1.2 Théorème de Wedderburn
La structure des algèbres simples centrales est
entièrement déterminée par le théorème de
Wedderburn :
Théorème 1.2.1 Soit A une F-algèbre .
Les conditions suivantes sont éequivalentes :
1. A est centrale simple.
2. L'application ? : A ®F Aop -p
EndF(A) déefinie par: ?(a ®
bop)(x) = axb est un isomorphisme.
3. Il existe une extension K de F telle que A ®F K
Mn(K).
4. Si est un corps algéebriquement clos contenant F
alors A ®F Mn() pour un entier n.
5. Il existe une algèbre à division D centrale
de dimension finie sur F et un entier r tels que A
Mr(D).
De plus, si l'une de ces conditions est satisfaite, tous
les A-modules à gauche (ou à droite) simples sont isomorphes et
l'algèbre à division D de l'assertion (5) est uniquement
déeterminéee à un isomorphisme près par D =
EndA(M) uou M déesigne un A-module à gauche
simple.
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Preuve : Voir [6, Theorem 1.1, page 3].
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Remarques:
(i) Tout corps vérifiant l'assertion (3) du
théorème précédent est appelé corps
déployant de A (ou neutralisant pour A). Lorsque A
Mn(F), on dit que l'algèbre A est
déployée.
(ii) D'après Kôthe , toute
F-algèbre simple centrale possède un corps
déployant K tel que K/F soit une extension finie
galoisienne (voir[3, §9, page 64]).
(iii) Du fait que la dimension d'une algèbre ne change
pas par extension des scalaires et compte tenu de l'assertion (3) du
théorème précédent, on déduit que la
dimension de toute algèbre simple centrale sur son centre est le
carré d'un entier naturel n : cet entier est appelé
degré de A et noté degA.
(iv) Le degré de l'algèbre à division D
de l'assertion (5) est appelé indice (de Schur) de A et
noté indA.
Théorème 1.2.2 (Théeorème du
Double Centralisateur) Soient A une F-algèbre centrale
simple et B
une sous algèbre de A. Le centralisateur, CA(B) = {b E
B/b.x = x.b ?x E A},
de B dans A est une sous algèbre simple de A et on a :
dimFA = dimFB.dimFCA(B) et
CA(CA(B)) = B. En outre, Si Z(B) =
F, alors A est canoniquement isomorphe
àB?CA(B).
Preuve : Voir ([12, Chapitre 12, §7, Theorem, page
232]). Nous utiliserons souvent le théorème suivant :
Théorème 1.2.3 (Théorème de
Skolem-Noether) Soient A une F-algèbre simple centrale de dimension
finie et B une sous-algèbre simple de A. Alors, pour tout homomorphisme
de F-algèbres f : B -? A, il existe u E A inversible tel que
f(y) = uyu-1 ?y E B.
En particulier, tout automorphisme de F-algèbres de A
est un automorphisme intérieur.
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Preuve : Voir ([12, Chapitre 12, §6, page
230]).
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