II. L'analyse par ondelettes
1. Définition
des ondelettes
Le terme ondelette désigne une fonction qui
oscille pendant une durée donnée, si la variable est temporelle,
ou sur un intervalle de longueur finie si la variable est de spatiale
(fréquence). Au delà, la fonction décroît rapidement
à zéro.
Historiquement, les premières ondelettes introduites
par Haar dans les années 30 constituaient une base de fonctions
orthogonales. Les ondelettes de Haar présentent la particularité
de ne pas être dérivables.
Dans les années 80, Meyer a introduit des nouvelles
fonctions ondelettes qui constituent également une base de fonctions
orthogonales, et qui, de plus, sont dérivables. Elles ont
été mises en oeuvre dans le cadre de l'analyse
multirésolution de signaux par Mallat en 89.
Ces ondelettes ne peuvent pas s'exprimer sous une forme
analytique simple. Pour cette raison, elles sont peu adaptées pour
l'approximation de fonctions.
Les frames, ou ondelettes à structures
obliques, ont été introduites par J. Morlet dans le but de
trouver des bases de fonctions non nécessairement orthogonales pour
représenter des signaux. Ces structures obliques ont été
ensuite l'objet des travaux de I. Daubechies qui a développé un
support théorique aux résultats de J. Morlet. Les frames ont des
expressions analytiques simples, et toute fonction de carré sommable
peut être approchée, avec la précision voulue, par une
somme finie d'ondelettes issues d'une frame.
2. Les principales
caractéristiques d'une ondelette mère
Une ondelette mère   est une fonction de base que l'on peut translater et dilater pour
recouvrir le plan temps-fréquences et analyser un signal. L'ondelette
doit être une fonction de moyenne nulle, en d'autres termes,   doit être une onde ! Ce qui s'écrit
mathématiquement par [41] :
Toutes les ondelettes d'une famille,   ,   sont générées à partir d'une ondelette
mère, en introduisant les paramètres de dilatation
(échelle) a et de translation dans le temps b.
Une ondelette mère doit remplir certaines
propriétés dont les plus importantes sont :
a.
L'admissibilité :
Soit   une fonction non nulle de L2(  ) et TF(  ) sa transformée de Fourier. On dit que   est admissible si :
b. La
Localisation :
Une ondelette dont la fonction   de L2  est locale, si elle est à décroissance rapide sur les
deux bords de son domaine de définition. La localisation signifie que
l'énergie d'une ondelette est contenue dans un intervalle fini.
Idéalement, l'ondelette est une fonction nulle en dehors d'un intervalle
fini : c'est-à-dire une fonction à support compact.
c. L'oscillation :
C'est le moment d'ordre 0, où la moyenne de la fonction
  de L2  est nulle, et par conséquent,   doit avoir un caractère ondulatoire, qui change de signe au
moins une fois. Cette propriété figure dans l'expression
(2.8).
d. La translation et la dilatation :
L'ondelette mère doit satisfaire les
propriétés de translation et de dilatation pour quelle puisse
générer d'autres ondelettes (Figure2.2).
Nous présentons ci-dessous quelques ondelettes
unidimensionnelles :
  
Ondelette de Meyer
Ondelette de Haar
Ondelette de Morlet
 
Ondelette Bêta
Ondelette Chapeau mexicain
Figure 2.1: Quelques exemples
d'ondelettes 1D
 
Figure 2.2: Exemple d'une
ondelette dilatée et translatée.
| 
