2. METHODOLOGIE
Pour le calcul en éléments finis, on applique la
méthode suivante:
> On décompose le domaine d'étude "O" en
éléments dû appelé discrétisation
géométrique. Le meilleur compromis actuel pour la
mécanique des fluides est les éléments de CROUZEIX
RAVIART. Ces éléments sont à 7 noeuds pour les triangles
et 9 noeuds pour les quadrangles,
> On procède à une interpolation de
l'équation de NAVIER STOKES, en passant par l'élément de
référence sur l'élément û avec les fonctions
de forme de manière à avoir un système d'équations
linéaire algébrique. L'interpolation de la vitesse est
quadratique. L'interpolation sur la pression est linéaire. La pression
est déterminée au centre de l'élément avec ses
dérivées. La relation obtenue est appelée formulation
variationnelle faible de l'équation de NAVIER STOKES,
> On calcule sur l'élément de
référence l'intégrale numérique de
l'équation,
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> On dispose les résultats sur la diagonale de matrice
notons matrice de rigidité de façon à obtenir une matrice
inversible dont sa dimension est définie par le nombre de maillage,
> On résout le système linéaire et on
détermine la vitesse et la pression. La vitesse est inconnue sur tous
les noeuds. Elle est continue. La pression par contre est affine sur chaque
élément, et discontinue d'un élément à
l'autre.
3. METHODE DES ELEMENTS FINIS
3.1. MAILLAGE PAR GMSH
Le GMSH est un logiciel qui nous aide de faire le maillage
arrangé. Il nous permet aussi de récupérer le nombre de
mailles et les coordonnées aux trois (03) noeuds principaux pour le
triangle à sept (07) noeuds et les coordonnées secondaires
à calculer à partir de coordonnées principales
récupérées par les GMSH afin de trouver les vitesses en
tous points de chaque noeud.
Figure 1 : Maillage par GMSH
3.2. DISCRETISATION GEOMETRIQUE DES ELEMENTS DE CROUZEIX
RAVIART
Les principaux éléments finis utilisés en
mécanique des fluides en 2D sont les éléments de
Cast3M.
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Tableau 1 : Elements de Crouzeix Raviart
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Interpolation vitesse/pression
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Elément de référence et
élément réel
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Elément de type Q9
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Elément de type T7
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3.3. FONCTION DE FORME
Les fonctions de forme ci-dessous sont des fonctions
polynomiales sur les coordonnées de l'élément de
référence (0, x, h)
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Tableau 2 : Equation de forme de type 9 noeuds
Tableau 3 : Elément de type 07 noeuds
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