Contrôle de la dispersion chromatique dans les fibres optiques à cristaux photoniques à profil d'indice non standard

4.1.1. Dispersion du matériau

La dispersion du matériau, aussi appelée dispersion de l'indice de réfraction traduit le fait que l'indice de réfraction du milieu varie en fonction

de la longueur d'onde. Cette dispersion est provoquée par la réponse électronique du milieu à une excitation électromagnétique. Cependant le rayonnement laser créé au sein de l'amplificateur engendre une

dépendance supplémentaire de l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde et de la puissance.

On a définit précédemment la constante de propagation par : â = k₀ n_e avec n2 < ne <n1

n1 est l'indice du coeur

n2 est l'indice de la gaine

Le mode étant principalement confiné dans le coeur de la fibre d'indice de réfraction n1 proche de ne, on supposera par la suite que (ne n1) :

â= k₀ n₁ ( ë)

La relation de Sellmeier nous donne l'expression de n₁ ( ë) [2.3] :

² B ë 2 2

B

1 ë 2 3 ë

n ( ë ) = +

1 B + +

1 2 2 2

ë - ë

C - C ë - C

1 2 3

Avec : B1, B2, B3, C1, C2, C3 ; sont des coefficients constantes qui caractérisent un matériau :

Pour la silice on a :

B1=0,402850	B2=0,261678	B3=0,429086
=12395,504050	C3=7754,284638	C1=7421,609980

La courbe de variation de l'indice de réfraction n1 en fonction de la longueur d'onde est représentée sur la figure 6. Cette courbe est obtenue en utilisant le logiciel Matlab (programme voir annexe 1)

Dans ce cas (ne n1) on peut calculer :

- 1

3 2 2 3 2

dn ë ë

B 2 B C

e i i i

N n

= - ë = +

n 1 +

g e e 2 2

d ë 2 ë - C 2

i = 1 i i = 1 ( ë - C

ë

2 i )

2

La variation de l'indice de groupe est représentée dans la figure 10 : (Programme voir annexe 2)

indice de refraction de la silice

1.455

1.454

1.453

1.452

1.451

1.449

1.448

1.45

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700

d'onde longueur (nm)

Figure 9. Dépendance de l'indice de réfraction de la silice pure en fonction de la longueur d'onde.

Indice de groupe

1.52

1.48

1.46

1.44

1.42

1.38

1.36

1.34

1.32

1.5

1.4

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

longueur d'onde( um)

Figure 10 : Dépendance de l'indice de groupe avec la longueur d'onde.

ô

mat

=

ë

L Ä

Calculons le temps de transit d'une onde pour parcourir une distance L :

tmat	=	L= vg	L	dâ	dë
				dë	dù

d â2 ð 2 ð dn d ë 2 ð c

1

= - n + et 2

= -

d ë ë 2 1 ë d ë d ù ù

Avec

C est la vitesse de la lumière, et ù est la pulsation 2 ð 2 ð dn 2 ð c

1

Donc : tmat = - n + -

2 1 ù ²

ë ë d ë

Ce qui donne :

L dn 1

tmat = n - ë

1

c d ë

L'étalement impusionel (ou allongement temporel) est défini par la relation :

dtmat

ô = Ä ë

mat d ë

Par dérivation on trouve :

L

ë

d n

2

ô = - ë ₂ Ä

mat

c d ë

1

Puisque la dispersion du matériau est défini par :

D

mat

On déduit que :

Dmat

d n

2

1

ë

c

2

d ë

= - (ps/ nm.km)

En remplaçant n1 par son expression de Sellmeier :

2

- 1 - 3

2

ë

= -

Dmat

c

B C 2 ( )

2

3 2

2 2 3

3 2 3

2

1 2

B 3

ë 2 ë + C

i i i 1 B B C

i ë

i 2 i i

1 + - +

1

3

ë 2 2 2

2 - C ( )

2 4 ( )

2 2

i = 1 i i = 1 ë - ë

C - C

i = 1 i i = 1 ë - C

i i