbre centrale

simple

2.1 Involutions et formes bilinéaires

Définition 2.1.1 Soit A un anneau unitaire non nécessairement commutatif. Une involution sur A est une application u : A -? A vérifiant:

1. u(x+y)=u(x)+u(y)pourtoutx,yEA.

2. u(xy) = u(y)u(x) pour tout x, y E A.

3. u² = IdA.

En conséquence, u est une involution sur A si et seulement si u est un isomorphisme d'ordre deux de A dans A^op.

Une involution sur une F-algèbre centrale simple A, est une involution sur l'anneau A. Le couple (A, u) est appelé algèbre à involution.

Exemples : Soit K un corps.

1. t: M_n(K) -? M_n(K) est une involution sur M_n(K) appelée transposition. (aij) ^F-? (aji)

2. Si U est un élément inversible de M_n(K) tel que U^t = #177;U, alors

u: M_n(K) --* M_n(K)

M i--* UM^tU^-1

est une involution sur Mn(K). 3. L'application:

? ?a b c d

? ? ? d -b ? i--* ? ? -c a

est une involution sur M2 (K).

4. Si (A, u) est un anneau à involution, alors _(áij) i--* (u(áij))^t est une involution sur M_n(A).

Définition 2.1.2 Soient (A, u) et (A^', u^') deux algèbres à involutions.

On dit que f: (A, u) --* (A^', u^') est un homomorphisme d'algèbres à involution si f : A --* A^' est un homomorphisme de F-algèbres vérifiant u^' o f = f o u.

Proposition 2.1.3 Si (A, u) est une F-algèbre centrale simple à involution, alors u(F) = F. Preuve : soit x E F, pour tout y E A on a

u(x)y = u(x)u(z) = u(zx) = u(xz) = u(z)u(x) = yu(x)

donc u(x) E F et u(F) c F. Réciproquement, F = u(u(F)) c u(F). Par suite u(F) = F.

Soit (A, u) une F-algèbre centrale simple à involution. Si on pose

F0 = inv(u) = {x E F/u(x) = x}, alors F0 est un sous corps de F appelé le corps d'invariants
de u et on dit que u une F/F0-involution. La restriction de u à F est un F0- automorphisme
de F égal à l'identité ou d'ordre 2. Autrement dit, l'une des conditons suivantes est satisfaite:

(i) F0 = F (u est F-linéaire), dans ce cas u est dite une involution de première espèce.

(ii) F/F0 est une extension quadratique séparable et Gal(F/F0) = {1, u/F}, dans ce cas u est dite une involution de deuxième espèce.

Exemples:

1. L'involution transposition est de première espèce sur A = M_n(K).

2. L'involution u définie sur A = (a, b)F) par : u(w + xi + yj + zk) = w - xi - yj - zk est une involution de première espèce sur A, appelée conjugaison.

3. Pour A = M_n(C), l'involution u: M F--* M^t est de deuxième espèce.

4. Si u est une involution de première espèce sur A et si K est une extension de F, alors u se prolonge en une involution de première espèce uK = u ® IdK sur AK = A ®F K.

Définition 2.1.4 Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps F, V * et W * leurs espaces duals. Pour toute application F-linéaire f : V --* W, on définit la transposée de f notée f^t par: f^t : W * --* V *

g F--* g of

Définition 2.1.5 Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps F. Une forme bilinéaire b: V x V --* F est dite non singulière si l'application

^bb: V --* V *

x F--* ^bb(x):yF--*b(x,y) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Pour chaque forme bilinéaire non singulière b sur V, désignons par ub l'application :

EndF(V) --* EndF(V).

f F--*

bb-1 o f^t o

bb

ub est un anti-automorphisme F-linéaire appelé anti-automorphisme adjoint de b.

Dans la suite, AntF(EndF(V)) désignera l'ensemble des anti-automorphismes F-linéaires de EndF(V) et par Bil^?(V) l'ensemble des formes bilinéaires non singulières définies sur V.

Théorème 2.1.6 L'application qui à chaque forme bilinéaire non singulière b associe son anti-automorphisme adjoint ub, induit une correspondance bijective de Bil^?(V)/F^* dans AntF(EndF(V)).

Preuve : Soit ? : Bil^?(V)/F^* --* AntF(EndF(V)).

~b F--* ub

On a pour b, b^' E Bil^?(V), ~b= ^~b' ? ?áE F^* tel que b^' = áb. Or, uáb = ub donc ub = ub0,

par suite ? est bien définie.

Soient b, b^' E Bil^°(V) telles que ób = ób^,, montrons que ~b = b^'.

On pose 0 = ^{^}b^' o^{^}b^-1, alors 0 E Gl(V) et b^' (x , y) = b(0(x), y) Vx, y E V. Donc

ób(f ) = 0 o ób^,(f) o 0^-1 pour tout f E EndF(V) de sorte que ób = int(0) o ób^,. Or ób = ób^,, alors 0 E F^* et par suite b^' = 0b, d'ouu b = b^'.

Pour prouver que ? est surjective, fixons b E Bil^°(V) et soit ó^' E AntF(EndF(V)). Du fait que ób o ó^'-1 est un F-automorphisme de EndF(V), le Théorème de Skolem-Noether assure l'existence de u E Gl(V) tel que ób o ó^'-1 = int(u). Posons b^'(x, y) = b(u(x), y), puisque

_b' (ó' (f)(x), y) = b^' (u^-1 o ób( f) (u(x)) , y) = b (ób(f)(u(x)) , y) = b(u(x) , f (y)) = b' (x , f (y)) . On en déduit alors que ó^' = ób^,. D'ouu ? est bijective.

Corollaire 2.1.7 Les involutions de première espèce de EndF(V) sont en correspondance bijective avec les formes bilinéeaires non singulières syméetriques ou anti-syméetriques déenies sur V à un scalaire non nul près.

Preuve : Soit b une forme bilinéaire non singulière sur V. Si b est symétrique ou antisymétrique alors b(x, y) = eb(y, x) Vx, y E V avec e = +1.

Pour tout x, y E V et pour tout f E EndF(V) on a :

b(ó²_b(f)(x), y) = b(x, ób( f)(y)) = eb(ób(f)(y), x) = eb(y, f (x)) = e²b(f (x), y) = b (f (x), y) . D'ouu ó²_b = Id, par suite ób est une involution de première espèce de EndF(V). Inversement, si ó est une involution de première espèce de EndF(V), alors d'après le théorème précédent, il existe une forme bilinéaire non singulière b sur V telle que ó = ób. Posons b^'(x, y) = b(y, x). On a ó = ób = ój¹, or ó = ób est une involution alors ó²_b = Id et ób = ób^,, par suite b = eb^' ouu e E F^* et e² = 1. D'ouu b est symétrique ou anti-symétrique.

2.2 Types d'involutions sur une algèbre centrale simple

Considérons une F-algèbre centrale simple A de degré n ayant une involution ó de première espèce. Pour toute extension K de F, ó se prolonge en une involution de première espèce óK = ó O IdK sur la K-algèbre centrale simple AK = AOF K. En particulier, si K neutralise

A, alors AK = EndK(V) pour un certain K-espace vectoriel de dimension n = deg(A), par suite óK est l'anti-automorphisme adjoint d'une forme bilinéaire non singulière b sur V qui est symétrique ou anti-symétrique.

Définition 2.2.1 L'involution ó est dite de type +1 ou orthogonale (resp de type -1 ou symplectique) si óK est l'anti-automorphisme adjoint d'une forme bilinéaire symétrique (resp anti-symétrique).

Pour montrer que cette définition ne dépend pas du choix du corps neutralisant, on va donner une caractérisation des involutions orthogonales et symplectiques.

Proposition 2.2.2 Soit A une F-algèbre centrale simple de degré n et ó une involution de A. Posons (A, ó)+ = {a E A/ó(a) = a} et (A, ó)_ = {a E A/ó(a) = --a}.

1. Si ó est une involution de première espèce qui est orthogonale, alors :

n(n + 1) n(n -- 1)

di mF (A, ó)+ = 2 et di mF (A, ó)_ = 2 .

2. Si ó est une involution de première espèce qui est symplectique, alors :

n(n -- 1) n(n + 1)

di mF (A, ó)+ = 2 et di mF (A, ó)_ = 2 .

Dans ce cas n est nécessairement pair.

3. Si ó est une involution de deuxième espèce du corps d'invariants F0, alors : dimF₀(A,ó)+ = dimF₀(A,ó)_ = n².

Preuve : On suppose que ó est de première espèce, on peut prendre

A = M_n(F) = EndF(F ⁿ), donc ó est une involution adjointe d'une forme bilinéaire non singulière b sur F ⁿ. Désignons par u E GL_n(F) la matrice de b, b(x, y) = x^tuy, ?x, y E F n, en plus u^t = --u si b est anti-symétrique (ó symplectique). Pour n impair, toute matrice antisymétrique de M_n(F) est singulière, il est donc nécessaire que n soit pair, pour l'existence d'une involution symplectique. b(ó(f)(x), y) = b(x, f(y)) ?x, y E F ⁿ, ?f E M_n(F). Donc ó(f) = u_¹ f^tu, on en déduit alors que : (A, ó)+ = u_¹(M_n(F), t)+ si ó est orthogonale et (A, ó)+ = u_¹(M_n(F), t)_ si ó est symplectique. Compte tenu du fait que

A = (A, ó)+?(A, ó)_, dimF(M_n(F), t)+ = n(n+1)

₂ et dimF(M_n(F), t)_ = n(n_1)

₂ , on en déduit

1 et 2).

Si ó est une involution de deuxième espèce du corps d'invariants F0, alors il existe aEFtelqueó(a)--a =6 0,doncz=ó(a)--aEFetó(z)=--z.Ainsi,

(A,ó)+ = z(A,ó)_ et (A,ó)_ = z(A,ó)+. En conséquence, dimF₀(A,ó)+ = dimF₀(A,ó)_ et A = (A, ó)+ ? (A, ó)_. Par suite,

2dimF₀(A, ó)+ = 2dimF₀(A, ó)_ = dimF₀A = dimFA.dimF₀F = 2n².

Proposition 2.2.3 (A1, ó1), ..., (A_n, ó_n) sont des F-algèbres centrales simples à involutions. Les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. Si V 1 i n ói est une F/F0-involution, alors ó1 ® ® ó_n est une F/F0-

involution de A1 ®F ®F A_n.

2. Si V 1 i n ói est une involution de première espèce et de type Ei = #177;1, alors

Qn i=1

Ei.

ó1 ® ® ó_n est une involution de première espèce et de type E =
Preuve : Par récurrence sur n (Voir [11, proposition 2.3, page 14]).

Remarque : Soit ó une involution de première espèce d'une F-algèbre centrale simple A, posons ó_a = int(a) o ó pour a E U(A).

1. Si a E (A, ó)+, alors les involutions ó et ó_a sont de même type.

2. Si a E (A, ó)_, alors les involutions ó et ó_a sont de types différents.

Exemples: Soit un corps F.

1.

ó: A=M2(F) --? M2(F)

? ?

ab cd

? ? ?

d --b

? 7--? ? ?

--c a

On a dimF(A, ó)+ = 1 = 2(2_1)

₂ donc ó est symplectique.

2. Soient Q=(a,b)Fetó(w+xi+yj+zk)=w--xi--yj--zk.

On sait que ó est une involution de première espèce sur Q et degQ = 2, d'autre part (Q, ó)+ = F. Ainsi dimF(Q, ó)+ = 1 = 2(2_1)

₂ , en conséquence, ó est symplectique . Si

ó' désigne une autre involution de première espèce sur Q, ?u E U(A) tel que

ó' = int(u) o ó = ó_u et ó(u) = #177;u. D'après la remarque précédente Si ó^' est symplectique alors ó(u) = u, donc u E (Q, ó)+ = F, par suite ó^' = ó. Si ó^' est orthogonale, alors ó(u) = -u, donc u est un quaternion pur. En conclusion:

(i) Toute algèbre de quaternions a une unique involution symplectique qui est l'involution standard ó.

(ii) Toute involution orthogonale sur une algèbre de quaternions est de la forme int(u) o ó avec u un quaternion pur inversible.

3. L'involution transposition t : M_n(F) -? M_n(F) est orthogonale, car dimF(M_n(F), t)+ = n(n+1)

₂ .

Théorème 2.2.4 (Albert) Soit ó une F/F0- involution sur une algèbre de quaternions Q. Alors il existe une unique F0-algèbre centrale simple Q0 C Q telle que :

Q=Q0?F0F et ó='y0?á

avec 'y0 l'involution canonique de Q0 et á = ó/F le F0-automorphisme non trivial de F, de plus Q0 est deteminée d'une façon unique.

Preuve : Voir [13, chapitre 8. §11. Théorème 11.2].

Théorème 2.2.5 (Théorème 90 de Hilbert) Soient E/K une extension cyclique (finie, galoisienne, et de groupe de Galois cyclique) de corps et b un élément de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. NE/K(b) = 1

2. il existe a E E^* tel que b = aø(a)^-1 , uou ø désigne un générateur du groupe de Galois de E/K.

Preuve : Voir ([13, Lemma 6.6, page 260]).

Théorème 2.2.6 Soient A une F-algèbre centrale simple et ó une F/F0-involution de A, alors les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. Si À E F satisfait Àó(À) = 1 et si a E U(A) tel que a = Àó(a), alors ó_a = int(a) o ó est une F/F0-involution de A.

2. Inversement, si T une F/ F0-involution arbitraire de A, alors il existe a E U(A) vérifiant a = eu(a), e E F et eu(e) = 1 tel que T = u_a.

3. Dans le cas d'une involution de première espèce, a est unique à un scalaire près á E F^*. Dans le cas d'une involution de deuxième espèce, T = u_a avec a = u(a).

4. Si u_a et ub sont deux F/ F0-involutions de A, alors (A, u_a) r (A, ub) si et seulement si c E U(A), á E F tels que b = ácau(c).

ouu U(A) désigne l'ensemble des éléments inversiblrs de A.

Preuve :

1. Il est clair que u_a est une involution de A, montrons que inv(u) = inv(u_a). Soit x E F, on a : x E inv(u) -<,- u(x) = x -<,- u_a(x) = au(x)a^-1 = axa^-1 = x, donc inv(u) = inv(u_a), par suite u_a est une F/F0-involution.

2. Soit T une F/F0-involution quelconque de A. On a T o u est un F0-automorphisme de A, donc a E U(A) tel que T o u = int(a), d'ouu T = int(a) o u = u_a. Donc T2 = int(au(a)^-1) = Id, ainsi au(a)^-1 = e E F,

d'ouu a = eu (a) = e u (e u (a)) = e u (e)a =,- eu (e) = 1.

3. Si u est de première espèce et si T = u_a, a E U(A) vérifie u (a) = #177;a, supposons qu'il existe b E U(A) tel que T = ub, il en résulte que a = âb avec â E F et on a u(b) = #177;b. Dans le cas ouu u est de deuxième espèce, par le théorème 90 de Hilbert, on peut choisir á E F^* tel que áu(á^-1) = e et en remplaçant a par a^' = á^-1a nous obtenons T = u a = u_at tel que u(a^') = a^'.

4. (A, ua) r (A, ub) si et seulement si il existe un automorphisme de A tel que ub of=fo ua, donc c E U(A) tel que f = int(c). On en déduit que ac^-^1b^-^1u^-^1(c)= á E F.

Le but des deux sections suivantes est de caractériser l'existence d'une involution sur une algèbre centrale simple.

2.3 Existence d'involutions de première espèce

Soit A une F-algèbre centrale simple. Considérons l'application F-linéaire

Sand : A 0F A --> EndF(A) a 0 b 1--> axb

Lemme 2.3.1 Sand est un isomorphisme de F-espaces vectoriels

Preuve :

Sand = ø o ? avec ø et ? sont deux isomorphismes de F-espaces vectoriels définis par :

ø: A 0F A --> A 0F Aop a0b 1--> a0b^op

? : A 0F A^op --> EndF(A) a 0 b^op 1--> ø (a 0 b^op) : x 1--> axb ( ? est l'isomorphisme de l'assertion (2) du théorème de Wedderburn)

Soient A une F-algèbre centrale simple et K un corps déployant de A. Alors il existe ? : A 0F K --> M_n(K) un isomorphisme de K-algèbres.

Pour tout a E A, le polynôme

PrdA(a) := det(X I_n -- ?(a 0 1)) = Xⁿ -- s1X^n-1 + s2X^n-2 + ... + (--1)ⁿ s_n E F[X]

ne dépend pas du choix de ?, car si ?' : A 0F K --> M_n(K) est un isomorphisme de K- algèbres, alors d'après le théorème de Skolem-Noether, ?(a01) et ?^'(a0 1) sont des matrices semblables et ont donc même polynôme caractéristique. On montre en plus que PrdA(a) ne dépend pas du choix du corps neutralisant K.

Définition 2.3.2 1. PrdA(a) est appelé polynôme caractéristique réduit de a.

2. TrdA(a) = s1 = tr(?(a 01)) est appelée la trace réduite de a.

3. NrdA(a) = s_n = det(?(a 01)) est appelée la norme réduite de a.

Remarque : La composée de la trace réduite TrdA : A --> F et l'inclusion F c> A permet de voir TrdA comme un élément de EndF(A).

Définition 2.3.3 L'unique élément g E A ®F A tel que Sand(g) = TrdA est appelé élément de Goldman de A ®F A.

Proposition 2.3.4 L'élément de Goldman g E A ®F A vérifie les propriétés suivantes :

1. g² =1

2. g .(a ® b) = (b ® a).g V a, b E A

3. Si A = EndF(V), alors sous l'identification canonique A ®F A = EndF(V ®F V), g est défini par : g(v1 ® v2) = v2 ® v1 Vv1, v2 E V.

Preuve : Montrons (3). Pour cela, on va utiliser l'isomorphisme canonique

EndF(V) = V®FV^* . Soient (ei)1<i<n une base de V et (e^*i)1<i<n sa base duale. Soit l'élément

Xg = i,j

(ei ® e^*j) ® (ej ® e^*i) E A ®F A

On a Vf E EndF(V) : sand(g)(f) = Ei (ei®e;)o fo (ej®e;`) = Ei e;(f(ej))(ei®e*i). Or, Ei ei ® e^*_i = Idem et ^Ej e^*_j(f(ej)) = tr(f), donc sand(g)(f) = tr(f), par suite g est l'élément de Goldman de A ®F A. Par ailleurs Vv1, v2 E V :

g(v1 ® v2)=Ei_,j(ei®e^*j)(v1)®(ej®e^*i)(v2)=(Ei ei.ei(v2))®(Ej ej.e^*j(v1)) = v2 ® v1. Ainsi, la démonstration de (3) est complète, et toujours sous la condition A = EndF(V)

on a : g(g(v1 ® v2)) = g(v2 ® v1) = v1 ®v2, d'ouu (1). D'autre part Va, b E A, Vv1, v2 E V :

[go(a®b)](v1®v2) = g(a(v1)®b(v2)) = b(v2)®a(v1) = (b®a)(v2®v1) = [(b®a)og](v1®v2). En conséquence, on a (2). Si A est quelconque, alors pour un corps K neutralisant A, l'élément de Goldman de A ®F A est celui de AK ®K AK. On applique ce qui précède pour conclure.

Soit A une F-algèbre centrale simple. Chaque anti-automorphisme F-linéaire u sur A iduit une structure de A ®F A-modules à droite sur A définie par : x .(a ® b) = u(a)xb.

Lemme 2.3.5 Soit A une F-algèbre centrale simple et u une involution de première espèce de A. L'application u^' : A®F A ----> A est un homomorphisme de A®F A-modules à droite a ® b 1----> u (a)b

et on a : (A ®F 1) ED I_a = A ®F A = I_a ED (1 ®F A), ouu I_a = Ker_a0.

Preuve :

Si x E A alors ?y E A tel que u(y) = x, ainsi u^'(y ®1) = x. Par suite u^' est surjective et que dimFI_a = dimF(A ®F A) -- dimF A. Or, u^' (a ® 1) = u(a) et u^'(1 ® a) = a, Va E A, alors (A ®F 1) n I_a = I_a n (1 ®F A) = I01. D'ouu (A ®F 1) ED I_a = A ®F A = I_a ED (1 ®F A).

Lemme 2.3.6 Si A = EndF(V) et u une involution de première espèce sur A associéee
à b E Bil^° (V), alors I_a = If E EndF(V ®F V)/b o f = 01. De plus, si g est l'éeléement de
Goldman de A®F A alors 1-- g E I_a si b est syméetrique et 1+ g E I_a si b est anti-syméetrique.

Preuve : On peut Voir b comme étant l'application linéaire b : V ®F V ----> F. Identifions A ®F A à EndF(V ®F V).

On a : Vf = f1 ® f2 E EndF(V ®F V) = EndF(V) ®F EndF(V), Vx,y EV :

b o (Idem®u^'(f))(x®y) = b (x , u ( f1)o f2(y)) = b(f1(x), f2(y)) = bof (x ® y). Il en résulte

que bof = bo (Idem®u^'(f)). Ainsi bof = 0 ?,- u^'(f) = 0. D'autre part, si g est l'élément de Goldman de A ®F A on a :

(i)

1-- g E Keru^' ?,- b= b o g ?,- b symétrique

(ii) 1+gEKeru^'?,-b= --b o g ?,- b anti-symétrique.

Théorème 2.3.7 Soit A une F -algèbre centrale simple, et g E A®F A l'éeléement de Goldman. L'application u 1----> I_a déefinit une correspondance bijective entre les involutions de première espèce sur A et les idéeaux à droite I C A ®F A véerifiant :

1. (A ®F 1) ED I = A ®F A = I ED (1 ®F A).

2. 1#177; g E I .

Par cette correspondance, une involution u est de type orthogonale (resp symplectique) si et seulement si l'idéal correspondant I_a contient 1 -- g (resp 1 + g).

Remarquons que si I C A ®F A vérifie (2), alors chacune des deux égalités de (1) implique l'autre, en effet : Va E A, (1 #177; g)(a ® 1)g E I. Or, d'après la proposition 2.3.4 on a : g (a ® 1)g = 1 ® a. En conséquence, (1 #177; g)(a ® 1)g = (a ® 1)g #177; (1 ® a) E I.

Ainsi, il vient que si I contient a ® 1 alors il contient 1 ® a, et réciproquement.

Preuve du théorème 2.3.7 ( voir [6, Theorem 3.8, page 34] ) :

D'après le lemme 2.3.5 et le lemme 2.3.6, Keró^' vérifie (i) et (ii), donc l'application ó 1----> I_a est bien définie. Pour montrer qu'elle est bijective on va définir son application inverse. Supposons I un idéal à droite de A FA vérifiant (1) et (2). Il s'ensuit de A FA = I ED(1 _F A) que Va E A, !óI(a) E A tq a 1 -- 1 óI(a) E I Montrons que óI est une involution de première espèce sur A. Soient a, b E A :

(i) On tire de a 1 ---- 1 óI(a) E I et b 1 -- 1 óI(b) E I : (a + b) 1 -- 1 (óI(a) + óI(b)) E I (a+b) 1--1 óI(a+ b)EI

La soustraction des deux éléments donne 1 (óI(a + b) -- óI(a) -- óI(b)) E I. Or, on sait que I n1 F A = {0}, ainsi óI(a + b) = óI(a) + óI(b).

(ii) On a (a 1 -- 1 óI(a))(b 1) E I ; (b 1 -- 1 óI(b)) (1 óI(a)) E I. L'addition des deux relations donne ab 1 -- 1 (óI(b)óI(a)) E I.

Par conséquent : óI(ab) = óI(b)óI(a).

(iii) On sait que 1 #177; g E I, ainsi Vu E I, (1 #177; g).u ---- u E I. Alors Vu E I,gu E I. Il en résulte que Va E A, g(a 1 -- 1 óI(a))g = 1 a -- óI(a) 1 E I. d'ouu
óI(a) 1 ---- 1 a E I ; óI(a) 1 ---- 1 óI (óI(a)) E I. Ce qui entraîne que ó²_I(a) = a.

(iv) Si á E F, alors á 1 ---- 1 óI(á) = 1 á -- 1 óI(á) = 1 (á -- óI(á)) E In(1 F A). Donc óI(á) = á. Par ailleurs óI est bijective d'après sa construction. Finalement, óI est une involution de première espèce sur A.

Soit u = E_i xi yi E A F An Keró^'_I. Ainsi E_i óI(xi)yi = 0, et

Xu = X(xi yi -- 1 óI(xi)yi) = (xi 1 -- 1 óI(xi)).(1 yi)

i i

Mais les éléments xi 1 -- 1 óI(xi) sont dans l'idéal à droite I de A _F A, donc Keró^'_I C I. Or, il résulte de I ED ( 1 _F A) = Keró^'_I ED ( 1 _F A) que Keró^'_I et I ont même dimension. D'ouu : Keró^'_I = I. Inversement, si ó est une involution de première espèce sur A, alors : Va E A , a 1 -- 1 ó(a) E K eró^' . Il s'ensuit : óKera^, = ó. Par conséquent, les deux applications ó ----> Keró^' et I ----> óI sont l'inverse l'une de l'autre.

Proposition 2.3.8 Si A est une F-algèbre centrale simple munie d'une involution ó de première espèce, alors l'application :

ó, : A®FA --* EndF(A)

a®b i--* ó,(a®b):xi--*ó(a)xb est un isomorphisme de F-algèbres.

Preuve : Il est facile de vérifier que ó, est un homomorphisme de F-algèbres. Comme A®FA est simple il en résulte que ó, est injective. La surjectivité est assurée par le fait que A ®F A et EndF(A) ont même dimension.

On déduit de la proposition précédente que si A admet une involution de première espèce, alors A ®F A est déployée.

Théorème 2.3.9 Soit A une F-algèbre centrale simple. A admet une involution de première espèce si et seulement si A ®F A est déployée.

Preuve : Voir ([6, Theorem 3.1, page 31])

2.4 Existence d'involutions de deuxième espèce

Lemme 2.4.1 Soient A une F-algèbre centrale simple et ó une F/F0-involution de deuxième espèce de A. Alors l'application

)ó, : NF/F0(A) --* _EndF0 ((A, ó)+

a®b i--* ó,(a®b):xi--*axó(b) est un isomorphisme de F0-algèbres.

Preuve : Considérons l'application

?: A®FA --* EndF(A)

a ® b i--* ó,(a ® b) : x i--* axó(b)

On vérifie aisément que ? est un homomorphisme de F-algèbres. Comme A ®F A est une
F-algèbre simple alors ? est injective, or dimF(A ®F A) = dimFEndF(A) donc ? est un
isomorphisme de F-algèbres. Si u E _NF/F0(A), c'est- à-dire u = a ® b = b ® a E A ®F A,

alors pour tout x E A on a :

?(u)(ó(x)) = ?(a ® b)(ó (x)) = ?(b ® a)(ó(x)) = bó(x)ó(a) = ó (axó (a)) = ó (?(u)(x)). En particulier, si x E (A, ó)+ alors ?(u)(x) = ó (?(u)(x)) . C'est-à-dire,

?(u) ((A, ó)+) C (A, ó)+. En conséquence, ó. = ?/NF/F0(A) : NF/F0 (A) --> EndF0 ((A, ó)+) est un homomorphisme injectif de F0-algèbres.

D'autre part dimF₀End _F0 ((A, ó)+) = [dim _F0(A, ó)+]² = (deg A)⁴ = dimF 0NF/ F0 (A), ainsi ó. est un isomorphisme de F0-algèbres.

L'application :

_ó' : NF/F0(A) --> (A, ó)+

u 1--> ó.(u)(1)

est un homomorphisme surjectif de _NF/F0 (A)-modules à gauche ouu l'action de _NF/F0(A) sur (A, ó)+ est définie par : x.u = ó.(u)(x). Il suit alors que Keró^' est un idéal à gauche de NF/F0(A) tel que dimF0(Keró') = n4 -- n2 ouu n = deg(A). Par extension des scalaires à F et compte tenu du fait que _NF/F0 (A)F = A ®F A, ó^' induit une application :

ó^'_F : A ®F A --> A

a ®b 1--> aó(b)

en plus (A ®F 1) ED Keró^'_F = A ®F A = Keró^'_F ED (1 ® A).

Théorème 2.4.2 Soient A une F-algèbre centrale simple et F/ F0 une extension quadratique séeparable. Alors l'application ó --> keró^' déenit une correspondance bijective entre les F/ F0- involutions de deuxième espèce de A et les idéeaux à droite I C NF/F0(A) tels que

(A ®F 1) ED IF = A ®F A = IF ED (1 ®F A).

Preuve : Analogue à celle du théorème 2.3.7.

Théorème 2.4.3 (Théeorème d'Albert-Riehm-Scharlau) Soient F/ F0 une extension quadratique séeparable et A une F-algèbre centrale simple. A admet une F/ F0-involution de deuxième espèce si et seulement si _NF/F0(A) est déeployéee.

Preuve : Voir ([6, Theorem 3.1, page 31])

2.5 Algèbres à involution sur un corps de caractéristique deux

Dans ce chapitre, le corps F est de caractéristique deux.

Soit (A, ó) une F-algèbre centrale simple à involution de première espèce. Les définitions de (A, ó)+ et (A, ó)_ sont les mêmes que précédemment, mais dans ce cas, on a :

(A, ó)+ = (A, ó)_. Notons par Alt(A, ó) = {a + ó(a)/a E A} l'espace des éléments alternés de A. On a: Alt(A,ó) c (A,ó)+.

Proposition 2.5.1 Soit ó une involution sur M_n(F) de première espèce. Alors on a :

1. ó = ó_u = Int(u) o t, avec u une matrice inversible de M_n(F) vérifiant u^t = u.

2. (M_n(F), ó)+ = u.(M_n(F), t)+

3. dimF(M_n(F), ó)+ = n(n+1) 2

4. Alt(M_n(F),ó) = u.Alt(M_n(F),t) = Alt(M_n(F),t).u_¹

5. u E Alt(M_n(F), ó) si et seulement si tous les éléments diagonaux de u sont nuls. Preuve:

1. La proposition 2.2.6 en caractéristique deux ( u^t = #177;u ?u^t = u).

2. facile à vérifier.

3. D'après 2)

4. Il suffit de voir que:

ó(x) + x = uxt u_¹ + x = uxt u_¹ + uu_¹x = u(xt u_¹ + u_¹x) = u(u_¹x + (u_¹x)^t).
ó(x) + x = uxt u_¹ + x = (ux^t + xu)u_¹ = (ux + (xu)^t)u_¹.

5. Si u = m+m^t tel que m E M_n(F), alors uii = 2mii = O. Réciproquement, si ?1 i n, uii = O, alors u = m + m^t avec mij = uij si i <j et mij = O si non.

Lemme 2.5.2 Soit u une matrice inversible de M_n(F) telle que u^t = u.

1. Si u E Alt(M_n(F), t), alors il existe une matrice inversible c de M_n(F) telle que

cuc^t =

? ????

J 0 ... 0 J

? ????

? avec J = ?

01 10

? ?

2. Si u E/ Alt(M_n(F), t), alors il existe une matrice inversible c de M_n(F) telle que cuc^t est diagonale.

Preuve : Voir ([4, Theorem 20]).

Définition 2.5.3 Soit ó = ó une involution de première espèce sur M_n(F).

(i) Si u E/ Alt(M_n(F), t), ó est dite orthogonale ou de type 1.

(ii) Si u E Alt(M_n(F), t), ó est dite symplectique ou de type 0.

Proposition 2.5.4 Soit ó = ó une involution de première espèce sur M_n(F). Alors ó est symplectique si et seulement si tr(m) = 0 Vm E (M_n(F),ó)+.

Preuve : On sait que m E (M_n(F), ó)+ est équivalent à m = us avec s E (M_n(F), t)+. Si ó est symplectique, alors u = x + x^t, x E M_n(F). On a pour tout s E (M_n(F), t)+ :

tr(xs) = tr(sx) = tr(s^tx) = tr((x^ts)^t) = tr(x^ts)

Il en résulte que tr(us) = tr((x + x^t)s) = 2.tr(xs) = 0.

Réciproquement, Soit _eii la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf l'intersection de la i-ème ligne et colonne qui vaut 1. Ainsi, pour tout i on a : tr(u.eii) = uii = 0 (u.eii E (M_n(F), ó)+ car _eii est symétrique).

Proposition 2.5.5 Soient ó une involution de première espèce sur M_n(F) et w E (M_n(F), ó )+ fl Gl_n(F).

1. Si w E Alt(M_n(F), ó ), alors int(w) o ó est de type 0.

2. Si w E/ Alt(M_n(F), ó ), alors int(w) o ó est de type 1. Preuve:

1. Si w E Alt(M_n(F),ó_u) = u.Alt(M_n(F),t), alors w = u(x+x^t) = ux+ux^t. Ainsi, int(w)o ó_u = óùu avec (wu)^t = wu (car ó_u(w) = w) et wu = uxu + (uxu)^t E Alt(M_n(F) , t). Donc par définition int(w) o ó_u est de type 0.

2.

Si w E/ Alt(M_n(F), ó_u) = u.Alt(M_n(F),t) = Alt(M_n(F),t).u^-1, alors wu E/ Alt(M_n(F), t) . En conséquence óùu = int(w) o ó_u est de type 1.

Soient (A, ó) une F-algèbre centrale simple à involution ó de première espèce et K un corps neutralisant pour A, ainsi il existe un isomorphisme ? : AK = A 0F K --> M_n(K).

On a ó_? = ? o óK o ?^-1 est une involution de première espèce sur M_n(K),

en outre ? : (AK, óK) --> (M_n(K), ó_?) est un isomorphisme d'algèbres à involution. On définit le type de ó comme étant le type de ó_?.

Proposition 2.5.6 1. ó est orthogonale si a E (A, ó)+ tq TrdA(a) =6 0.

2. ó est symplectique si Va E (A, ó)+ on a TrdA(a) = 0.

Preuve : On a ?((A, ó)+ 0 K) = (M_n(K), _ó?)+. Si Va E (A, ó)+ on a TrdA(a) = 0, alors soit m E (M_n(K), _ó?)+, ainsi m = ?(a 0 1) avec a E (A, ó)+. En conséquence, tr(m) = tr(?(a 0 1)) = TrdA(a) = 0. Par suite ó_? est symplectique (prop 8.0.7).

Proposition 2.5.7 Soit (A, ó) une F-algèbre centrale simple à involution ó de première espèce. Alors on a :

1. dimF(A, ó)+ = ⁿ⁽ⁿ₂⁺¹⁾

2. dimFAlt(A, ó) = ⁿ⁽ⁿ₂^-1)

Preuve : dimF(A, ó)+ = dimK (M_n(K), ó?)₊ = dimK(Mn(K), t)+ = n(n2+1) .

Soit l'endomorphisme F-linéaire Id + ó : A --> A. Le deuxième résultat découle de : Im(I d + ó) = Alt(A, ó) et K er (I d + ó) = (A, ó)-.

Lemme 2.5.8 Soient A une F-algèbre centrale simple et ó une F/ F0-involution de deuxième espèce sur A. Alors :

1. Il existe Ô E F tq Ô E/ F0 et F = F0(Ô) et á(Ô) = Ô +1 ouu á = ó / F .

2. Posons (A, ó)8 = {x E A/ ó(x) = 8+1 ₈xl. On a : A = (A, ó)+ ED F0 (A, ó)8.

Preuve:

1. Soit 8 E F tq 8 E/ F0. F/F0 étant quadratique, ainsi F = F0(3).

Soit Irr(3, F0) = X² + aX + b, son autre racine est u(3), il en résulte que u(3) = 3 + a donc u(a^-13) = a^-13 + 1 (a =6 0 car 3 E/ F0). Par conséquent, il suffit de prendre 8=a^-13.

2. Ona : ?x EA, x=(8+1)x+8u(x)+8(x+u(x)), avec (8+1)x+8u(x) E (A,u)+ et

8(x + u(x)) E (A, u)8. On a aussi x E (A, u)+ n (A, u)8?x = 0.

Proposition 2.5.9 Si A est une F-algèbre centrale simple et u une F/F0-involution de deuxième espèce sur A, alors dimF₀(A, u)+ = n².

Preuve : Conservons les notations du lemme précédent, et soit 'q = (8+1)

8 . On a F/F0 est

une extension galoisienne de groupe de Galois G = {1, u/F}, ainsi:

1. Donc d'après le théorème 90 de Hilbert, il existe è E F

(8+1 ' 8+1

N _F/F0( 'q) = u( 'q) 'q = u 8 =

8

tq 'q = èu(è)^-1. Si u(x) = x alors u(u(è)x) = èx = è

ó(è)u(è)x = 'q.u(è)x. Il en résulte que

l'application ç: (A, u)+ -? (A, u)8 est bien définie et que c'est un isomorphisme de x '-? u(è)x

F0-espaces vectoriels, ainsi : dimF₀(A, u)+ = dimF₀(A, u)8 et A = (A, u)+ ? (A, u)8.

ChaPItre 3

Les invariants d'une algèbre centrale

simple à involution

3.1 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à in- vo lut ion

Soient (E,b) un espace bilinéaire symétrique régulier et S un sous espace vectoriel de E. L'orthogonal de S est S¹ = {x E E/b(x, y) = 0 ?y E S}. S est dit totalement isotrope si S C S¹. Un sous espace totalement isotrope est dit maximal, s'il n'est pas sous espace propre d'un sous espace totalement isotrope. On montre que tous les sous espaces totalement isotropes d'un sous espace quadratique régulier (E,b) ont même dimension, appelée indice de Witt de b.

Dans ce chapitre, on va donner un analogue de l'indice de Witt d'un espace quadratique, pour une algèbre centrale simple à involution.

3.1.1 Involutions et formes hermitiennes

Soit A une F-algèbre simple centrale. D'après le théorème de Wedderburn, il existe une algèbre à division D centrale sur F et un D-espace vectoriel à droite V tel que A = EndD(V) et D = EndA(V). Soient u: D -? D une involution sur D, et = #177;1.

Une forme -hermitienne h sur V relativement à u est une application biadditive

h: V ×V -? D vérifiant pour tout x,y EV et a,â E D:

1. h(xa, yâ) = u(a)h(x, y)â

2. h(x, y) = u(h(y, x))

Si = 1, on dit que h est hermitienne. Dans le cas contraire, elle est dite anti-hermitienne. Une forme -hermitienne sur V relativement à u est dite régulière ou non dégénérée si : h(x, y) = h(y, x) = 0 ?y E V =x = 0.

L'espace dual V a une structure naturelle de D-espace vectoriel à gauche. On définit aussi une structure de D-espace vectoriel à droite sur V avec l'opération : ç.a = u(a)ç tels que ç E V et a E D. Alors la forme -hermitienne h induit une aplication D-linéaire : bh : V -? V définie par : ^bh(x)(y) = h(x, y) pour tout x, y E V. Si h est régulière, ^bh est une bijection.

Proposition 3.1.1 Soit h une forme -hermitienne régulière sur V relativement à u. La

( ) ( )

correspondance uh : A -? A vérifiant : h f(x), y = h x, uh(f)(y)?x, y E V, ?f E A est une involution sur A appelée involution adjointe de h.

Preuve : La démonstration se fait de façon analogue à celle de du théorème 2.1.6.

Remarque : On a uh(a) = u(a) si a E F, donc uh et u sont de même espèce.

Théorème 3.1.2 1. Si u est de première espèce, alors l'application h '-? uh définit une

correspondance bijective entre les formes -hermitiennes régulières sur V relativement à u à un scalaire non nul près, et les involutions de première espèce sur A = EndD(V).

2. Si u est une F/F0-involution de deuxième espèce sur D, alors h '-? uh définit une correspondance bijective entre les formes hermitiennes régulières sur V relativement à u à un scalaire non nul près de F0 et les F/F0-involutions de deuxième espèce sur A=EndD(V).

Preuve:

D'après la proposition précédente, l'application h '-? uh est bien définie.

Si uh = uh', alors int(g) = Id avec g =

bh-1 ?

^bh'. Il s'ensuit que g E F et h^' = gh.

Si u est une F/F0-involution de deuxième espèce et h, h^' sont hermitiennes, alors l'égalité

h' = gh entraîne que ó(g) = g, c-à-d g E F0.

D'o`u l'injectivité de la correspondance h i--* óh dans les deux cas 1) et 2). Montrons maintenant que h i--* óh est surjective.

1. Supposons que ó est de première espèce, et soient 'y une involution de première espèce sur A et _(ei)1<i<m une base de V. Désignons par h l'application définie sur V x V par:

h(x,y) = _X Xó(ái)âi avec x = Xeiái et y = eiâi

i i i

Il est facile de vérifier que h est une forme hermitienne. Il résulte alors du fait que ó est de première espèce, que óh est de première espèce sur A. Ainsi, il existe u E U(A) telle que 'y = int(u) o óh et óh(u) = #177;u. Posons h^'(x, y) = h(x, u_¹.y). On vérifie aisément que h^' est une forme å-hermitienne sur V. Par ailleurs, ?x, y E V ?f E A

h'( ) ) ( )

= h'(

x, óh'(f).y f(x), y = h f(x), u_¹.y

( )

= h x, óh(f) o u_¹.y

( )

= h x, u_¹ o 'y(f).y

)= h^'( x, 'y(f).y

Par conséquent, óh' = 'y.

2. Supposons que ó est une F/F0-involution de deuxième espèce et soit 'y une F/F0-

involution de deuxième espèce sur A. On fait le même raisonnement que 1), seulement

on aura dans ce cas, óh(u) = u, ce qui entraîne que h^' est hermitienne.

Soient D une algèbre à division centrale sur F et O une involution sur D. Soit V un D-espace vetoriel à droite de dimension finie. On définit un D-espace vetoriel à gauche ^°V par:

°V = {^°v/v E V}; ^°v + ° w = ^°(v +w) ; á.^°v = ^°v.O(á)cents

pour v, w E V et á E D. On peut alors considérer le produit tensoriel V ®D ^°V comme un F-espace vectoriel de dimension finie qui est égale à (dimFV)²dimFD.

Soit h : V x V --* D une forme å-hermitienne non singulière sur V relativement à O. Notons par ?h l'application F-linéaire : ?h : V ®D ^°V --* EndD(V)

v ® ^°w i--* ?h(v ® ^°w) : x i--* v.h(w, x)

Théorème 3.1.3 L'application (Ph est bijective. Si uh est l'involution adjointe à h sur EndD(V), alors pour tout v, w E V : uh((Ph(v ® ^°w)) = å(Ph(w ® ^°v). De plus :

1. _{TrdEndD(V)((Ph(v} ®^°w)) = TrdD(h(w,v)).

2. Vv1 , v2, w1, w2 E V, (Ph(v1 ® ^°w1) o (Ph(v2 ® ^°w2) = (Ph(v1h(w1, v2) ® ^°w2)

Preuve : Voir ([6, Theorem 5.1, page 54])

Conclusion : Si on munit V ®D ^°V du produit : (v1 ® ^°w1) o (v2 ® ^°w2) = v1h(w1, v2) ® ^°w2 et de l'involution u définie pour tout v, w E V par : u(v ® ^°w) = åw ®^°v, alors on a l'identification suivante dite standard :

(Ph : (V ®D ^°V, u) r= (EndD(V), uh) (3.1)

Notamment, si D = F et de plus è = IdF, alors ^°V = V. En conséquence, l'identification standard associée à une forme bilinéaire non singulière symétrique ou anti-symétrique b sur V est (Pb : (V ®F V, u) --> (EndF(V), ub), avec (Pb(v ® w)(x) = vb(w, x) et u(v ® w) = w ® v si b est symétrique et u(v ® w) = --w ® v si b est anti-symétrique.

3.1.2 Idéaux d'une algèbre centrale simple

Soient A une F-algèbre simple centrale et M un A-module. La dimension réduite (ou rang) de M est par définition :

dimFM

rang M =

deg A

D'après le théorème de Wedderburn, il existe une algèbre à division D centrale sur F et un D-espace vectoriel à droite V tel que A = EndD(V) et D = EndA(V). Soit S c V un sous espace de V. La composition d'une application linéaire f E HomD(V, S) avec l'inclusion S c> V nous permet d'identifier HomD(V, S) à un sous espace de A = EndD(V) :

HomD(V, S) = If E EndD(V)/Imf c S}.

Cet espace est clairement un idéal à droite de A de rang :

rangHomD(V, S) = dimDS.degD = dimDS.indA.

Similairement, la composition d'une application linéaire f E HomD(V/S, V) avec l'ap-
plication canonique V --> V/S permet d'identifier HomD(V/S, V) à un sous espace de

A = EndD(V) : HomD(V/S, V) = {f E EndD(V)/Kerf ? S}. Cet espace est un idéal ^àgauche de A du rang : rangHomD(V/S, V) = dimD(V/S).degD = degA - indA.dimDS.

Proposition 3.1.4 L'application S i-* HomD(V, S) déefinit une correspondance bijective entre les sous espaces de dimension m de V et les idéeaux à droite de A = EndD(V) de rang: m.indA. Similairement, l'application S i-* HomD(V/S, V) déefinit une correspondance bijective entre les sous espaces de dimension m de V et les idéeaux à gauche de A = EndD(V) de rang: degA-m.indA.

Preuve : Voir ([6, proposition 1.12, page 7]).

3.1.3 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution

Soit A = EndD(V) une F-algèbre simple centrale avec D une algèbre à division centrale sur F et V un D-espace vectoriel à droite de dimension finie. Soient u : D -* D une involution sur D et h une forme hermitienne régulière sur V relativement à u adjointe d'une involution uh. Soit I un idéal à droite de A. Il existe alors un sous espace S de V tel que I = HomD(V, S).

Lemme 3.1.5 On a : HomD(V, S) ? HomD(V, S^') = A = EndD(V) avec S^'={xEV/h(x,y)=h(y,x)=O,?yES}.

Preuve : Voir [10].

Lemme 3.1.6 HomD(V, S^') = {x E A/uh(f).x = 0 ?f E I}

Preuve : Soit g E HomD(V, S^'), donc ?f E I = HomD(V, S), ?x, y E V

on a: h(f(x), g(y)) = 0 = h(x, uh(f).g(y)) car g(y) E S^' et f(x) E S. Or h est hermitienne, alors h(uh(f).g(y) , x) = 0 ?x E V et du fait que h est régulière, on conclut que:

uh(f).g = O ?f E I. Réciproquement, soit g^' E {x E A/uh(f).x = O ?f E I}, et soit f E I tel que f(V) = S. Ainsi ?x,y E V h(x,uh(f).g^'(y)) = O = h(f(x),g^'(y)) = h(g^'(y),f(x)). Or, f(V)=S, donc ?y E V, g^'(y) E S^', c-à-d, g^' E HomD(V, S^').

Définition 3.1.7 1. Le sous espace HomD(V, S^') est appelée orthogonal de I = HomD(V, S)

relativement àuh, et on éecrit I^' = HomD(V, S^').

2. I est dit totalement isotrope si I C I^I.

3. Supposons I totalement isotrope. I est dit maximal s'il n'est pas strictement inclu dans un idéal totalement isotrope.

Remarque : S est totalement isotrope dans l'espace hermitien (V,h) si et seulement si I est totalement isotrope dans l'algèbre à involution (A, óh).

Autrement dit : S C S^I -< I C I^I -< óh(f).g = 0 Vf,g E I.

Lemme 3.1.8 Soient I et J deux idéaux à droite de (A, óh). On a :

1)ICJ= J^I C I^I 2) (I + J)^I = I^I n JI

3) rangI +rangI^I = degA 4) (I n J)^I = I^I + J^I

5) I C J = rangI < rangJ 6) rang(I + J) = rangI + rangJ -- rang(I n J)

Preuve : Voir [10].

Lemme 3.1.9 Soient I et J deux idéaux à droite de (A, óh) avec J totalement isotrope et rangI < rangJ, alors rang(I n J) < rang(I^I n J).

Preuve :

J étant totalement isotrope donc J C J^I, ainsi I^I +J C I^I + J^I = (I nJ)^I, en conséquence, rang(I^I + J) < rang(I n J)^I. On en déduit, en utilisant 5) que :

0 < rangJ ---- rangI < rang(I^I n J) ---- rang(I n J). Ainsi, le lemme est prouvé.

Proposition 3.1.10 Tous les idéaux à droite de (A, óh) totalement isotropes maximaux ont le même rang.

Preuve : Soient I et J deux idéaux à droite de (A, óh) totalement isotropes maximaux. Supposons que rangI < rangJ. On a : I^InJ % I, car si non on aura : I^I nJ C InJ C I^InJ. En conséquence I^InJ=InJ, ce qui contredit le lemme précédent. Par suite, I^InJ% I, ainsi il existe f_o E I^I n J et f_o E/ I. Posons X = I + (I^I n J). On a :

XI = (I + (I^I n J))^I = I^I n (I^I n J)^I = II n (I^II + J^I) = II n (I + J^I) Par ailleurs,
I C I^I et I^InJCI^I, ainsi X = I + (I^I n J) C I^I. De même on a : I C I + J^I et
I^InJCJCJ^ICI+J^I, donc X= I+ (I^InJ)CI+J^I. Il s'ensuit que X C X^I.

C'est-à-dire X est totalement isotrope et I X ( car f0 E X et f0 E/ I). Ce qui contredit la maximalité de I, donc rangI .5 rangJ et de la même façon on montre que rangJ .5 rangI, par conséquent rangI = rangJ.

Définition 3.1.11 La valeur commune du rang de tous les idéeaux à droite de (A, uh) totalement isotropes maximaux, est appelée indice de Witt de l'algèbre centrale simple à involution (A, uh).

3.2 Discriminant d'une involution

3.2.1 Discriminant d'une involution orthogonale

Proposition 3.2.1 Soit A une F-algèbre centrale simple à involution u symplectique. Le polynôme caractéeristique réeduit de chaque éeléement de (A, u)+ est un carrée dans F[XJ. En particulier, NrdA(s) est un carrée dans F quel que soit s E (A, u)+.

Preuve : Voir ([6, proposition 2.9, page 19]).

Si A est une F-algèbre centrale simple de degré pair à involution u de première espèce, alors a E A^x tel que u (a) = #177;a (voir [6, corollary 2.8, page 18]).

Proposition 3.2.2 Soit A une F-algèbre centrale simple de degrée pair à involution u orthogonale. Alors Va, b E A^x n (A, u)_ on a : NrdA(a) NrdA(b) mod F^x2.

Preuve : Si a, b E A^x n (A, u)_, alors u(a) = --a, ainsi l'involution u^' = int(a) o u est symplectique et ab E (A, u^')+. Or la proposition précédente montre que NrdA(ab) E F^x2, d'ouu le résultat.

Définition 3.2.3 Soit A une F-algèbre centrale simple de degrée pair à involution u orthogonale. Le discriminant de u est par déenition : disc u = NrdA(a) E F^x / F^x2 tel que a E A^x n (A, u)_.

Remarque : On définit aussi le discriminant d'une involution u symplectique comme étant la classe carrée : disc u = NrdA(a) E Fx /F^x2 tel que a E A^x n (A, u)+ (voir [²]).

Exemple : Soit l'algèbre à involution (M_n(F), t) telle que n est pair et t l'involution transposition (orthogonale). Soit la matrice :

?m1 O ?M =?. ? . . ?O mn/2

telle que m1 = · · · = mn/2 = )

(^1-- 0 31 1)

M est un élément inversible de (M_n(F), t)_ (car detM = 1). Ainsi, disc t = NrdM_r,(F)(M) = detM = 1.

Proposition 3.2.4 Soit A une F-algèbre centrale simple de degré pair.

1. Supposons que ó est une involution orthogonale sur A, et soit u E A^x . Si int(u) o ó est orthogonale, alors disc(int(u) o ó) = NrdA(u).disc ó.

2. Supposons que ó est une involution symplectique sur A, et soit u E A^x . Si int(u) o ó est une involution orthogonale sur A alors : disc(int(u) o ó) = NrdA(u).

3. Si A = EndF(V) et ób est l'involution adjointe à une forme bilinéaire non singulière symétrique b sur V, alors disc ób = detb.

4. Supposons que ó est une involution orthogonale sur A. Si (B, 7-) est une F-algèbre centrale simple à involution orthogonale, alors

disc(ó ® 7^-) =

? ? ?

disc ó si degB est impair 1 si degB est pair

5. Supposons que ó est une involution symplectique sur A. Si (B, 7^-) est une F-algèbre centrale simple à involution symplectique, alors disc(ó ® 7^-) = 1.

Preuve :

1. Si int(u) o ó est orthogonale, alors : ó(u) = u et (A, int(u) o ó) _ = u.(A, ó)_. Soit b E (A, int(u) o ó) _, c'est-à-dire b = u.a tel que a E (A, ó)_.

Il s'ensuit que disc(int(u) o ó) = NrdA(b) = NrdA(ua) = NrdA(u).NrdA(a).F^x2.

2. On a ó est symplectique et int(u) o ó est orthogonale, ainsi ó(u) = -u, d'ouu u E (A, int(u) o ó)_, en conséquence disc(int(u) o ó) = NrdA(u).

3. On peut identifier A avec M_n(F) pour un choix d'une base e de V. Soit g E Gl_n(F) la matrice de la forme bilinéaire b dans la base e. On a : ób = int(g_¹) o t, avec t l'involution transposition. Or, t est orthogonale et ób = int(g_¹) o t l'est aussi, car b est symétrique. Ainsi, en appliquant (1), on trouve : disc ób = NrdA(g_¹).disc t = detb.

4. Si a E (A, ó)_ n A^x , alors a ® 1 E (A ® B, ó ® 7^-)_. Le résultat est déduit de l'égalité NrdA0B(a ® 1) = NrdA(a)^deg^B.

5.

7^- est symplectique, donc le degré de B est pair. Soit a E (A, ó)_ n A ^x donc a ® 1 est un élément inversible de (A ® B, ó ® 7^-)_.

Ainsi disc(ó ® 7-) = N rd A0B(a ® 1) = NrdA(a)^deg^B = 1.

Exemples :

1. A = (M_n(F), t), n pair. Si ó = int(u) o t est une involution orthogonale sur A, alors d'après (2), disc ó = NrdA(u).disc t = det(u).

2. Si A = A1 ® A2 avec A1 et A2 sont de degré pair et ó = ó1 ® ó2 une involution orthogonale sur A, c'est-à-dire ó1 et ó2 sont de même type, alors d'après (4) et (5) de la proposition précédente on a disc ó = 1. En particulier, le résultat est vrai si A1 et A2 sont des algèbres de quaternions et ó1 et ó2 leurs conjugaisons (symplectiques).

3.2.2 Application : Algèbre à involution décomposable

D'après le théorème du double centralisateur, si une F-algèbre centrale simple A contient une sous-algèbre A1, centrale simple sur F et non triviale (i.e. distincte de F et de A), alors elle se décompose en un produit tensoriel A = A1 ® A2, où A2 est le centralisateur de A1 dans A . On dit alors que l'algèbre A est décomposable.

Par exemple, Albert a montré que toute algèbre centrale simple sur F de degré 4 et d'exposant 2, est décomposable, c'est-à-dire isomorphe à un produit tensoriel de deux algèbres de quaternions (Voir [6, Theorem16.1, page 233]).

Définition 3.2.5 Soit A une F-algèbre centrale simple munie d'une involution ó. On dit
que l'algèbre à involution (A, ó) est décomposable si A contient une sous-algèbre centrale

simple non triviale A1 stable par u. Quand c'est le cas, le centralisateur A2 de A1 dans A
est stable par u et on a A = A1 ® A2 et u = u1 ® u2, ouu ui désigne la restriction de u à Ai.

L'étude de la décomposabilité d'une algèbre à involution est une question classique (voir par exemple [1]). L'exemple (2) précédent montre qu'avoir un discriminant trivial est une condition nécessaire de décomposition stable. Le théorème suivant montre que la réciproque est également vraie en degré 4.

Théorème 3.2.6 Soit A une F-algèbre centrale simple de degré 4 ayant une involution orthogonale u. Alors A admet une sous algèbre de quaternions stable par u si et seulement si le discriminant de u est trivial.

Preuve : Voir [7, Theorem 3.1].

Remarques:

1. Pour les algèbres de degré 8, cette condition n'est plus suffisante. En effet Amisteur, Rowen et Tignol (voir [1]) ont construit une algèbre à division D de degré 8 à involution qui ne se décompose pas en produit tensoriel d'algèbres de quaternions. Ainsi toute involution symplectique sur D est de discriminant trivial mais ne peut pas se décomposer.

2. Hélène Dherte [2] a montré que même pour les algèbres décomposables de degré 8, la condition »avoir un discriminant trivial» ne suffit pas pour qu'il existe une sous algèbre stable.

3.3 Algèbre de Clifford d'une involution

3.3.1 Algèbre de Clifford d'un espace quadratique

Soient V un espace vectoriel sur F et q une forme quadratique sur V. Posons

T ⁿ(V) =

V®FV®F...®FV(nfois) sin>0 F sin=0

L'algèbre tensoriel de V est l'algèbre T(V) = L n=0 T ⁿ(V) telle que le produit est defini par : (v1 ? v2 ? · · · ? v_r) X (vr+1 ?· · · ? v_s) = v1 ?· · · ? v_r ? vr+1 · · · ? v_s, est prolonge par linearite à T(V). Designons par I(q) l'ideal bilatère de T(V) engendre par les elements x ? x - q(x).1 avec x E V et 1 l'element unite de T(V) , alors l'algèbre de Clifford de (V, q) est :

T (V )

C(V,q) = I(q)

L'algèbre T(V) = T0(V) T1(V) = T(V?V) (V?T(V?V)) est graduee de type Z/2Z. Du fait que les generateurs de I(q) sont dans T0(V), cette graduation induit une graduation de C(V, q) : C(V, q) = C0 (V, q) C1 (V, q) tel que C0 (V, q) est le sous espace de C(V, q) engendre par les produits d'un nombre pair de vecteurs de V, appele l'algèbre de Clifford paire de (V, q). De même C1(V, q) est le sous espace de C(V, q) engendre par les produits d'un nombre impair de vecteurs de V, et appele l'algèbre de Clifford impaire de (V, q). On a (voir Knus [5, chapter 4, corollary 7]) : dimFC(V, q) = 2dimFV et dimFC0(V, q) = dimFC1(V, q) = 2dimF

V-1_.

On a aussi le r^- esultat suivant (voir [6, lemma 8.1, page 87]) : C0(V, q) = T (V ?V )

I0(q) . Avec I0(q) l'ideal de T(V ? V) engendre par les elements x ? x - q(x) et x ? y ? y ? z - q(y)x ? z pour x, y, z E V.

Exemples :

1. Si V = F et q la forme quadratique definie par q(x) = ax², avec a E F et a =6 O, alors C(F, ax²) = F[X]/(X² - a) ~= F Fx avec x² = a.

En particulier, si F = R et a = -1, alors on a : C(R, -x²) = R[X]/(X² + 1) ~= C.

2. Si q = O alors C(V, O) = T (V )
<x?x/x?V> est appelee algèbre exterieure.

Le theorème suivant montre que les structures de C(V, q) et C0 (V, q) sont deteminees complètement en fonction de q.

Théorème 3.3.1 Soit (V, q) un espace quadratique régulier, on a:

1. Si dimFV = n = 2m, alors le centre L de C0(V, q) est une F-algèbre quadratique étale

isomorphe à F[X]/(X² - 8), ouu 8 est tel que disc(q) = (-1)^m8.F^×2. De plus on a : Si est un corps (i.e disc(q) =6 1), alors C0(V, q) est une L- algèbre centrale simple
de degré 2^m-1.

Si A ''= F x F (i.e disc(q) = 1), alors C0(V, q) est un produit direct de deux F -algèbres centrales simples de degrée 2'^-1.

2. Si n = 2m + 1, alors C0(V, q) est une F-algèbre centrale simple de degrée 2'. Preuve : Voir ( [13, Theorem 2.10, page 332]).

C (V, q) et C0(V, q) sont munies d'une involution »canonique» ô qui est l'involution induite par l'identité sur V : ô(x1 ®
·
·
· ® xk) = xk ®
·
·
· ® x1.

Le type de ô / C0(V, q) = ô0 est determiné par la dimension de V comme suit :

Proposition 3.3.2 1. Si dimV 2 (mod 4), alors ô0 est de deuxième espèce.

2. Si dimV 0 (mod 4), alors ô0 est de première espèce. En particulier, ô0 est orthogonale si dimV 0 (mod 8), et symplectique si dimV 4 (mod 8).

3. Si dimV 1,7 (mod 8), alors ô0 est orthogonale.

4. Si dimV 3, 5 (mod 8), alors ô0 est symplectique.

Preuve : Voir ([6, proposition 8.4, page 89]).

3.3.2 Algèbre de Clifford d'une involution orthogonale

Soit (A, ó) une F-algèbre centrale simple à involution orthogonale. Notons par T(A) l'algèbre tensorielle de A (considérée comme F-espace vectoriel), et soient l'application bi-

linéaire :

Sand : A®AxA --> A

(a® b , c) 1--> acb

et I(ó) l'idéal de T(A) engendré par les éléments de la forme

s -- trd(s) avec s E A tq ó(s) = s.

x -- Sand(x , 1) tq xEA®A et S and(x, (A, ó)_) = 0.

Définition 3.3.3 L'algèbre de Clifford de (A, ó) est C^T (A, ó) = ^T_Ii_ó^A? . Cette déefinition est appeléee déefinition rationnelle d'après Tits.

X= Xu (bi)cu (ai) = -- u (bi)u (c)u (ai) = --u(S and(x , c)) = 0

i i

Proposition 3.3.4 Si A = EndF(V) et u l'involution adjointe d'une forme bilinéaire symétrique b, alors C(A, u) = C0(V, b). De plus si K/F est une extension, alors C^T₀(A, u) K ~= C^T₀(A K , u I d).

Preuve : Voir ([2, proposition, page 35]).

Théorème 3.3.5 Soient A une F-algèbre centrale simple de degré n = 2m à involution u orthogonale et Z le centre de C(A, u), alors Z est une F -algèbre quadratique étale isomorphe à F[X]/(X² ---- ä(u)) o`u disc u = (--1)<sup>m</sup>ä(u).F<sup>x2</sup> . D'o`u Z est un corps ou Z F x F.

1. Si Z est un corps (i.e disc(u) =6 1), alors C(A, u) est une Z -algèbre centrale simple de degré 2^m_1.

2. Si Z F x F (i.e disc(u) =6 1), alors C(A, u) est un produit direct de deux F-algèbres centrales simples de degré 2^m_1.

Preuve : Voir ([11, Théorème 1.9, page 34]).

Proposition 3.3.6 Soit (A, u) une F-algèbre centrale simple à involution orthogonale, alors u induit une involution T(u) : T(A) --? T(A) telle que

T(u)(a1
·
·
· ak) = u(ak)
·
·
· u(a1) et laissant stable I(u).

Preuve :

1. Si s E A/u(s) = s, On a :

T(u)(s -- trd(s)) = T(u)(s) -- T(u)(trd(s)) = u(s) -- u (trd(s)) = s -- trd(s)

2. Soit x = E_i ai bi EA A tel que pour tout c E (A, u)_, S and(x , c) = E_i aicbi = 0. On a pour tout c E (A, u)_,

S and (T (u)(x), c) = S and( E u(bi) u(ai),c)= E i i

S and(u(bi) u (ai), c)

En conséquence, Sand(T(u) (x), (A, u)_) = 0. Par ailleurs, T(u)(x - Sand(x, 1)) = T(u)(x) - T(u) (Sand(x, 1))

= T(u)(x) - T(u)( X = T(u)(x) - T(u)( X	Sand(a ® b , 1)) )a .1 .b
X = T (u)(x) -u(b )u(a ) = T(u)(x) - Sand(T(u) (x), 1) Par suite, 1) et 2) montrent bien que I(u) est stable par T(u). Conclusion : L'involution T(u) induit une involution u^* sur C(A, u) = T (A) I(ó) .

Proposition 3.3.7 Soit A une F-algèbre centrale simple de degré n = 2m à involution u orthogonale. Alors :

Si m est pair, on a u^* est une involution de première espèce sur C(A,u). u^* est orthogonale si m 0 mod 4 et symplectique si m 2 mod 4.

u* est une involution de deuxième espèce sur C(A, u) si m est impair.

En particulier, si A = EndF(V) et u est l'involution adjointe d'une forme quadratique q, alors C(A, u) = C0(V, q) et u^* est l'involution canonique de C0(V, q).

Preuve : Voir ([6, proposition 8.12, page 95]).

3.3.3 Application : caractérisation des involutions conjuguées

Dans ce paragraphe on utilise l'algèbre de Clifford comme un outil permettant de caractériser les involutions conjuguées.

Définition 3.3.8 Soit A une F-algèbre. Deux involutions u et u^' sur A sont conjuguées s'il existe a E A^X tel que u^' = Int(a) ou o Int(a)_¹.

Remarque : Deux involutions u et u^' sur A sont conjuguées si et seulement si les algèbres (A, u) et (A, u^') sont F-isomorphes.

Théorème 3.3.9 Soit A une F-algèbre centrale simple de degré= 4. Alors deux involutions orthogonales u et u^' sur A sont conjuguées si et seulement si leurs algèbres de Clifford sont F-isomorphes.

Preuve : Voir ([8, page 262]).

Définition 3.3.10 On dit qu'un corps commutatif F est formellement réel (ou simplement réel) si -1 n'est pas une somme de carrés dans F.

Remarque:

1. Un corps fini n'est pas formellement réel, donc tout corps formellement réel est necéssairement de caractéristique O.

2. Posons LIF ={x E F/ x est une somme de carrés dans F} et LIF^* = LIF - {O}. Alors F est formellement réel est équivalent à LIF =6 F.

Soient W(F) l'anneau de Witt de F et I(F) l'idéal fondamental de Witt (pour les définitions, voir [13, Definition 1.9, page 33]).

Notation : I³F = I(F)³.

Théorème 3.3.11 Soit F un corps non formelement réel et I³F = O. Alors, deux involutions orthogonales u et u^' sur une F-algèbre centrale simple A sont conjuguées si et seulement si leurs algèbres de Clifford sont F-isomorphes.

Preuve : Voir ([8, page 264]).

3.4 Signature d'une involution

3.4.1 La forme trace d'une involution

Lemme 3.4.1 Soit (A, u) une F-algèbre centrale simple à involution u de première espèce. Alors pour tout a E A on a NrdA(u(a)) = NrdA(a) et TrdA(u(a)) = TrdA(a).

Preuve : Soit K un corps neutralisant de A, ainsi il existe un isomorphisme

? : AK = A ?F K, -? M_n(K). On a: ? o uK o ?^-1 est une involution de première espèce

sur M_n(K), donc il existe une matrice inversible g de M_n(K) telle que g^t = #177;g et ? o uK o ?^-1 = u_g = int(g) o t.

PrdA(u(a)) = det(X I_n -- ?(u(a) ? 1)) = det(X I_n -- ? o uK(a ? 1))

= det(X I_n -- u_g o u(a ?1)) = det(X I_n -- g.?(a ? 1)^t.g^-1)

= det(g.(X I_n -- ?(a ? 1)^t).g^-1) = det(X I_n -- ?(a ?1))

= PrdA(a).

Définition 3.4.2 Soit A une F-algèbre centrale simple à involution u de première espèce. L'application T_a : A x A --? F est une forme bilinéaire non singulière sur A,

(x, y) 1--? TrdA(u(x)y)

appelée forme trace de (A, u).

D'après le lemme précédent, on a pour tout (x, y) EAxA:

T_a(x, y) = TrdA(u(x)y) = TrdA(u(u(y)x)) = TrdA(u(y)x) = T_a (y , x) . Ainsi T_a est une forme bilinéaire symétrique.

Proposition 3.4.3 Sous l'isomorphisme u. : A ?F A --? EndF(A)

a ? b 1--? u.(a ? b) : x 1--? axu(b) l'involution u ? u correspond à l'involution adjointe de T_a.

Preuve : Va, b, x, y E A, Ta (u.(a ? b)(x), y) = TrdA(bu(x)u(a)y). Par ailleurs, Ta(x, u. (u(a) ? u (b)) (y)) = Ta(x, u(a)yb) = Trd A(u (x)u (a)yb).

Lemme 3.4.4 Si (A, u) = (EndF(V),ub), alors l'identification standard ?b : V ?F V --? A de (3.1) induit l'isométrie d'espaces bilinéaires ?b : (V ?F V, b ? b) --? (EndF(V), Ta).

Preuve : En utilisant le théorème 3.1.3 on a _?x1,x2,y1,y2 EV :

)Tó (?b(x1 ® x2), ?b(y1 ® y2)) = TrdA ( u(?b(x1 ® x2))?b(y1 ® y2) = TrdA(å?b(x2 ® x1)?b(y1 ® y2)) = TrdF(åb(x1, x2)b( y2, y1)) = å^2b(x1, x2)b(y1, y2) = b(x1, x2)b( y1, y2) = (b® b)(x1 ®x2,y1 ®y2).

3.4.2 La signature d'une involution de première espèce

Définition 3.4.5 Soit F un corps formellement réel. Nous disons qu'une partie P C F est un préordre de F si P vérifie : P + P C P, P.P C P, --1 E/ P et LF C F.

Unpréordre P de Fsera dit un ordre de F si de plus: PU--P = F etPn--P = {0}. Dans ce cas on dit que F est ordonné.

Si F est un corps formellement réel, alors F est ordonné (voir [13, Theorem 7.1, page 54]). Remarques:

1. Si P est un ordre sur F, les éléments de P * sont dits positifs et les éléments de --P * sont dits négatifs.

2. SixEF^*alorsxEPou--xEP,orx²=(--x)²EP,doncF^*2CP.

3. La relation > définie sur F par : x > y si x -- y E P est une relation d'ordre totale.

Soit A une F-algèbre centrale simple à involution u de première espèce.

Supposons que F est ordonné par un ordre P.

Rappelons qu' à toute forme bilinéaire symétrique non singulière b est associé un entier sgnPb appelé signature de b sur P, défini par: sgnPb = m⁺ -- m^- avec m⁺ (resp.m^-) est le nombre des entrées positives (resp.négatives) dans une diagonalisation de b.

Proposition 3.4.6 1. Si (A, u) = (EndF(V), ub), alors

sgnPT, =

(sgnPb)^2 si u est orthogonale 0 si u est symplectique

2. Si A est quelconque, la signature de la forme bilinéeaire T, sur P est un carrée dans Z.

Preuve : Voir ([6, proposition 11.7, page 136]).

Définition 3.4.7 La signature sur P d'une involution u de première espèce sur A est par déenition : sgnPu = .VsgnPT,.

Il découle de la dernière proposition que sgnPu est un entier. Par ailleurs, on sait que sgnPT, < dimA et sgnPT, dimT, mod2. Ainsi, 0 < sgnPu < degA et

sgnPu degA mod 2.

Définition 3.4.8 Un corps formellement réeel F est dit réeel fermée si F n'a pas d'extension algéebrique propre formellement réeelle. Une extension algéebrique K de F est dite clôture réeelle de F si K est réeel fermée.

Théorème 3.4.9 Soit FP la clôture réeelle de F pour un ordre P.

1. Supposons que A n'est pas neutraliséee par FP. Donc sgnPu = 0 si u est orthogonale et sgnPu = degA mod 4 si u est symplectique.

2. Supposons que A est neutraliséee par FP. Alors sgnPu = 0 si u est symplectique. Si u est orthogonale et ub = u 0 IdF_p est l'involution adjointe d'une forme bilinéeaire syméetrique b sur F_P"^;, alors sgnPu = |sgnPb|.

Preuve : Voir ([9, Theorem 1]).

3.4.3 Application : Involutions indécomposables

Lemme 3.4.10 Soit A une F-algèbre centrale simple. Si A = A10 A2 et u = u1 0 u2, alors T, = T,1 0 T,2 .

Preuve : Pour X1, y1 E A1 et X2, y2 E A2, on a:

).Tó(X1 ® X2, y1 ® y2) = T rdA (u1(X1)y1 ® u2(X2)y2 ) = TrdA1 (u1(X1)y1 ) TrdA2 (u2(X2)y2

Proposition 3.4.11 Soient A une algèbre centrale simple sur un corps formellemnet réel F et P un ordre sur F. Si A = A1 ®A2 et u = u1 ®u2, alors sgnP(u) = sgnP(u1) sgnP(u2).

Preuve : Déduction simple du lemme précédent et de la définition 3.4.7.

Corollaire 3.4.12 Soit A une algèbre centrale simple de degré une puissance de deux sur un corps formellemnet réel F, et soit P un ordre sur F. Alors toute involution de première espèce sur A telle que sgnP(u) = 2 est indécomposable.

Preuve : Supposons que u = u1 ® u2. D'après la proposition précédente, on a

2 = sgnP(u1)sgnP(u2). Ainsi sgnP(u1) = 1 ou sgnP(u2) = 1. Or, on sait que la signature d'une involution sur une algèbre centrale simple de degré pair est divisible par 2. Donc notre supposition est impossible, en conséquence u est indécomposable.

La notion de signature peut fournir plus d'informations que le discriminant. En effet, elle peut être non triviale pour des involutions symplectiques et peut être utilisée pour exclure certains types de décompositions.

Supposons pour l'instant que : A = Q1 ®F Q2 ®F Q3 est un produit tensoriel d'algèbres de quaternions sur un corps formellement réel F et que u (resp. ô) est une involution de première espèce sur Q1 (resp. Q2 ®F Q3) telles que sgnP(u) = sgnP(ô) = 2 pour un certain ordre P de F, alors ô est indécomposable par le corollaire 3.4.12.

L'involution p = u ® ô vérifie disc(p) = 1 ( car p est décomposable ) et sgnP(p) = 4, par suite il n'existe pas d'algèbres de quaternions Q^' ₁, Q^'₂ et Q^'₃ invariants par p telles que

A = Q^' ₃, car sinon sgnP (p) = fl3

1 ®F Q' 2 ®F Q' i₌1sgnP(p/Q^' _i) =0 ou 8, absurde.