Memoire Online - Choix des portefeuilles: une generalisation de l'approche MV

Toutefois le taux de rentabilité est calculé comme étant la différence entre deux cours, l'une initial et l'autre finale rapporté au cours initial. La rentabilité d'un investissement incertain exige des estimations probabilistes des états de nature possibles ; c'est à dire que à chaque état de nature on effectue une probabilité de réalisation d'un futur incertain et par suite il faut choisir la distribution appropriée.

Ce chapitre décrit brièvement la théorie du choix des portefeuilles, On a vu que les préférences d'un investisseur peuvent être représentées par une fonction de rendement espéré et la variance d'un portefeuille et que les hypothèses de la théorie de l'utilité prévue peuvent être violés systématiquement.

À la lumière de ces observations nous arguons du fait que théorie de l'utilité, pendant qu'elle est généralement interprétée et appliquée, n'est pas à modèle descriptif proportionné.

Un investisseur averse au risque préfère un rendement certain à n'importe quelle perspective risquée avec la valeur prévue X. Dans la théorie de l'utilité prévue, l'aversion de risque est équivalente à la concavité de la fonction d'utilité, ce qui explique l'orientation vers les actifs qui possèdent le risque le plus faible.

Or plusieurs études ont donné la preuve que dans les choix risqué, les investisseurs tendent à surestimer la probabilité des événements extrêmes et à sous-estimer la probabilité des événements normaux.

On a cité que le concept d'aversion aux pertes se repose sur deux résultats centrales, la première étant que l'analyse des gains et des pertes est évalué relativement à un point de référence neutre, et la deuxième, porte sur les changements qui rendent une perte perçue de manière deux fois plus déplaisant qu'un gain.

Markowitz condense l'optimisation de portefeuille en deux stations ; dans un premier temps, on trouve la combinaison optimale d'actifs risqués puis, on ajoute, à ce portefeuille optimal risqué, une certaine proportion d'actif sans risque.

À travers une simple programmation quadratique (minimiser la variance pour une rentabilité donnée), on sélectionne les titres à mettre dans notre portefeuille sous deux hypothèses, la première c'est la normalité des rendements du portefeuille et la seconde c'est que la moyenne du rendement et sa volatilité résument toute l'information nécessaire sur la performance du portefeuille, mais aussi de son risque.

L'ensemble des solutions pour différents niveaux de rentabilité constitue une série des portefeuilles dite efficients et chaque investisseur, suivant son degré d'aversion au risque, détermine le portefeuille optimal.

Le choix de portefeuille est basé sur un arbitrage entre le rendement et le risque, à cet effet, plusieurs méthodes de mesure de risque sont apparues depuis le début du XX^éme siècle dans le but d'évaluer le risque simple et également le risque de perte: En effet, c'est Neumann et Morgenstern qu'ont développé la première mesure de risque fondamental qui est la volatilité. Mais, suite à des crashs boursiers catastrophiques, d'autres mesures ont été dévoilées. Toutefois, ces mesures ne donnent qu'une approximation du risque. Pour cela les investisseurs ont recherché des nouvelles stratégies pour assurer leurs portefeuilles. Parmi ces politiques, on mentionne, la théorie de Safety-First de Roy (1952).

Néanmoins, l'utilisation des mesures de risque simples est insuffisante dans certains cas, puisqu'elles ne tiennent pas compte des pertes extrêmes qui peuvent conduire les investisseurs à des pertes catastrophiques, voir même la banqueroute. A ce fait, et après la crise boursière de 1987 qui a un effet négatif sur l'accroissement de la volatilité, les gestionnaires de risque ont élaboré un nouveau indicateur du risque financier qui est à la fois globale et synthétique ; c'est la mesure de risque de perte présenté en terme de la Value at Risk et la Value at Risk conditionnelle.

De ce fait, nous déroulons ce chapitre en trois sections : la première propose la notion de risque ainsi que la définition d'une mesure cohérente. La seconde section est consacrée à la présentation des mesures de risque simples tel que les mesures de Downside et les mesures de dispersion. Dans la troisième section, nous exposons la VaR et la CVaR comme mesure de risque de perte dans la gestion de risque.

En Tunisie tous comme à l'échelle internationale, les institutions financières sont disciplinés par une variété des risques qui sont généralement classés sous quatre genres qui sont :

· Le risque de crédit : c'est incapacité à respecter les engagements de régler les

Se couvrir contre ces risques d'une part, et profiter d'une situation propice d'autre part, sont les intérêts d'un investisseur rationnel et l'accès à ces objectifs part par la mesure de risque.

Artzner et al (1997) ont définie une mesure cohérente de risque en 1997 comme suite : une mesure ? : V ?R de risque s'appelle une mesure cohérente de risque si elle satisfait les

L'addition d'un montant sureá au portefeuille initial réduit le risque globale d'un montantá.

Le risque est proportionnel à la taille de la position X pour tenir compte d'un éventuel risque de liquidation lorsque la taille de X est grand.

Cette propriété reflète le gain de la diversification en matière de réduction de risque par le fait de la corrélation entre les composantes de portefeuille.

Le risque a une fonction croissante avec la perte autrement dit la position caractérisé par une perte plus élevé, elle semble plus risqué.

Markowitz et Tobin (1959) ont montré qu'un investisseur rationnel choisie un tel actif financier à partir deux épreuves ; le rendement espéré et la variance de titre. Cependant, dans certain cas ces deux critères sont insuffisants, à titre d'exemple lorsque la variance et l'espérance rendent l'investisseur indifférent entre deux titre ou plus.

Toutefois, Si on veut apprécier la performance d'un actif financier et tenir compte de risque, l'investisseur doit calculer correctement le risque de chaque titre de portefeuille qui veut construire. À cet instar, il existe deux types des mesures de risque simples ; la mesure de dispersion et la mesure de Downside.

L'objectif de ces mesures est la maximisation de probabilité pour que le rendement de portefeuille soit au-dessus d'un certain niveau acceptable et minimal, souvent ce dernier est connu sous le nom de Benchmark⁽¹⁾ ou le niveau de faillite.

Markowitz a proposé l'utilisation du semi - variance dans le cas où l'investisseur est indifférent entre deux titres ou plus après avoir calculer la variance, c'est-à-dire, la variance est parfois insuffisante pour prendre la décision adéquate.

À cet instar, la semi- variance, noté SV, est défini comme l'espérance des carrés des écarts que les valeurs d'un taux de rentabilité d'une action inférieure à son espérance présentent par rapport à celle-ci :

SV(R ) = p

i i

( ) ²

R i E R i

- ( )

avec R_i

i 1

< E(R )

(28)

Bien que cette mesure soit un remède dans le cas où la variance est insuffisante pour choisir le portefeuille optimal, elle néglige les rendements supérieurs à la moyenne E (Ri).

(1) Florin Aftalion « la nouvelle finance et la gestion des portefeuilles»: « il existe des fonds qui possèdent un Benchmark, c'est-à-dire un indice ou un portefeuille dont la gestionnaire doit reproduire plus ou moins exactement la performance en essayant de l'améliorer.... Les performances des fonds possèdent un Benchmark doivent donc se mesure par rapport à celles de leurs Benchmark et non dans l'absolu. «pp 165.

C'est une généralisation de Semi - Variance, elle consiste à calculer le pourcentage des taux de rentabilité négatif pour un horizon de temps T spécifique de chaque titre choisissant par l'actionnaire. Elle est définie comme suite :

L'inconvénient de cette mesure est qu'elle néglige totalement les taux de rentabilité positif, de plus elle ne tient pas compte des interrelations entre les taux de rendement des titres considérés.

Afin de minimiser le risque, un investisseur, fixe souvent un seuil minimal de taux de rentabilité qu'il ne faut pas dépasser lors de sélection des actifs financiers. Pour cette raison, chaque fois il doit calculer la probabilité d'avoir un taux inférieur à un niveau fixé. Cet probabilité est appelé Downside Risk, noté DN et donné par :

Où _p(Rs,i) est la probabilité d'avoir un taux de rendement inférieur à une seuil donnée. L'inconvénient de cette mesure est qu'elle néglige totalement les taux de rentabilité supérieur au seuil fixé par l'investisseur.

Les mesures de dispersion sont des mesures d'incertitude. Néanmoins, cette incertitude ne mesure pas nécessairement le risque contrairement aux mesures de Downsides. En effet, elles utilisent des déviations positives et négatives au même temps et imposent que ces déviations soient identiquement distribuées.

Le taux de rentabilité moyen est insuffisant pour évaluer et mesurer la performance d'un actif financier pour un horizon de temps donné. Il est plus favorable de tenir compte de la distribution de taux de rentabilité autours de son moyen. Généralement, on utilise la variance

des taux de rentabilité pour mesurer l'amplitude des variations de ce dernier autour de sa moyenne.

À cet effet, on définie la variance de taux de rentabilité d'un actif financier i et on la note

parói , la moyenne arithmétique des carrés de la différence entre le taux de rentabilité et le taux de rentabilité moyen pour une période T;

L'inconvénient de cette mesure est qu'elle s'infliance par les taux de rendement élevés et faibles.

La volatilité d'un actif financier, noté paró_i, est définie comme étant la dispersion de la valeur du titre autour de sa moyenne.

Afin d'avoir une bonne approximation de la volatilité, il est nécessaire de choisir un nombre d'observation très important et d'utiliser des observations très récent (par exemple données intraday...).

Bien qu'elle soit une mesure populaire du risque, la volatilité ne donne pas importance à la valeur négative de rendement, puisqu'elle traite les cours positifs et négatifs des actions de la même façon. Un autre problème d'estimation de la volatilité est qu'elle est instable au cours de temps : plus forte au moment de crise et faible lorsque le marché boursier est immobile.

Il consiste à calculer la différence entre le taux de rentabilité le plus élevé et le taux de rentabilité minimal de chaque titre i du portefeuille sur un horizon de temps T. L'actif le plus risqué est celle dont son étendu est plus élevé :

Cependant cette mesure néglige les taux de rentabilité intermédiaire, autrement, elle ne prend pas en considération les taux supérieurs au taux de rentabilité minimal et inférieurs au taux de rentabilité maximal.

L'écart absolu moyen est la moyenne arithmétique absolue des écarts qui existe entre le taux de rentabilité et le taux de rentabilité moyenne, on le note par EAM et on le calcule comme suite :

		1		T
EAM						RitR - i ,	(34)
	=	T			1
			t	=

Si les taux de rentabilité des actions, dans le portefeuille, sont exprimés en pourcentage, autrement dit en fonction de proportion de chaque titre, dans ce cas on utilise une autre formule pour calculer l'écart absolu moyen :

L'inconvénient primordial de cette mesure est qu'elle ne tient pas compte des taux de rentabilités négatifs, de plus elle n'exprime pas le lien qui existe entre les fluctuations respectives de taux de rentabilité entre les différents titres.

A la suite de crise octobre 1987, les Risks Managers ont recherché des nouvelles stratégies d'assurance des portefeuilles.

La première procédure d'assurance, apparue au début de vingtième siècle, est appelée assurance Hedgers de portefeuille⁽¹⁾. A priori, cette méthode a été rejetée par la plupart des investisseurs parce qu'elle a crée une déviation importante au prix des actions.

Plusieurs financiers ont tenté de construire des modèles permettant la protection des portefeuilles contre les variations brusques des cours d'actifs financiers, parmi ces financiers, on trouve Roy (1952) qui a évoqué l'approche « Safety-First » dans lequel un investisseur garantit qu'un certain montant du principal avant le choix de portefeuille.

(1) L'assurance Hedgers de portefeuille est une méthode d'assurance basé sur les prix historiques des titres et le graphique d'évaluation des cours, elle consiste à vendre les titres suite à une baisse de cours ou à acheter les actifs en réaction à une hausse

Deux approches importantes de choix de portefeuille ont été éditées en 1952. La première, est celle de Markowitz qui est la théorie classique de choix de portefeuille et la seconde, de Roy « Safety-First ». Cette dernière est la théorie fondamentale pour le développement des mesures de risque de chute du cours.

En effet, Roy a montré qu'un investisseur au lieu de constituer son portefeuille en terme de fonctions d'utilité comme l'a proposé Markowitz, il doit tout d'abord, s'assurer qu'un certain montant du principal est préservé. Ensuite, il choisit le rendement acceptable et minimal réalisant cette garantie obligatoire.

De même, Roy a précisé qu'un investisseur préfère l'investissement intéressant avec la plus petite probabilité d'investir au portefeuille plus rentable mais plus risqué aussi.

Généralement, cet investisseur choisit ce portefeuille en résolvant le système d'optimisation suivant ;

Nonobstant, l'investisseur ne connaît pas, souvent, la véritable fonction de probabilité. Pour cela, on fait recours à l'inégalité des Tchebycheff (1) :

Avec u p et ó p sont respectivement l'espérance et l'écart type de portefeuille.

(1) Pour une série de variable aléatoire x où son espérance égale à u et sa variance égale à 2

p R - Connaissant la fonction de probabilité, l'investisseur résout l'approximation comme suite :

Si l'investisseur fixe un niveau de rendement R0 identique à l'actif sans risque, ce problème d'optimisation est équivalent à maximiser un portefeuille de ratio de Sharpe.

Divers facteurs contribuent à l'apparition d'une nouvelle mesure globale de risque, plus efficace, plus pertinent et surtout une mesure dont tout investisseur a besoin d'en mettre confiance. Parmi ces facteurs, on cite :

Ainsi qu'un portefeuille diversifié reste dépoitraillé en matière d'analyse du son risque ou encore de le calibrer, surtout lorsqu'il renferme certains produits spécifiques tels que les options, les devises, les obligations.

La succession de ces différentes crises a renforcé les institutions financières à réviser leur système de l'analyse du risque d'une part, et d'autre part de moderniser leurs tactiques de faire face aux risques dans le but d'avoir qu'une mesure de risque ne soit ni surestimé le risque ni le sous-estimé.

Or puisque les mesures de risque simples sont insuffisantes à estimer les risques des événements extrêmes, des récentes mesures de perte sont mises en place tels que La Value-atRisk (VaR) et l'Expected Shortfall (ES).

La Value at Risk est une méthode d'évaluation des risques fines, elle permet de quantifier les différentes nature du risques en un seul chiffre appelé montant à risque.

D'une manière éclatante, la VaR peut être définie comme étend la perte potentielle maximale d'un investisseur sur la valeur d'un ou d'actifs financiers dont le rendement suit une loi spécifiée en tenant compte d'un horizon de détention et d'un intervalle de confiance bien spécifié.

A partir du chiffre monétaire donné par la VaR, on peut certifier sur le niveau du risque en fonction de la valeur du portefeuille et de l'aversion au risque.

Selon Esch, Kieffer « la VaR d'un portefeuille ou d'un actif pour une durée T et un niveau de probabilité á, se définit comme le montant de perte attendu de façon que ce montant, pendant la période [0, T], ne devrait pas être plus important que la VaR et ceci avec une probabilité (1- á) ».

On rappel que la VaR se focalise sur des observations centrales, mais également elle reflète toute l'information contenue dans la queue gauche adjoint aux pertes de la distribution des taux de rendements d'un portefeuille d'actifs financiers. Mathématiquement on définie la Value at Risk comme suit :

avec F (.) désigne la fonction de répartition associé a la distribution des gains et des pertes. VaR_á (x) = inf {r \ P(x = r) =á } (40)

Esch, Kieffer, , "Value at Risk - Vers un Risk Management moderne", De Boeck université 1997.

Si on admet une VaR d'un portefeuille de 10 millions sur un niveau de confiance de 95%. Ceci implique sous les conditions normales du marché on a seulement 5% de chance pour que la perte soit supérieure à 10 millions.

Cependant la VaR était qualifié comme un standard en mesure du risque, pourtant il faut l'interpréter comme étend un instrument de contrôle et de gestion ainsi qu'un signe d'une bonne maîtrise des risques. En effet, la VaR est un outil adhérent dans l'identification des sources du risque dans un portefeuille globale.

Comme pour toute mesure de risque, avant d'accéder aux méthodes de calcul, il faut bien définir quelques éléments fondamentaux dans l'interprétation d'un chiffre VaR.

Horizon: C'est la période de détention du l'actif ou du portefeuille, il doit être le plus proche possible de la réalité.

La littérature a montré un horizon bref est préférable qu'un horizon long pour deux raisons, la première c'est que la combinaison dans un portefeuille reste stable durant cette période, et la second est que la rareté des donnés disponible ne pose aucune difficulté sur la détermination de la VaR donc pour un long horizon les pertes peuvent être graves.

Seuil de confiance: Il indique le degré de couverture contre le risque, ainsi qu'il reflète le degré d'aversion des investisseurs face au risque de perte. C'est la probabilité pour que les pertes éventuelles d'un portefeuille ne dépassent pas la VaR donc elle doive être située entre 0 et 1 pour être significative.

Distribution des profits et des pertes du portefeuille visés en fin du période: Valeur en fin du période du portefeuille déduite à partir des cours historiques des titres dans un portefeuille, c'est donc une identification du niveau d'exposition du portefeuille en actif risqué.

Bien qu'on arrive à concevoir les caractéristiques du VaR, pourtant que son calcul nécessite certaines simplifications.

Afin d'estimer la VaR, il existe une liste de modèles. Chaque modèle a ses propres prétentions. Mais la prétention la plus commune qui rassemble ces modèles c'est l'exploitation des données historiques du marché pour estimer les changements futurs.

Il est intéressant de signaler que la mise en place d'une telle méthode dépend essentiellement des titres étudiés, pourtant dans un univers gaussien les différentes méthodes convergent vers des résultats très proches.

« Le future est le prolongement du passé » C'est sur cette hypothèse sous-jacente qu'on part l'identification de cette méthode. En effet, elle est fondée sur un Record des distributions passées des rendements des actifs, et a partir des quels on reproduit une nouvelle distribution sous l'hypothèse que ces rendements soient iid.

Le calcule de la VaR par une telle méthode se déroule comme suit : Il faut tout d'abord déterminer la valeur actuelle du portefeuille. Puis, identifier les N variations potentielles toute en classant ces valeurs historiques par ordre croissant. Finalement, en déterminant le quantile correspond au niveau de couverture, on déduit la VaR.

Bien que cette méthode soit la plus simple puisqu'elle n'impose aucune hypothèse sur la nature de distribution des rendements ou des facteurs de risque donc elle puisse être utilisée pour des portefeuilles contenant des options.

La rareté des donnés et des nombreux calculs peuvent apporter des problèmes quant à l'application de cette méthode, donc on déduit que la longueur de la série affect la qualité des résultats. Ainsi la méthode historique suppose que le marché est stationnaire

Afin d'estimer la matrice du _òVariance-Covariance des rendements du portefeuille pour le calcul de la VaR, cette méthode convoque deux hypothèses, la première est que les taux de rentabilité suivent une distribution gaussienne et la seconde est qu'il existe une relation linéaire entre la valeur du portefeuille et les facteurs de risque,

Pourtant, le recours à cette approche impose certes une faible probabilité pour les événements extrêmes. L'application de cette méthode se déploie en trois étapes : dans un premier temps, il faut estimer la matrice du Variance-Covariance. Ensuite, on détermine la variance de perte du portefeuille. Enfin, on calcule la VaR en multipliant la volatilité du ce portefeuille par le nombre d'Êcart-type associé à un niveau de confiance donné.

C'est une méthode rapides et simple car elle suppose la linéarité des facteurs, ce qui écarte les difficultés pratiques et rend l'agrégation possible mais aussi assure une perfection quant à la précision de la VaR.

Cependant, cette méthode suppose que la matrice du Variance-Covariance est stable c'est à dire la composition de portefeuille et les corrélations entre ces titres sont invariables durant la période considérée, or dans la pratique la volatilité influent positivement les corrélations entre les actifs financiers.

C'est une méthode sophistiquée qui consiste à effectuer une séquence de simulation dite aussi réévaluation sur les comportements futurs possibles des facteurs de risque. La méthode de Monte Carlo combine deux types d'estimation, l'une des paramètres comme pour la méthode paramétrique et l'autre d'estimer le quantile comme pour la méthode historique.

Tant que cette procédée peut être appliqué quelque soit la distribution des facteurs de risque sur le plan théorique, alors que sur le plan pragmatique cette approche appelle l'hypothèse que les prix de marché sont distribués selon une loi gaussienne.

Cette méthode se déroule comme suit : tout d'abord, on effectue une simulation des trajectoires d'estimation des sources de risque. Á partir de ces facteurs simulés, on détermine la valeur du portefeuille. On calcule, finalement, la VaR correspondante.

Cette méthode accepte tous distribution des rendements ce qui offre une flexibilité attirante dans la mesure ou elle autorise la modification des modèles. De plus, cette méthode tient en considération des portefeuilles contenant des produits dérivés.

Nonobstant, puisque la méthode de Monte-Carlo est basée sur des processus stochastiques, son application est assez complexe et également coûteux en matière de temps de calcul. Autant cette approche suppose une évolution nulle du risque dans le temps.

Malheureusement, la VaR n'est pas la panacée des méthodologies de mesure de risque. Cependant, le choix du Valeur-à-Risque comme mesure de risque a été critiqué par plusieurs théoriciens tels que Szergö (1999), Danielsson et al. (2001) pour plusieurs raisons : dans un premier temps la VaR n'est pas une mesure cohérente au sens d'Artzner et al. (1997). Cette insuffisance mène à plusieurs problèmes théoriques et pratiques. En effet, pour des distributions non normales, la VaR n'est pas sous-additive (Embrechts et al. 2002), et peut

mener aux politiques inefficaces de diversification de risque et aux problèmes graves dans l'exécution pratique des algorithmes d'optimisation de portefeuille (M. Chabaane et al 2002), autrement dit si on introduit une action additionnelle dans la composition du portefeuille, le risque augmente donc la diversification ne permet pas de réduire le risque total, ce qui ne reflète pas la réalité.

Tandis que son calcul pour un portefeuille donné indique que son rendement sera au- dessous de la VaR avec la probabilité (1- á) × 100%, elle ne fournit aucune information sur

l'ampleur de la queue de la distribution ce qui peut être tout à fait long; dans ces cas, le rendement du portefeuille peut prendre sensiblement des valeurs inférieures que la VaR et avoir comme conséquences des pertes graves.

De plus, la base des donnés historiques disponibles sur le marché, le nombre des facteurs de risque pris en considération lors de calcul ainsi que la taille de portefeuille posent des contraintes sur l'application et la précision de la VaR .

Pour remédier ces défauts, On a proposé l'alternative en termes de VaR Conditionnelle ou Expected Shortfall (Artzner et al 1997, Acerbi et Tasche 2002, par exemple), qui apprécie la propriété de la sous-additivité.

Néanmoins que la VaR représente une mesure plus générale et utilisée par les plus parts des investisseurs, des banquiers et des teneurs de marché financier, elle a été critiqué en tant qu'étant théoriquement délicat, puisqu'elle ne vérifie pas la sous-additivité de théorie d'Artezner et al, et numériquement sophistiqué, à cause de la non convexité. De ce fait une autre mesure de risque de perte a été introduite à la fin de vingtième siècle qui est l'Expected Shortfall.

Dans la littérature, cette mesure de risque notée également sous le nom du Conditional Value-at-Risk et Expected tail loss (ETL).

En effet, l'Expected Shortfall est une mesure de risque plus pertinente et aussi puissante que la Value-at-Risk puisqu'elle tient compte des catastrophes des événements de grands dommages encourus. Autrement dit, la CVaR, de plus qu'elle est une mesure de perte comme la VaR, elle est aussi une mesure des événements rare.

A cet instar, on peut définir la CVaR comme le quantile correspondant à la perte potentielle qui peut subir un titre ou un portefeuille suite à des mouvements défavorables des prix de marché avec un seuil de confiance á donné sachant que cette perte dépasse au moins

la VaR. Donc elle permet de répondre à la question suivante : combien un investisseur peut il perdre sur un portefeuille sélectionné avec une probabilité á et pour un horizon de temps donnée sachant que cette perte dépasse au moins la VaR ?

Par conséquence, la CVaR est une mesure relative de risque, elle est définie comme étant l'espérance conditionnelle des pertes dépassant la VaR pour un niveau de confiance donné. Pour un portefeuille, elle est équivalente à l'espérance conditionnelle des rendements des titres au-dessous du rendement de la VaR.

Comme présenté par Rockafellar et Uryasev (2000), pour des distributions continues, CVaR_á d'un titre p et de taux de rendement égale à Rp est donnée par :

En outre la VaR est le minimum de l'équation (16) pour cela elle peut être une solution optimale de cette fonction et dans ce cas la CVaR est égale à la VaR.

Une autre définition peut être élaborée à l'Expected Shortfall est l'addition d'une Mean Exess (moyenne de perte) à la VaR. En effet, la figure (9) montre que la CVaR _á d'un

portefeuille est plus élevée que la VaR _á. De ce fait, la VaR-conditionnelle est donnée par l'équation suivante :

(1) On extrait cette figure de l'article « VaR, CVaR and mean-downside Risk portfolio selection » des auteurs Paolo Vanini et Luigi Vignola page 5.

Rockafellar et Uryasev (2002) ont montré que la CVaR est une mesure cohérente de risque au sens d'Artezner et al et ils ont exposé la justification dans leur article «Conditional value-at-risk for general loss distributions«. De plus ils ont dévoilé que cette mesure peut être estimée même dans le cas où l'estimation de la VaR est échouée.

D'autre part, pour des répartitions discrètes, la formule (42) conduit à une fonction non convexe en position de portefeuille, et aussi à une mesure non sous-additive de risque. Une définition de CVaR pour des distributions générales (répartitions discrètes y comprîmes) a été présenté par Rockafellar et Uryasev:

Avec P_s : la probabilité positive associée au titre s tel que p_s = 1 et Z = VaR á

Pflug (2000) a montré que l'Expected Shortfall est plus significatif que la Value-at-Risk, particulièrement, quand les données du marché suivent une distribution discrète et/ou non normale.

En discutant quelques propriétés mathématiques de la CVaR, elle est toujours plus petite ou bien égale à la VaR. mais comme nous avons mentionné ci-dessus, CVaR est une mesure cohérente tandis que le VaR ne l'est pas. On peut également montrer que ES est une fonction concave⁽¹⁾ et a, en conséquence, un minimum unique.

Pendant longtemps, la volatilité était la mesure des risques financiers la plus dominante, grâce à sa simplicité. D'autre part, la VaR est imposée par les régulateurs comme mesure plus pertinente, alors que la CVaR est recommandé par plusieurs statisticiens comme mesure alternative au VaR. A cet instar, le tableau (1) résume les caractéristiques particulières de chaque mesure.

(1) La démonstration de convexité de CVaR _á a été élaborer par Paolo Vanini et Luigi Vignola dans l'article «VaR, CVaR and mean-downside Risk portfolio selection«

Volatilité
La VaR
La CVaR
-Représentation commode et simple des risques (un seul nombre) - Mesure standard de risque et utilisé par les plus part des investisseurs. - Cohérente au sens d'Artzner et al. - S'infliance par les rendements élevés et faibles. - Inapplicable aux distributions non linéaires, tels que des options, avec des distributions non normales. -On peut appliquer une procédure de validation de la volatilité telle que test d'homoscédasticité et d'autocorrélation.
-Représentation commode et simple des risques de perte (un seul nombre) - Mesure standard de risque de perte et utilisé par les plus part des investisseurs - Non cohérente au sens d'Artzner et al car elle ne vérifie pas l'axiome de sousadditivité. -Une mesure de risque de chute du cours. - Applicable aux distributions non linéaires. -On peut appliquer une procédure de validation de la VaR tel que Backtesting -Ne mesure pas des pertes dépassant la VaR.
- Représentation commode et simple des risques de perte (un seul nombre) -Mesure recommandé pour des pertes excédant la VaR. - Cohérente au sens d'Artzner et al. -La meuilleure mesure de risque de chute du cours -Applicable aux distributions non linéaires. -Pas facilement d'appliquer les méthodes Backtesting pour tester la validation de CVaR -Plus conservatrice que la VaR: elle mesure les risques au delà de la VaR.

Choix des portefeuilles: une generalisation de l'approche MV

Conclusion