Choix des portefeuilles: une generalisation de l'approche MV

III.4.1 Comparaison des approches Moyenne-Variance et Moyenne-VaR

Pour faire cette comparaison, on illustre dans le tableau (10) les caractéristiques des différents portefeuilles optimaux sélectionnés par les deux approches :

Tableau 10 : Comparaison des approches Moyenne-Variance et Moyenne-VaR

Approche	ó^2	R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
M-Variance	ó^2(10)^-4		0. 987	1.026	1.0607	1.3001	2.2677	2.335
M-VaR(99%)	ó^2(10)^-4		1.4478	1.4838	1.563	1.7390	1.858	1.8743

En comparant, les deux approches antérieures, on constate que les portefeuilles sélectionnés par l'approche Moyenne-Variance pour les espérances qui s'étalent de 0.02% à 0.08% sont les plus optimaux en terme de risque ; par exemple, pour un même taux de rendement espéré 0.08%, on enregistre une variance de 1,3001.1 0^-4 pour l'approche classique, mais pour l'approche Moyenne-VaR, la variance est de 1,739.10^-4.

Cependant, lorsque le taux de rendement espéré dépasse la valeur 0.08%, les portefeuilles choisis par l'approche Moyenne-VaR, sont plus efficients en terme de risque. En effet, si l'espérance est équivalente à 0,1%, on enregistre une variance de 2,335.10^-4 pour l'approche classique, mais pour l'approche Moyenne-VaR, la variance est plus faible de valeur 1,8743.10^-4.

Donc on peut schématiser dans un plan (variance, espérance) les frontières efficientes de deux approches, comme suite :

Figure 16: Frontières efficientes

On constate que la frontière de l'approche Moyenne-VaR est sous forme d'un arc, Cette frontière contient les portefeuilles optimaux pour chaque niveau d'espérance choisie et un minimum VaR. Par ailleurs, pour un niveau de taux de rendement inférieur à 0.0825% on observe que la courbe de l'approche Moyenne-VaR (99%) est situé au dessous de la frontière efficiente de l'approche classique. Par contre, lorsque l'espérance dépasse 0.0825%, la courbe de l'approche classique devient au dessous de la courbe qui est en rouge. Les deux courbes ont un point d'intersection de valeur 0.0825%. Mais comment choisir la meilleure approche ?

Selon sa préférence au risque et le niveau d'espérance désiré, l'investisseur choisit les portefeuilles adéquats en utilisant l'un de deux approches antérieures. Le tableau suivant classe ces deux approches en fonction de niveau de taux de rendement espéré :

Tableau 11 : L'approche adaptée selon le niveau d'espérance désiré

Niveau d'espérance désiré par l'investisseur	R < 0.0825%	R =0.0825%	R> 0.0825%
L'approche adaptée	l'approche Moyenne-Variance	Indifférent entre les deux approches	l'approche Moyenne-VaR

Cependant, quelle est l'approche adaptée lorsque le niveau de confiance diminue à 90% ? Pour répondre à cette question, nous calculons, dans le tableau 12, la variance des portefeuilles optimaux pour deux niveaux de confiances á=99% ainsi á=90%. En effet, les

portefeuilles optimaux sont construits en résolvant le problème de l'optimisation MoyenneVaR ci-dessus, pour différents niveaux de confiance. Ainsi, les résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau ci-dessous :

Tableau 12 : Variances des portefeuilles en fonction du niveau de confiance

á	ó2	R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
99%	ó^2(10)^-4		1.4478	1.4838	1.563	1.7390	1.858	1.8743
90%	ó^2(10)^-4		1.9159	1.9686	2.014	2.0743	2.092	2.1695

En comparant, les deux approches Moyenne-VaR(99%) et Moyenne-VaR(90%), on constate que les portefeuilles sélectionnés par la première approche sont plus optimaux en terme de risque ; par exemple, pour un même taux de rendement espéré 0.1%, on enregistre une variance1.8743.10^-4 pour l'approche dont á = 99%. Mais, pour la deuxième approche, la variance est de 2.1695.10^-4.

On peut conclure donc, que plus le niveau de confiance á est élevé, plus qu'on a une chance d'avoir un portefeuille plus efficace dont le risque est minimum.

En d'autres termes, on peut certifier ce résultat à partir la figure (17) où on trace les deux frontières efficientes pour á=99% ainsi á=90%.

Figure 17 : Frontières efficientes selon á

Sur cette figure, nous distinguons deux frontières d'efficiences différentes correspondant à á = 99% et á = 90%. Ainsi, On constate que la courbe de l'approche Moyenne-VaR (99%) se situe au dessus de la frontière efficiente de l'approche Moyenne-VaR (90%).

III.5 L'approche Moyenne-Variance-VaR (99%) :

Afin de limiter les pertes potentielles, nous explorons maintenant une moderne approche édité par Rockafellar et Uryasev (2002) connue sous le nom approche Moyenne-VarianceVaR. Cette approche est plus générale que les deux approches vues précédemment puisqu'elle combine deux mesures de risque au même temps : la Variance et la VaR.

Il intervient à notre esprit une question fondamentale : comment un investisseur sélectionne le portefeuille le plus optimal ?

Dans ce sens, un portefeuille efficient, d'après Rockafellar et Uryasev, est le portefeuille qui minimise la variance et se borne le VaR à une valeur absolue maximale égale à V. D'où, on peut définir ce modèle sous la forme suivante :

Min X' _i Ó X (51)

i

x

X' . i				ô	=	1
)	=	R

S/c i i

X' . E (R VaR á V

=

Afin de résoudre ce système et trouver les justes proportions de chaque action dans le portefeuille optimal, et pourá =99%, on fixe deux valeurs pour V et on compare chaque fois les résultats trouvés avec les résultats vus auparavant.

À cet instar, on choisit pou la première valeur V = 0.756%. Ainsi, dans le tableau 13, nous comptons les poids des actions dans les portefeuilles efficaces et ces variances :

Tableau 13 : Les proportions des actions dans les portefeuilles optimaux á =99%
et V= 0.756%.

Xi R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
X1	0.0065	0.0623	0.0697	0.0244	0.0786	0.1079
X2	0.0470	0.0583	0.0703	0.0218	0.0565	0.0512
X3	0.0044	0.0084	0.0039	0	0	0
X4	0.0891	0.0163	0.0348	0.0009	0.0615	0
X5	0.0183	0.0269	0	0.0281	0.0698	0.0067
X6	0.0371	0.0284	0.0810	0.0794	0.0173	0.1091
X7	0.0755	0	0.0023	0.0655	0.0419	0.0578
X8	0.0232	0.0051	0.0384	0	0.0223	0.0353
X9	0.0887	0.0784	0.0021	0.0654	0.0551	0.0018
X10	0.1018	0.0333	0.0298	0.0777	0.0406	0.0440
X11	0.0108	0.0282	0.0669	0.0555	0.0663	0.0748
X12	0.0341	0.0913	0.0812	0.0913	0.0260	0.0426
X13	0	0.0088	0.0204	0.0504	0.0454	0.0080
X14	0	0.0645	0.0674	0.0567	0.0150	0.0344
X15	0.0707	0.0605	0.0436	0.0301	0.0402	0.1052
X16	0.0198	0.0804	0.0496	0.0787	0.0382	0.0737
X17	0.0784	0.0309	0.0443	0.0207	0.0480	0
X18	0.0111	0.0830	0.0532	0	0.0126	0.0397
X19	0.1447	0.1572	0.1556	0.1474	0.1662	0.1612
X20	0.1388	0.0778	0.0854	0.1061	0.0986	0.0467
ó^2(10)^-4	1.0056	1.0397	1.0566	1.0904	1.0931	1.1031

Comme pour l'approche classique, on remarque que plus le niveau du rendement espéré est élevé, plus le risque est grand. Mais l'évolution de l'espérance et de variance n'est pas de même proportion, puisque cette dernière évalue avec proportion très faible. En outre, pour une espérance de 0.02%, on a un portefeuille optimal où la variance est minimum de valeur 1.0056.10^-4. Cependant, lorsque on augmente le taux de rendement espéré à 0.1%, la variance de portefeuille efficace augmente aussi et prendre une valeur de 1.1031.1 0^-4.

De plus, on constate que, pour différents niveaux des taux de rendement espérés, le poids de l'action Alcatel-Lucent (X3) dans les plus part des portefeuilles, est presque nul. Cela est expliqué, de faite que ce titre est plus risqué (on a déjà montré ça dans le paragraphe « estimation de VaR »).

Figure 18 : Frontière efficiente de l'approche Moyenne-Variance-VaR pour V= 0.756%

La figure 18 illustre la frontière efficiente de l'approche Moyenne-Variance-VaR (99%) quand V = 0.756%. On constate que cette frontière n'est plus sous forme elliptique, puisque la variance évalue avec une proportion très faible. En effet, Cette frontière contient

les portefeuilles optimaux pour chaque niveau d'espérance choisie et un minimum de variance dont la valeur de VaR est limitée à 0.756%.

III.5.1 Comparaison des approches Moyenne-Variance, Moyenne-VaR(99%) et Moyenne-Variance-VaR(99%)

Pour faire cette comparaison, on illustre dans le Tableau 14 les caractéristiques des différents portefeuilles optimaux sélectionnés par les trois approches :

Tableau 14 : Comparaison entre les trois approches

Approche	ó2	R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
M-Variance	ó^2(10)^-4		0. 987	1.026	1.0607	1.3001	2.2677	2.335
M-VaR(99%)	ó^2(10)^-4		1.4478	1.4838	1.563	1.7390	1.858	1.8743
M-V-V (99%)	ó^2(10)^-4		1.0056	1.0397	1.0566	1.0904	1.0931	1.1031

Il est donc visible, d'après ce tableau, que l'approche de Markowitz reste encore plus performante que les deux autres approches, pour les espérances qui s'étalent de 0.02% à

0.04% puisqu'elle permet de sélectionner les portefeuilles les moins risqués. En effet, on constate que pour ces deux taux de rendement espérés, les portefeuilles trouvés par l'approche classique sont caractérisés par la variance la plus faible.

Mais, lorsque l'espérance dépasse 0.05%, l'approche Moyenne-Variance-VaR (99%) dévient l'approche la plus adaptée par l'investisseur. En outre, elle permet d'avoir des portefeuilles optimaux dont leurs variances sont les plus minimums.

En d'autres termes, on peut certifier ce résultat à partir la figure 19 où on trace les trois frontières efficientes dans un même plan :

Figure 19 : Frontières efficientes des trois approches

Par ailleurs, pour un niveau de taux de rendement inférieur à 0.05%, on observe que la courbe de l'approche Moyenne-VaR (99%) se situe au dessous de deux autres frontières, ce que implique que pour un même espérance, cette approche donne des portefeuilles très risqués contrairement à la courbe de l'approche classique qui est plus rentable. Par contre, lorsque l'espérance dépasse 0.05%, la courbe de l'approche Moyenne-Variance-VaR(99%) est au dessus des autres courbes, de plus cette courbe s'intersecte avec la frontière de Markotitz pour un espérance de 0.05% .

Pour récapituler, on illustre un tableau où on classe les trois approches selon la variance ainsi l'approche adaptée en fonction de portefeuille sélectionné :

Tableau 15: L'approche adaptée selon le niveau d'espérance désiré

Niveau d'espérance désiré par l'investisseur	R < 0.05%	R =0.05%	R> 0.05%
L'approche adaptée	Approche Moyenne-Variance	Indifférent entre M-V-V (99%) et Moyenne-Variance	Approche M-V-V (99%)

Néanmoins, comment varie la variance des portefeuilles optimaux sélectionnés par cette dernière approche, lorsque on augmente la borne de VaR (99%) de 0.756% à 7,5% ?

Pour répondre à cette question, nous calculons dans le tableau 16, la variance des portefeuilles optimaux pour deux niveaux de V (0.756% et 7,5). Ainsi, le résultat trouvé est enregistré dans le tableau ci-dessous ;

Tableau 16 : Effet d'augmenter V sur la variance du portefeuille

V	ó^2	R	0.02%	0.04%	0.06%	0.08%	0.09%	0.1%
0.756%	ó^2(10)^-4		1.0056	1.0397	1.0566	1.0904	1.0931	1.1031
7.5%	ó^2(10)^-4		1.0354	1.0530	1.2438	1.3185	1.3651	1.4444

En conséquence, on constate que plus V est élevé, c'est-à-dire plus on augmente l'intervalle de variation de VaR, plus les portefeuilles efficients choisis par cette approche sont risqués. Par exemple, pour un taux de rendement espéré de 0.1%, le portefeuille optimal trouvé a une variance de 1.103 1.10^-4 lorsque V=0.756%. Par contre, en augmentant V à une valeur 7.5%, la variance de portefeuille optimal accroît à 1.444.10^-4.

Ainsi, on peut certifier ce résultat à partir la figure (20) où on trace les deux frontières des portefeuilles efficients pour V=0.756% et V=7.5%.

Figure 20 : Frontière efficiente en fonction de V

La figure 20, montre que chaque fois on diminue V, on trouve des portefeuilles plus optimaux, puisque la frontière d'efficience pour V=0.756% est situé au dessus de courbe de V=7.5%.