Marchandage et partage d'objets

2.1.3 Définition du modèle

Définition 2 Un jeu de marchandage à deux joueurs est un couple (A, d) tel que :

A est une partie convexe et compacte de ]]8², appelée l'ensemble des alternatives

d est un élément de A, appelé point de désaccord

il existe x E A tel que x » d On note J l'ensemble de ces jeux.

Dans la suite, on écrira simplement jeu pour désigner un jeu de marchandage à deux joueurs. On note

Définition 3 Une règle de marchandage est une application qui à tout jeu (A, d) E J associe un unique point de A.

2.1.4 Les propriétés de Nash

Dans cette partie, on se donne une règle de marchandage. On tentera également d'expliquer la légitimité du choix de tels axiomes dans la construction d'une solution.

1. L'efficacité

Définition 4 (b est dite efficace lorsque pour tout jeu (A, d) E J , il n'existe aucun x E A tel que x > (b(A, d).

L'efficacité de la solution semble être un pré-requis indispensable à sa construction. L'objectif est en effet d'améliorer la situation des deux joueurs, l'existence d'une solution meilleure n'a donc pas lieu d'être.

2. La symétrie

Définition 5 (b est dite symétrique lorsque pour tout jeu (A, d) E J tel que

si (x1, x2) E A alors (x2, x1) E A

d1 = d2

7

on a 01(A,d) = 02(A,d)

La symétrie sous-entend que l'arbitre ne donne de préférence à aucun des deux joueurs lorsque le jeu est symétrique.

3. L'invariance par transformation affine

Définition 6 0 est dite invariante par transformation affine lorsque pour tout jeu (A, d) E J , et pour tous a, b E R² avec a » (0, 0),

0(aA + b, ad + b) = a0(A, d) + b

L'invariance par transformation affine signifie que l'en modifiant de la même manière l'ensemble des alternatives et le point de désaccord, la solution obtenue sera identique à la solution initiale modifiée similairement.

4. L'indépendance des alternatives non pertinentes

Définition 7 0 est dite indépendante des alternatives non pertinentes lorsque pour tout jeu (A, d) E J et A^' c R²,

(A c A^' et 0(A^', d) E A) 0(A^', d) = 0(A, d)

Cette notion peut être illustré par le fait qu'en retirant une alternative non pertinente à A^', la solution restera la même.

2.2 Existence et unicité de la solution de Nash

Lemme 1 Soit (A, d) un jeu. La fonction

f : x E R² 1--0' x1x2.

admet un unique maximiseur sur Ad := {x -- d | x E A, x . d}. Preuve 1 Ad est :

non vide car (A, d) est un jeu,

fermé car intersection des fermés A -- d et {y E R² | y . (0, 0)},

borné car inclus dans le borné A -- d.

f étant continue, elle admet donc un maximum sur A--d. Montrons à présent que ce maximum est unique.

On suppose que f admet deux maximiseurs distincts x et y sur Ad.^x`y

2 E Ad, car Ad convexe

par intersection de d'ensembles convexes. Or on a :

_f(x+y) (x1 + y1l (x2 + y2) (1)

11\\ ₂ J 2 J 2 J
1

= ₄(x1x2 + y1y2 + x1y2 + x2y2) (2)

1

= ₄(2x1x2 + 2y1y2 + (x1 -- y1)(y2 -- x2)) > f(x) (3)

Ceci contredit le fait que x est maximiseur de f sur Ad. Justifions l'inégalité (3). D'une part, par hypothèse, f(y) = f(x), d'où

1 1

₄(2x1x2 + 2y1y2) = ₄(2f(x) + 2f(y)) = f(x).

D'autre part, comme (A, d) est un jeu, il existe z E A tel que z » d. Alors (z1 -- d1)(z2 -- d2) > 0, et donc f(x), f(y) > f(z -- d) > 0. En particulier, x1, x2, y1, y2 > 0 et y2 = x1

y1 x2. De plus, si

y1 = x1, alors y2 = x2 et donc y = x : comme x et y sont distincts, on doit avoir y1 0 x1. On en conclut que :

(x1 -- y1)(y2 -- x2) = (x1 -- y1)(^x1

x2 -- x2)

y1

8

^x2(x1 -- y1)² y1

> 0

Théorème 2.2 Il existe unique règle de marchandage à la fois efficace, symétrique, invariante par transformation affine et indépendante des alternatives non pertinentes. Elle est donnée par :

(A, d) E J argmax (x1 -- d1)(x2 -- d2)

xEA, x,,d

Preuve 2 Soit ? une règle respectant les quatre propriétés et (A, d) un jeu. On pose m := argmaxxEA, x,,d(x1 -- d1)(x2 -- d2). On va montrer que ?(A, d) = m.

Étape 1

On rappelle que m » (0, 0). L'invariance de ? par transformation affine assure que :

?(A, d) = ?(A -- d, (0, 0))

= m?( 1 (A -- d), (0, 0)) m

Posons A^m_d := ¹_m(A -- d). Il suffit donc de montrer que ?(A^m_d , (0, 0)) = (1, 1).

Étape 2 Montrons que

sup x1x2 1. xEAd , x,,(0,0)

Soit x E A^m_d tel que x . (0, 0). Alors il existe y E A -- d tel que x = ¹_my. Mais alors, y . (0,0) et il existe z E A tel que z -- d = y. On a alors z . d et donc, d'après le lemme 1, (z1 -- d1)(z2 -- d2) _m1m2. ^D'où x1x2 = m11 (z1 -- d1) _m21 (z2 -- d2) 1.

Étape 3

Montrons que

dx E A^m_d , x1 + x2 2.

Supposons qu'il existe x E A^m_d tel que x1+x2 > 2. A^m_d étant convexe, il contient l'ensemble des points du segment entre (1,1) et x. Considérons la fonction

Q : p E [0;1] f(p(1,1) + (1 -- p)x)

où, pour rappel, f est la fonction qui à tout élément de 118² associe le produit de ses composantes. On calcule :

dp E [0;1], Q(p) = (p + (1 -- p)x1)(p + (1 -- p)x2)

= p² + (x1 + x2)p(1 -- p) + x1x2(1 -- p)²

= (1 -- 2(x1 + x2) + x1x2)p² + 2((x1 + x2) -- 2x1x2)p + x1x2

9

On remarque que Q est un trinôme, donc dérivable, et que Q'(0) = 2((x1 + x2) -- 2x1x2). On distingue alors deux cas :

soit x . (0, 0), auquel cas x1x2 = f(x) 1 d'après le résultat de l'étape 2 ;

soit l'une des composantes de x est strictement négative, auquel cas l'autre doit être supérieure à 2, car x1 + x2 > 2 et alors x1x2 < 0.

Dans tous les cas, Q'(0) > 0. Q' étant continue, il existe e > 0 tel que Q' est strictement positive et donc strictement croissante sur [0; e]. On suppose aussi e assez petit pour que y := f(1,1)+(1--e)x » (0, 0). Mais alors f(y) = Q(e) > Q(0) = 1, ce qui contredit l'étape 3.

Étape 4

A^m_d est compact, car image du compact A par la fonction continue x E 1I8^{2 1}_m(x -- d).
En particulier, A^m_d est borné, et par équivalence des normes sur 1R²,

3c > 0, dx E A^m_d , |x1| + |x2| c.

On en déduit que pour tout x E A^m_d , par inégalité triangulaire,

|x1 -- x2| |x1| + |x2| c

|x1 + x2| |x1| + |x2| c, et en particulier x1 + x2 . --c.

En ajoutant le résultat de l'étape 3, on peut dire que A^m_d est contenu dans R := {x E JR² | x1 + x2 2, |x1 -- x2| c, x1 + x2 . --c}.

Étape 5

On vérifie que (R,(0,0)) est un jeu :

on vérifie aisément que R est convexe, fermé et borné,

on a bien (0,0) E R,

enfin, (1,1) E R et (1,1) » (0, 0).

Or pour tout (x1, x2) E R, on a (x2, x1) E R. Par symétrie de ?, il existe á E 1I8 tel que ?(R, (0,0)) = (á, á). Si á < 1, alors (á, á) « (1,1), ce qui est exclu par efficacité de ?. Si á > 1, alors á + á > 2, ce qui est aussi exclu car (á, á) E R. On a donc á = 1. On conclut grâce à l'indépendance de ? des alternatives non pertinentes : comme A^m_d c R et ?(R, (0,0)) = (1,1) E A^m_d , alors

?(A^m_d , (0,0)) = ?(R, (0, 0)) = (1, 1).