2.1.1 Notations
On adoptera dans la suite les notations suivantes : -- pour
x, y E II82, on note :
x y lorsque x1 y1 et x2
y2
x « y lorsque x1 <
y1 et x2 < y2
x < y lorsque x y et x
y
xy E 1I82 le produit terme à terme
de x et y
2.1.2 Théorie de l'utilité
Nous verrons par la suite que pour résoudre un jeu de
marchandage, il est nécessaire de mesurer l'utilité que chacun
des agents obtient à chaque issue possible du jeu. Ainsi, la
théorie de l'utilité théorisée par John von Neumann
et Oskar Morgenstern dans Theory of Games and Economic Behavior (1944) permet
de modéliser les préférences d'un agent par une fonction
d'utilité.
Soit C := {c1, ...cN} l'ensemble
des issues pour N co, et L := (p1, ...,pN)
une loterie quelconque, avec øNi«1 pi
= 1, où pn représente la
probabilité de la réalisation de l'issue cn.
Le choix présenté à un agent peut ainsi être
représenté comme une liste de probabilités
associées à chaque issue possible du jeu. On note L
l'ensemble des loteries simples sur l'ensemble des issues C. On
considère à présent la relation de
préférence > sur les L, cette
dernière doit vérifier les axiomes suivants :
1. Complétude :
VL,L' E L, L L'
L
On peut toujours déterminer la préférence
ou l'indifférence de l'individu entre deux loteries
2. Transitivité :
VL,L',L" E L,
(L>L'etL'>L")
L > L"
Elle traduit l'ordre de préférence entre
différentes loteries de manière cohérente.
3. Continuité : Pour les loteries L, L' et L», les
ensembles
{á E [0,1], áL + (1 --
á)L' >
L"} {á E [0, 1],
áL + (1 -- á)L' <
L"}
sont fermés.
Cet axiome traduit le fait que pour un changement très
faible de probabilité, l'agent garde les mêmes
préférences.
4. Indépendance :
VL,L',L" E L,á
E]0,1[, L > L'
e=> áL' + (1 --
á)L"
Grâce à ces axiomes, il est possible de montrer
l'existence d'une fonction d'utilité associée à la
relation de préférence >. A fortiori, on
pourra l'écrire comme une fonction d'utilité de type vNM.
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Définition 1 (Fonction d'utilité vNM)
La fonction d'utilité U : G ]8 a une forme
d'espérance d'utilité s'il existe un vecteur
(u1, ...uN) tel que pour toute loterie simple L = (p1, ...,pN) E G on a : U(L)
= øNi«1 piui. Une fonction d'utilité respectant
cette propriété est dite fonction d'utilité von
Neumann-Morgenstern (vNM).
On peut à présent exposer le théorème
de Von Neumann et Morgenstern :
Théorème 2.1 (von Neumann-Morgenstern)
Supposons qu'une relation de préférence
¾ sur les loteries satisfassent les 4 axiomes
précédents; alors ¾ peut être
représentée par une fonction d'utilité de type
vNM.
Ajoutons quelques propriétés cohérentes
et utiles qui découlent de la construction d'une telle fonction :
u(L) > u(L') H L
L'.
u(L) < u(L') H L ã
L'.
u(L) = u(L') H L L'.
d 0 p 1, u[pL + (1 --
p)L'] = pu(L) + (1 -- p)u(L')
Remarque 1 Une fonction d'utilité
représentant une relation de préférence ¾
ainsi définie n'est pas unique.
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