1.1.5 Quelques opérateurs continus
Dans l'étude de nombreuses équations aux
dérivées partielles nous aurons a considérer des
opérateurs locaux définis par des fonctions de dans ,
appelés parfois opérateurs de Nemitskii ou encore
opérateurs de superposition.
Définition 1.1.5 Soit une fonction
f : x R -- 1I; (x,t) F-- f (x,t)
On appelle opérateur de Nemitskii associé a f
l'application N qui a une fonction mesurable u définie sur associe la
fonction Nu définie sur par
Nu(x) = f (x,u(x))
Définition 1.1.6 Soit un ouvert de IIlN. Nous
dirons qu'une fonction f : x --
1; (x, t) F-- f (x, t) est mesurable en x, continue en t, ou
encore une fonction de Carathéodory si la condition suivante est
satisfaite
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<
:
la fonction f (., t) est mesurable sur , Vt 2 R la fonction f
(x,.) est continue sur , p.p en x 2
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