Apprentissage des réseaux d'ondelettes bêta basé sur la théorie des frames : application à la détection de visages

3. Présentation des ondelettes multidimensionnelles

Dans le cadre de la modélisation, il est fréquent d'avoir affaire à des processus multivariables, il est donc utile d'introduire la notion d'ondelette multidimensionnelle.

On peut définir une ondelette multidimensionnelle comme le produit d'ondelettes unidimensionnelles : on dit alors que les ondelettes sont séparables [45]. Dans ce cas, l'expression d'une ondelette multidimensionnelle est :

Où est la k^ième composante du vecteur d'entrée x, et Z_jk la composante centrée par m_jk et dilatée d'un facteur d_jk. Il a été montré que ces ondelettes multidimensionnelles sont des frames à structures obliques de L²( ).

Figure 2.3: Exemple d'une ondelette 2D

4. La transformée en ondelettes

De manière analogue à la théorie des séries de Fourier, les ondelettes sont principalement utilisées pour la décomposition de fonctions.

La décomposition d'une fonction en ondelettes consiste à l'écrire comme une somme pondérée de fonctions obtenues à partir d'opérations simples (dilatation, translation,...) effectuées sur une fonction principale : l'ondelette mère.

Selon que ces translations et dilatations sont choisies de manière discrète (ne veut pas dire, nécessairement, des entiers) ou continue, on parle d'une transformée en ondelettes continue ou discrète.

a. La transformée en ondelettes continues :

Une transformée en ondelettes est dite continue lorsque les paramètres structurels des fonctions utilisées, c'est-à-dire les translations et les dilatations, peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle de (les dilatations doivent néanmoins être positives).

Pour que la transformée en ondelettes d'une fonction existe, il faut que cette fonction appartienne à l'ensemble des fonctions de carré sommable que l'on note par L²( ). Autrement dit, il faut que son carré soit fini. Cette condition se traduit par [41] :

Dans ces conditions, la transformée en ondelette continue de la fonction f est définie comme le produit scalaire de f et de l'ondelette :

La reconstruction de la fonction f à partir de sa transformée est possible, lorsque le critère d'admissibilité (2.10) est vrai, à partir de la transformée inverse :

b. La transformée en ondelettes discrètes

Une transformée en ondelettes est dite discrète lorsque les valeurs des translations et des dilatations sont discrètes (pas nécessairement entières).

Soit une ondelette mère. Une famille d'ondelettes, obtenue à partir de , est donc entièrement connue par la donnée du triplet , où a détermine l'échelle des dilatations et b détermine le pas des translations.

Les études ont montré que l'expression d'une ondelette dans un contexte de transformée continue ou discrète est la même, avec une dépendance entre la translation et la dilatation dans le cas de la transformée discrète, alors que ces quantités sont indépendantes dans le cas de la transformée continue [41].

Il est connu que la représentation de l'équation (2.13) est très redondante et que l'espace continu peut être discrétisé sans perte d'informations. Dans l'équation (2.14), le double intégral est remplacé par une double somme.

Une transformée en ondelettes discrètes à deux dimensions peut être accomplie en exécutant deux transformées unidimensionnelles séparées. En premier, l'image (signal 2D) est filtrée horizontalement (suivant l'axe des x) et divisée par deux. Par la suite la sous-image sera filtrée verticalement (suivant l'axe des y) et divisée par deux.

On obtient alors une image composée de quatre bandes après une décomposition à un seul niveau.

c. Les avantages de la transformée en ondelettes :

Le fait que la transformée utilise des fonctions bien localisées dans le plan temps-fréquence lui donne beaucoup d'avantages [45] :

- La résolution en fréquence de la transformée dépend du facteur de dilatation par le principe de Heisenberg, on peut donc choisir arbitrairement celle-ci suivant ce que l'on désire analyser.

- Pour des signaux physiques présentant des variations très rapides et des discontinuités, l'analyse en ondelettes est adaptée car l'ondelette va détecter ces variations et les analyser. Cette particularité rend l'analyse en ondelettes complémentaire à l'analyse de Fourier. En effet, avec l'analyse de Fourier, les discontinuités d'un signal ne sont pas facilement analysables.

- La localisation en temps est précieuse pour beaucoup d'applications.

- La transformée en ondelette peut représenter complètement et efficacement un signal quelconque avec peu de coefficients.

III. Les réseaux de neurones

Issus de travaux à connotation biologique dans les années 40, les réseaux de neurones artificiels sont maintenant considérés comme des outils mathématiques et automatiques, indépendamment de toute référence à la biologie. Ils sont utilisés comme outils puissants de classification, notamment pour la détection et la reconnaissance de formes (Pattern recognition).

1. Fondements biologiques des neurones

a. La structure d'un neurone :

Les neurones sont des cellules qui représentent l'élément de base du système nerveux. Un neurone est composé de (Figure 2.4):

· Le corps cellulaire : Il contient le noyau du neurone et effectue les transformations biochimiques nécessaires à la synthèse des enzymes et d'autres molécules pour assurer la vie du neurone.

· Les dendrites : Ce sont de fines extensions tubulaires permettant de capturer les signaux arrivant au neurone, et les acheminer vers son corps.

· L'axone : Il présente la fibre nerveuse et permettant le transfert des signaux émis par le neurone vers des autres. Il se distingue des dendrites par sa forme et par les propriétés de sa membrane externe.

Un réseau de neurones est composé de plusieurs neurones connectés par des synapses.

Axone

Noyau cellulaire

Corps cellulaire

Dendrites

Figure 2.4: Structure d'un neurone

Figure 2.5: La synapse d'un neurone

b. Principe de fonctionnement des neurones :

Le fonctionnement d'un neurone dépend essentiellement de propriétés de sa membrane externe. Lorsque le neurone est excité, un potentiel électrique, appelé potentiel d'action, naît dans le corps cellulaire de neurones et se propage le long de l'axone. Une fois arrivé à l'extrémité de l'axone, le potentiel d'action déclenche la libération d'un médiateur chimique, appelé neurotransmetteur, au niveau de la synapse où le signal électrique de l'impulsion nerveuse est converti en un signal biochimique (Figure2.5).

Le courant synaptique se propage le long des dendrites jusqu'au corps cellulaire du neurone cible. A ce niveau, le corps cellulaire traite l'ensemble des courants synaptiques qui lui parviennent en effectuant une somme algébrique des courants synaptiques excitateurs et inhibiteurs. Si le potentiel résultant dépasse le seuil critique d'excitation du neurone (-10mV), alors le neurone est excité et déclenche à son tour un potentiel d'action qui se propage le long de son axone. Dans le cas contraire, le neurone reste inactif.

2. Les réseaux de neurones artificiels

Un neurone formel fait une sommation pondérée des potentiels d'actions qui lui parviennent (chacun de ces potentiels est une valeur numérique qui représente l'état du neurone qui l'a émis), puis s'active suivant la valeur de cette sommation pondérée. Si cette somme dépasse un certain seuil, le neurone est activé et transmet une réponse dont la valeur est celle de son activation, sinon le neurone reste inactif et ne transmet rien.

Chaque neurone artificiel reçoit un nombre variable d'entrées. A chacune de ces entrées est associé un poids w représentatif de la force de la connexion. Chaque neurone est doté d'une sortie unique, qui permet d'alimenter un nombre variable de neurones avals.

Le neurone effectue la somme pondérée de ses entrées, puis il calcule sa sortie par une transformation non linéaire de cette somme. Les pondérations ou les poids représentent l'intensité synaptique de ce neurone.

Le fonctionnement d'un neurone artificiel est exprimé par les expressions suivantes :

Avec :

3. Exemples de réseaux de neurones