Dynamique globale sur les espaces-temps de Robertson-Walker dans un milieu fluide parfait relativiste

Introduction

En Relativité Générale, et plus précisement en Cosmologie, l'espace-temps de FriedmanLemaître-Robertson- Walker (F.L.R. W) est un modèle particulièrement indiqué pour l'étude de la théorie de l'univers en expansion. La cosmologie étant elle-même la recherche des modèles qui représentent l'univers dans son ensemble, même les galaxies sont, de ce point de vue, assimilables à des points matériels. Il est donc compréhensible que dans ce cadre on s'interesse spécialement aux phénomènes dits spatialement homogènes c'est-à-dire qui ne dépendent que du temps. Les équations d'Einstein qui sont les équations de base de la Relativité Générale (en ce sens qu'elles permettent de comprendre, d'expliquer et même de prédire les phénomènes de l'univers aussi bien à l'échelle microscopique qu'à l'échelle macroscopique), présentent l'inconvénient majeur d'être surdéterminées. L'espace-temps homogène de F.L.R. W se présente comme un modèle que l'on peut raisonnablement envisager pour résoudre ces équations. L'étude

de ces équations est classique; mais l'on ne s'est pas spécialement jusque là préoccupé de leur existence globale dans le temps. C'est ce que nous tâchons de faire dans ce travail, en étudiant leur dynamique globale pour un milieu fluide parfait relativiste, qui est la toute première approche de la matière permettant d'illustrer au mieux les phénomènes relativistes gouvernés par les équations d'Einstein.

Nous nous plaçons donc dans ce milieu pour dresser dans un premier temps les équations d'Einstein sur les trois types d'espace-temps de Robertson- Walker qui, dans notre cas se ramènent à des équations différentielles non linéaires. Ensuite, nous étudierons l'existence globale des solutions dans le temps, ce qui permettrait de prévoir le comportement asymptotique vers l'infini futur.

Le travail est subdivisé en trois parties :

· Le chapitre 1 présente les éléments de géométrie hyperbolique, nécessaires pour comprendre la structure des équations d'Einstein.

· Le chapitre 2 est consacré à l'établissement des équations à étudier.

· Le chapitre 3 est consacré à l'étude de l'existence globale des solutions dans le temps.

ChaPItre PremIer

g = -- (dx^0)^2 +

E i=1

(dx^i)^2 (1.1)

PRÉLiMiNAiREs : VARiÉTEs

HypERBoLiQuEs ou LoRENTziENNEs

Notation 1.1.

(i) g désigne une métrique pseudo-riemannienne.

(ii) V4 désigne une Variété différentiable de dimension 4.

(iii) (V4_,g) désigne un espace-temps.

Définition 1.1. Soit V4 une variété différentiable de dimension 4, de classe Cp , p > 1. Une structure hyperbolique ou lorentzienne sur V4 est la donnée d'un champ de tenseur g , de classe Cp^-1, deux fois covariants, appelé tenseur métrique et qui est telle que :

- g est symétrique

- Vx E V4 , g induit sur l'espace tangent T_x en x à V4 une forme bilinéaire non dégénérée g_x

- g est de signature (+, --, --, --) ou (--, +, +, +)

Remarque 1.1.

(R1) (V4,g) est une variété , espace-temps.

(R2) Nous adopterons dans tout ce qui suit la convention de sommation d'Einstein : A_aB^a = E A_aB^a où les indices grecs varient de 0 à 3 et les indices

a

latins de 1 à 3.

(R3) L'écriture locale de g dans le repère naturel (e_a) est donnée par g = g_asdx^adxs où g_as = g(ea, es)

Un système de coordonnées (x^a) sur (V4, g) est dit adapté si dans le repère naturel associé (e_a), g s'écrit :

3

en signature (--,+,+,+) ou g = (dx^0)^2 --

3 E i=1

(dx^i)^2 en signature

(+,--,--,--)

Remarque 1.2. Nous avons l'isomorphisme T_xV4 ge,R⁴

Sur R⁴ muni de son système de coordonnée globale (x^á), la métrique

77 = (dx^0)^2 --

3 E i=1

(dx^i)^2 ou 77 = --(dx^0)^2 +

3 E i=1

(dxi )2

est appelée métrique de Minkowski.

C'est à Minkowski que l'on doit d'avoir adopté de représenter un évènement par un point (x⁰, xⁱ) de R⁴ où x⁰ = t est le temps et xⁱ, i = 1, 2, 3 est l'espace.

Définition 1.2.

(i) La variété hyperbolique (R⁴,77) est appelée espace-temps de Minkowski.

(ii)
· Par analogie, toute variété hyperbolique (V4, g) est appelée espace-temps.

1.1 Exemples d'espace-temps

· L'espace-temps de Minkowski (R⁴,77).

Si nous adoptons sur R³ le système de coordonnées sphériques (r, è, ?) on obtient : ₇₇ = dt2 -- dr2 -- r² [dè2 + sin2 èd?²] tER , r> 0, è E [0, ð], ? E [0, 2ð] ou

₇₇ = --dt² + dr2 + _r2 r ^,^2

[au + sin² èd?²]

· L'espace temps de Robertson-Walker

_g = --dt² + a2 (t)[e2 A (r ) dr² + r²dÙ²]

En utilisant les reférentiels dans lesquels les évènements sont simultanés, ou

_g = a²(t)[ --dt² +e^2A(r)dr²+ r²dÙ²]

où dÙ² = dè² + sin² èd?² est la métrique de la 2--sphère unité S² de R³, et a une fonction donnée de t

1.2 Tenseurs sur (v4,g)

Définition 1.3.

(i) Un vecteur contravariant est un élément u E T_x et ses composantes dans une base (e_á) de T_x sont notées (u^á) i.e u = u^áe_á.

(ii) Un vecteur covariant est un élément v E T _x et ses composantes dans la base duale (è^a) de (e_a) sont notées (v _a) i.e v = v _aè^a.

Remarque 1.3. g = g_x : T_x×T x ? R est bilinéaire donc ?u E T_x , ufixé, l'application v 7? g(u, v) est une forme linéaire sur T _x , donc u = g(u,.) E T _x. On a donc u =u _aè^a où u a = u (e_a) = g(u,e_a) = g(uâeâ,e_a) = uâg(eâ,e_a) = u^âgaâ i.e u a = gaâu^â

En procédant de la même manière avec la matrice inverse g^aâ de g, qui est une forme bilinéaire sur T _x , on associe à tout vecteur covariant u E T _x un vecteur contravariant u E T_x avec uâ = g^aâu _a.

Conséquence

g permet d'associer canoniquement à tout vecteur contravariant u, un vecteur covariant u et reciproquement. On identifie u et u et on parle seulement :

- du vecteur u

- de ses composantes contravariantes (u^a)

- de ses composantes covariantes (u_a)

où u^a et u_a sont liés par u_a = gaâu^â et uâ = g^aâu_a

Vecteurs temporels, spatiaux ou isotropes

Soit g de signature (-, +, +, +)

1)un champ de vecteur X sur V4 de composantes (X^a) dans _TxV4 est dit : - Temporel si g_aâX^aXâ < 0

- Spatial si g_aâX^aXâ > 0

- Isotrope si g_aâX^aXâ = 0

2) une courbe C dans V4 est dite, temporelle, spartiale ou isotrope, si elle admet en tout point un vecteur tangent qui est temporel, spartial ou isotrope.

3)Si g est de signature (+, -, -, -) changer les signes dans les inégalités au 1).

1.3 Connexion sur V4

Définition 1.4. Une connexion linéaire sur V4 est la donnée d'une application 5 :TV4?T V4?TV4

v 7? Vv

définie sur les champs de tenseurs différentiables sur V4 et qui est telle que

· 5 (u + v) = 5u + 5v (1.2)

· y(fv)=df®v+fyv (1.3)
pour toute fonction différentiable f.

yv est appelé différentielle absolue ou covariante de v . v est un vecteur contravariant.

1.4 Expression locale de yv

Soit (e_a) le repère naturel de TV4 et (è^a) sa base duale. On a v = v^ae_a de yv = dv^a ® e_a + v^a y ea

comme ye_a E T*V4 ® TV4,

posons ye_a = l'à_aès ® eA

on obtient alors dv^a = ?sv^aès où ?sv^a = ^e_a^v_x^ao

et donc yv = ?sv^aès ® e_a + v^al'^A_saès ® eA

d'où les composantes du tenseur mixte yv noté y_avssont données par :

y_av^s = ?_av^s + l'^s_aAv^A (1.4)

Remarque 1.4.

· y_avs est appelé dérivée covariante du vecteur v

· Les _l'Aas s'appellent coefficients de la connexion y ou symboles de Christoffel associés à y .

Proposition 1.1. Dans un changement de repère naturel (x^a) , (x^a') , où A^a_a' = âme«' et A^a_a^' = ^a_a^x_x^a_a^' , sont les matrices jacobiennes (inverse l'une de l'autre) de changement de cartes correspondantes; les coefficients l'^A_a:,s' dans (x^a') et _l'Aas dans (x^a) sont liées par :

l'^A'' a' = AA'Aa A^s F^A + _A A' ?A_a'

a fr^, A a^, st a_s 1-- .1-1A

?xTY (1.5)

Preuve. (Indication)

On écrit que les composantes de Vv se transforment comme celles d'un tenseur mixte

(

¹). i.e V_a'vs^' = A^a_a'A^ss'Vav^s On exprime V_avs par (1.4) sachant que vs = A^A'_sv^A' et 1 on déduit (1.5).

Définition 1.5. La dérivée du vecteur y dans la direction du vecteur u noté V_uy est le vecteur V_uy = Vy(u)

1.5 Expression locale de Vy(u)

(1.4) donne V_uy = Vy(u)

= (V_ays)è^a es(u^ÀeÀ) = u^À V_a ysè^a(eÀ)es

= u^À V_a ysä^a_Àes

= u^a Va yses

D'où

V_uy =u^a V_ay^ses (1.6)

(V_uy)s = u^a Va ys sont les composantes de V_uy dans la base (es)

Remarque 1.5. En prenant u = e_a et y = es on trouve :

(Ve_áes)^À =as (1.7)

1.6 Dérivée covariante d'un vecteur covariant.

Soit y E TV4 fixé, on définit l'application Vv : T*V4 --> T*V4 telle que :

(d1)V_v est linéaire

(d2) Vv (u w) = (Vvu) w + u Vvw (d3)V_v commute avec la contraction

(d4) V_v f = df (y) pour toute fonction différentiable f .

Définition 1.6. La différentielle absolue ou covariante d'un vecteur covariant est l'application

V : T*V4 --> T*V4 xT*V4

w 1--> Vw

telle que

(d5) V w (u1 , u2) = (V u,w)(u2) Vu1, u2 E TV4

1.7 Expression locale de Vw, o`u w E T^*V4

Soit (e_a) un repère naturel

(Vw)_a$ = (Vw)(e_a, e$) = (V_eáw)(e$) := Vaw$ on obtient :

Vaw$ = ?aw$ - Fë a$wë (1.8)

(1.8) est l'expression en coordonnées locales de la dérivée covariante du vecteur covariant w

Remarque 1.6. La notion se généralise aux tenseurs quelconques t de type _(p ).

) q

Vt est défini par une formule analogue à (d5) et est du type ( p

q+1

La formule obtenue respecte les signes donnés par (1.4) et (1.8) à savoir le signe

(+) devant F pour un indice contravariant et le signe (-) devant F pour un indice covariant.

Exemple 1.1.

).

a) T = T p ë localement , T est du type (iVaT p ë= ?aT p ë₊ Fë avT p v - Fv ap T ë (1.9)

v

).

b) T = T a$

ë p localement, T est du type (2 ₂

VvT a$

ëp = ?_v T a$

ëp + Fa vó T ó$

ëp + F$ vó T aó

ëp - Fó vë T a$

óp - Fó vp T a$

ëó (1.10)

1.8 Torsion de la connexion V.

Si f est une fonction de classe C² sur V4, on a en appliquant (1.8) au vecteur covariant ?_pf: Vë?pf = ?2 ëpf - Fv ëp?vf

Vp?ëf = ?2 ëpf - Fv pë?vf

D 'où

Vë?pf - Vp?ëf = (Fv pë - Fv ëp)?vf (1.11)

Définition 1.7. On appelle torsion de la connexion V le tenseur de composantes locales

SasA = r^asA --nⁱs (1.12)

Remarque 1.7.

--S est antisymétrique par rapport aux indices inférieurs

-- (1.5) montre que les r^A_as ne se transforment pas comme un tenseur; par contre les S^asA sont bien les composantes d'un tenseur.

1.9 Courbure de la connexion linéaire V

Soit V un vecteur sur V4 de composantes locales V = (V^A). Les VsV^A sont les composantes d'un tenseur mixte de type (1) sur V4. La formule (1.9) donne alors :

V_a Vs V^A = ?a(VsVA) _+rAau Vs V u -- r^u_as Vu VA Vs Va VA = ?s(VaVA) _+rAsu V_a V^u -- rusa V_u V^A or V_aVs = ?_aVs + rs_auV^u

d'où

Va VsV^A -- Vs Va V^A

= ?_a Vs V^A -- ?s Va V^A + _rAau Vs V^u -- rA suVa V^u + r^u_sa V_u V^A -- ru asVu VA

= ?a(?sV^A+r^AspV^p)^--?s(?aV^A+r^A_apV^p)+r^A_au(?sV^u+r^uspV^p)^--r^As_u(?aV^u+r^u_apV^p)+ (rusa -- ruas) V_u V^A

= (?ar^Asp -- ?srA ap+rAaurusp--rAsuruap)Vp--(ruas--rusa)VuVA

= R^Ap,asV^p -- S^p_as V_p V^A

i.e

V_a Vs V^A -- VsVa VA = R^Ap,asV^p -- S^p_as V_pV^A (1.13)

où

RAp,as =F^A -- a _FA ru +rAru

a sp ap -- su ap au sp (1.14)

Théorème et définition 1.1. Les RA _p,as sont les composantes d'un tenseur

mixte de type ⁽³¹⁾ sur V4 appelé tenseur de courbure ou tenseur de Riemann de la connexion linéaire V.

Remarque 1.8. La courbure et la torsion ont des définitions intrinsèques sur

V4.

a) S est la forme 3--linéaire définie par :

S:TV4xTV4xT*V4*1R

(u, v, w) 7? S(u, v, w) = w(V_uv - v_vu - [u, v])

b) R est la forme 4-linéaire définie par :

R:TV4×T^*V4×TV4×TV4?R

(u, x, v, w) 7? R(u, x, v, w) = x{(V_v V_w - V_w V_v - 5[v,w])u}

1.10 Connexion Riemannienne ou connexion de Levi- Civita sur (V4,g)

Théorème et définition 1.2. Il existe sur (V4, g) une connexion linéaire et une seule 5 telle que :

1. 5 est sans torsion i.e S = 0,

2. yg=0

5 est appelé connexion riemannienne ou connexion de Levi-Civita de (V4, g)

Preuve. La condition 2. donne

5ëga$ = ?ëga$ - í ëagí$ - í ë$gaí = 0

après permutation circulaire sur les indices et contraction avec le tenseur métrique g, l'on déduit :

ë a$ =	1 2	g^ëu(?agu$ + ?$gau - ?uga$) (1.15)
(1.15) donne l'unicité desë a$ donc de 5 dès que g est donnée.

1.11 Tenseur de courbure d'une variété riemannienne

Définition 1.8.

· On dit que l'espace-temps (V4, g) est plat si son tenseur de courbure est nul i.e Rë u,a$ = 0 .

· Un espace-temps qui n'est pas plat est dit courbe.

Exemple 1.2. L'espace-temps de Minkowski (R⁴, ç) est plat.

Il en résulte de même de tout espace-temps dont la métrique est constante.

Remarque 1.9. Comme 5 est sans torsion, (1.14) donne

V_a V$ V ë - V$ V_a V ë = R ë _u,a$V ë.

On associe àRa _$,ëu grace à g le 4-tenseur covariant Ra$,ëu = gaíRí$,ëu.

(1) R est symétrique par rapport aux groupes d'indices (aâ) et (At) i.e

Ras,Àp = RÀp,as

(2) R est antisymétrique par raport à chaque paire d'indices i.e

Ras,Àp = ^--Rsa,Àp ; Ras,Àp = -- Ras,pÀ

(3) Ras,Àp + RaÀ,ps + Rap,sÀ = 0 (on fixe a et on fait une permutation circulaire sur â, A, t,)

(4) identité de Bianchi

V vRas,Àp + V ÀRas,pv + V pRas,vÀ = 0 (permutation circulaire sur les 1'^r , 4' et 5' indices.)

1.12 Tenseur de Ricci, courbure scalaire.

Le tenseur de Ricci est défini par :

Ras = R^Àa,Às = gÀp Rpa,Às

R_as est symétrique

R_as = gÀp Rpa,Às = g^ÀpRÀs,pa = R^ps,pa = Rsa

Définition 1.9.

(i) On appelle courbure riemannienne scalaire de (V4, g) le scalaire R = R_a^a =

as

g R as

(ii) Un espace-temps (V4, g) est dit à courbure constante si la fonction courbure scalaire est une fonction constante sur (V4, g).

(iii) On a V _ag^Àp = 0 = V Àgas

on a Vs = gasV^a

On dit que g est transparente par différentiation covariante i.e g se comporte comme une constante pour V.

(iV ) On définit aussi l'opérateur V^a par _Va = g^aÀV À;

, 2 1 ,

V _aR^a" -- V" R= 0 (1.16)

Preuve. Les identités de Bianchi donnent par contraction avec g :

V vRa _s,Àp+ V ÀRa s,pv + V pRa s,vÀ = 0

Contractant les indices a et A, on a vu l'antisymétrie en vA,

VvRsp + VaRa s,pv -- VpRsv = 0

D'où la contraction avec g et la transparence de g donne :

VvR^sp + VaR^asp_v -- VpRs v = 0

Contractant maintenant en â et v on a vu l'antisymétrie de R en aâ et en tv

vâR^â_u + vaR^a_u - v_uR = 0

i.e 2 va R^au - vuR = 0

D'où (1.16)
Définition 1.10.

(i) Un vecteur v est dit transporté par parallélisme le long de l'arc de courbe différentiable c : t 7? x(t), si sa dérivée dans la direction du vecteur tangent u à c est nulle i.e v_uv = 0 où u = dx dt , x = x(t)

(ii) La courbe différentiable c est dite auto-parallèle si son vecteur tangent u est transporté par parallélisme le long de c : i.e

v_uu=0; (1.17)

Une telle courbe s'appelle une géodésique de (V4, g).

L'expression locale de (1.17) est donnée par:

d²x^a dx^ë dxu

dt2 + a = 0 (1.18)

ëu dt dt

Remarque 1.10. Vu l'expression (1.15) des a ëu, (1.18) est une équation différentielle non linéaire du second ordre dont les coefficients dépendent des _gëu et des ?_ag^ëu.

ChaPItre DeUx

EQUATIONS D'EINSTEIN &

ESPACE-TEMPS DE

ROBERTSON-WALKER

Nous nous proposons dans ce chapitre d'introduire les équations d'Einstein, qui sont les équations de base de la Relativité Générale. Nous présenterons ensuite les espaces -temps de Robertson-Walker sur lesquels nous étudierons la dynamique globale pour un milieu fluide parfait relativiste.

2.1 Univers de la Relativité Générale et espace-temps de Robertson-Walker. (R.W)

2.1.1 Cadre géométrique

Le cadre géométrique de la Relativité Générale est batî sur les principes même de cette théorie qui a été conçue par Albert Einstein pour généraliser la Relativité Restreinte. On a :

a) Principe de la covariance générale.

Il stipule que :

Les lois de la physique doivent s'exprimer de la même manière par rapport à n'importe quel repère.

Conséquence. On choisit comme cadre géométrique général une variété espace- temps (V4, g) pour écrire les lois sous forme tensorielle, donc intrinsèque.

b)Principe d'équivalence.

Il stipule que :

Les forces de gravitation sont des forces inertielles et ne doivent pas être considérées comme des forces extérieures. On déduit alors de la relation fondamentale de la dynamique relativiste que la trajetoire d'un point matériel, soumis seulement aux forces de gravitation est une géodésique temporelle de (V4, g).

Par ailleurs, on a observé que dans un champ de gravitation non uniforme, les trajectoires des points matériels qui sont des géodésiques même si elles sont parallèles au départ , ne le restent pas en générale : c'est la caractéristique même des espaces- temps courbes.

Conséquence. (V4, g) doit être un espace-temps qui peut être courbe. L'espacetemps de la Relativité Restreinte étant l'espace-temps de Minkowski; l'espace-temps (V4, g) doit être localement plat, Minkowskien. En d'autres termes, il doit exister en tout point un système de coordonnées spatio-temporelles adaptées (x^a) tel que dans le repère naturel associé (e0, e.) i = 1, 2, 3 g s'écrive comme la métrique de Minkowski.

2.1.2 Représentation de la matière.

Le tenseur d'impulsion -énergie.

D'après le principe de la covariance générale, la représentation de la matière se fait par un tenseur qui sert de source au champ de gravitation. Ce tenseur comprend différents termes correspondants aux différentes sortes d'énergies. Le tenseur approprié est un tenseur symétrique d'ordre 2 , T^a$, appelé : tenseur d'impulsion-énergie . En tant que représentant l'énergie, le tenseur d'impulsion-énergie _Ta$ doit vérifier des conditions dites de positivité. On distingue les conditions suivantes dues à Hawking et Ellis :

(i) T_a$X^aX$ = 0 pour tout vecteur temporel (X^a) dite condition de positivité faible

(ii) T_a$X^aY$ = 0 pour tous vecteurs temporels (X^a), (Y $), dite condition de positivité dominante

Un espace-temps est dit vide si Ta$ = 0

Exemple de tenseur d'impulsion-énergie

· Schéma matière pure.

L'un des milieux les plus simples est celui dit de matière pure décrit par :

· Une fonction scalaire positive p, appelée densité de matière.

· Un champ de vecteurs temporels unitaire u.

Le tenseur d'impulsion-énergie est donné par :

Tas = pu_a us

· Fluide parfait relativiste.

C'est un schéma matière pure auquel s'ajoute la pression. Aux fonctions p (densité) , u (vecteur unitaire temporel) s'ajoute une fonction positive P appelé pression . On a P<<p.

Le tenseur d'impulsion-énergie d'un fluide parfait relativiste est donné dans un reférentiel où le fluide est au repos par :

T_as = (P + p)u_aus - Pg_as en signature (+, -, -, -)

T_as = (P + p)u_aus + Pg_as en signature (-, +, +, +)

2.2 Les équations d'Einstein.

2.2.1 Les équations.

Les équations conçues sur la base des principes ci-dessus et de façon à redonner les équations de la gravitation newtonienne pour les mouvements lents s'écrivent :

1

R_as --- 2 Rgas + Agas = KTas (2.1)

où

R_as est le tenseur de Ricci de (V4, g)

R est la courbure riemannienne scalaire de (V4, g) T_as est le tenseur d'impulsion-énergie

A est une constante appelée constante cosmologique.

K est une constante que nous présenterons par la suite.

Remarque 2.1. Si Sas = Ras - ¹2Rgas (tenseur d'Einstein). S_as vérifie la condition v_aS^as = 0

En effet

va San = v_a (R^an -- ¹₂Rg^an)

= v aRan -- 21 v_a (Rg^an)

= vaRan -- ¹₂g^an va R (car va g^an = 0)

= v_aR^an -- 21 vn R (carg^an v a = vn)
=0

d'après la propriété (1.16) du tenseur de Ricci.

Remarque 2.2. La condition que les équations d'Einstein (2.1) doivent redonner

les équations de la gravitation newtonniene pour les mouvements lents permettent de déterminer la constante K dans (2.1) comme étant :

K = ⁸î,^r

où G est la constante de gravitation newtonnienne C est la célérité de la lumière

On prend souvent C = G = 1

Donc K = 8ð

Remarque 2.3. Le tenseur d'impulsion énergie _Tan est soumis aux 4 conditions

v_aTao = 0 (2.2)

dites de conservations et qui sont conséquences de (2.1) et de v _aS^an = 0

Remarque 2.4. Résoudre les équations d'Einstein , c'est déterminer à la fois

la source du champ de gravitation (T_an) et le champ de gravitation représenté par g = (g_an).

Les équations d'Einstein sont en définitive le système de (14) équations aux dérivées partielles (2.1) et (2.2) pour les 20 inconnues (g_an)(10) et (T_an) (10).

Ce système est donc surdéterminé dès le départ, et sa résolution nécessite des hypothèses complémentaires qui mènent à des solutions particulières.

2.2.2 Solutions classiques.

Généralité.

Nous adoptons pour la métrique g , la signature (--, +, +, +)

Définition 2.1. Un espace temps (1[8⁴, g) est dit à symétrie sphérique si ses 2-surfaces (t, r, è, ?) (t = cste, r = cste) sont des 2-sphères.

Remarque 2.5. A priori, les métriques induites par g sur les 2-sphères sont de la forme

dl² = f(t, r) [dè² + sin² èd?²] f > 0

Nous allons prendre le cas où f(t, r) = r² et donc

dl² = r² (dè² + sin² èd?²)

(r, è, ?) sont les coordonnées sphériques.

Notons (e_á) le vecteur tangent à la ligne (x^á) variable.

Les vecteurs eè ,e_? sont tangents aux 2- sphères t = cste , r = cste. et dans un espace à symétrie sphérique, on peut supposer que les vecteurs sortant et et e_r sont orthogonaux à eè et e_? .

Exemple 2.1.

· Une solution classique à symétrie sphérique des équations d'Einstein du vide (S00 = 0) est l'espace-temps de Schwarzschild dont la métrique g est donnée par:

g = --(1 -- 2M r )dt^2 + 1 1_^2M r

dr^2 + r^2 [dè^2 + sin^2 èd?^2]

qui se réduit à la métrique de Minkowski pour r ? +8

· Le cas où f(t, r) = a(t)r² fournit les espaces-temps dites de Robertson-Walker.

Nous les présenterons au paragraphe suivant. C'est sur ces espaces-temps que nous étudierons la dynamique globale.

2.2.3 Espace-temps de Robertson-Walker : théorie de l'univers en espansion (Cosmologie)

On prend ici V4 = R x S où S est une 3- variété riemannienne à courbure constante

k.

Définition 2.2. La Cosmologie est la recherche des modèles qui représentent

l'univers dans son ensemble.

Remarque 2.6.

1) De ce point de vue, même les galaxies sont assimilées à des points matériels.

2) Une approche raisonnable consiste à considérer les phénomènes qui ne dépendent que du temps. De tels phénomènes sont dits homogènes. a) La métrique de Robertson-Walker

La métrique de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (F.R.L.W) est donnée dans le cas k = cste par :

g = --dt² + a2(t)[ dr2

1 -- kr2 + r²dÙ²] (2.3)

oÙ

k = constante = courbure de S

dÙ² = dè² + sin² èd?²

a(t) est appelé facteur d'expension cosmologique. Notons h la métrique de S i.e h = dr2

1_kr2 + r²dÙ²

Remarque 2.7. (Les trois types d'espaces-temps de Robertson- Walker)

On montre au moyen d'un changement d'échelle que l'on se ramène aux 3 cas k = --1,k = 0,k = +1

(i) Si k = --1 ,et si r = sinhá, alors dr2

1_kr2 = dr2

1+r2 = dá² h = h_1 = dá² + sinh²ádÙ² (métrique d'une variété riemannienne S à courbure constante négative.) Dans ce cas, nous avons le type dit hyperbolique.

(ii) Si k = 0 alors h = h0 = dr² + r²dÙ² (métrique euclidienne de S = 3 , espace plat à courbure nulle) nous avons le type dit plat.

(iii) Si k = +1, on ah = dr2

1_r2 +r²dÙ² ~ 0 Donc dr2

1_r2 ~ 0 i.e 0 <r < 1 r = siná

donne dr2

1_r2 = dá^2, h = h1 = dá² + sin² ádÙ² (métrique de S = 3 , variété

riemannienne S à courbure constante positive) Dans ce cas nous avons le type dit elliptique .

Dans la suite, nous étudierons la dynamique sur ces espaces-temps de RobertsonWalker pour un milieu fluide parfait relativiste.

b) Dynamique sur Robertson-Walker.

Nous considérons un milieu fluide parfait relativiste oÙ

Taâ = (p + P)u_auâ + Pgaâ oÙ

p est la densité de la matière; P est la pression; (u_a) est un vecteur unitaire temporel. g étant la métrique de (2.3) .

Nous prenons p = p(t), et P = P(t), u vecteur unitaire tel que u_r = uè = u_? = 0, Alors g_aâu^auâ = g00(u⁰)² = --(u⁰)² = --1 Donc, u⁰ = 1 ou u⁰ = --1.

Il est à noter que u qui est temporel est dit :

-- Orienté vers le futur si u⁰ = +1

-- Orienté vers le passé si u⁰ = --1

Nous obtenons donc pour le tenseur d'impulsion-énergie :

T00=p,Tii=Pgii; Taâ = 0 si á =6 â

T00 = g^0ëg⁰uT ëu = (g⁰⁰)²T00 = p

T ii = g ijgikT jk = Tii

(gii)2 = gii P

Táâ = g^áugâ^ëT_uë = 0 si á =6 â

Puisque P et p ne dépendent que du temps t , les équations de conservation du tenseur d'impulsion-énergie sont données par :

V_áT^á0 = 0 (2.4)

Déterminons ces équations.

VáT á0 = 8_áT^á0 + [á á1T10 + [0 _á1T á1 {

p si í = 0

or T 10 =

n

0 sino

p si á = í = 0

si á = í =6 0

0 si á =6 í

T á1 =

? ??

??

P gáá

D'où

VáT á0 = 8tT⁰⁰ + [á á0T00 + [0 _ááT áá = 8tp + [i i0T00 + [0 _iiT ii

Or [i i0 = aÿ a ; [0 11 = aÿa

1-kr2 ; [⁰₂₂ = r²aÿa et [0 33 = r²aÿasin² è

Donc

V_áT^á0 = 8tp+3 ^aÿ _ap+3 ^aÿ aP

V_áT^á0 = 0 ? a8tp + 3ÿap = -3ÿaP

? a³8tp+3a²ÿap= -3a²ÿaP

?

8t(pa³) = -P8t(a³) (2.5)

Ici a est le facteur d'expension cosmologique, qui est une fonction de t. Illustration dans le cas de la matière pure et de la radiation pure. Dans le cadre de notre travail, nous étudions les cas où

P = 0 (matière pure ou nuage de poussière)

P = ñ 3 (radiation pure)

Pour P = 0 , on obtient de (2.5) que

_dt(pa³) = 0

d (2.6)

Pour P = ñ ₃, on a :

8t(ña³) = -^ñ ₃8t(a³) ? 38t(ña³) + ñ8t(a³) = 0

? 3a³8tñ + 3ñ8ta³ + ñ8ta³ = 0

? 3a³8tñ + 3ñ8ta³ + 3ña²8ta = 0

? a³8tñ+ñ8ta³+ña²8ta = 0

? a³8tñ+3ña²8ta+ña²8ta = 0

? a³8tñ+4ña²8ta= 0 ? a⁴8tñ+4ña³8ta= 0 ? a⁴8tñ + ñ8ta⁴ = 0 ? 8t(ña⁴) = 0

Donc pour P = ñ 3 , on a

_dt(ña⁴) = 0

d (2.7)

Ecriture des équations d'Einstein dans un milieu fluide parfait relativiste.

Dans ce milieu, nous avons : u_r = uè = u_? = 0. Donc l'équation (2.1) se réduit à :

1

R00 + ₂R- A = 8ðT00 (2.8)

où _R00 est le tenseur de Ricci de g

R est la courbure riemannienne de g

Déterminons R00 et R

R00 = RÀ 0,À0

= 8ÀÀ ₀₀ - 8 tÀ _0À + À íÀ^õ 00 - À í0^õ 0À = -8tÀ _0À - À í0 ^õ0À

À=6í

( aÿ a si À = í =6 0 = -38t( aÿ a ) - 3( aÿ _a )2 car À í0 = 0 si

=-3 =-3

·aa-(ÿa)^2 a2 ·a a

3(^aÿ a)^2

Donc

R00=-3

·a a

(2.9)

Détermination des symboles de Christoffel associés à 5

Pour l'expression de la courbure riemannienne scalaire de g , déterminons les symboles de Christoffel associés à 5

Nous savons déjà que r^eás = ¹2g^e11[?ag11s + ?sga11 - ?11gas]

Tout calcul fait on trouve :

r0 = as

{

aÿa si á =3= 1 1-kr^2 r^2aÿa si á = 3 = 2 r^2aÿa sin^2 e si á =3 = 3 0 sinon

si á = 0 et 3=1

aÿ
a

{

_r1

=

as

kr si á = 3 = 1

1-kr²

- r(1 - kr²) si á = 3 = 2

- r sin² e(1 - kr²) si á = 3 = 3

0 sinon

- sin e cos e si á = 3 = 3

si á = 1 et 3=2

0 sinon

1
r

{

r2 =

as

si á = 0 et 3=2

aÿ
a

cos o si á = 2 et3=3

sin

1
r

0 sinon

si á = 1 et 3=3

{

r3 =

as

si á = 0 et 3=3

aÿ
a

Expression de la courbure riemannienne scalaire de g.

Nous avons :

R = Rg = gas Ras

= g ^aaRaa

= g aa Re a ,e0

= g ^aa [?e r^eáá -?áreáe+reueruáá-reuárõáe]

Donc

_R = g00 [?er^e00 - ?tr^e0e +reueru00 - reu0rn0e] + g¹¹[?er^e₁₁ -?rre _1e + re uer^u 11 -r^eu1r^õ1e]+

22

_ r rie

_{y L}?e' 22 - ?or^e2e +reueru22 - reu2r)2e] + g33 [?er^e33 - ?c,,r^e3e +reueru33- re u3r^õ 3e]

En remplaçant les coefficients _rás11 par leur valeur, on obtient :

g00 [8ëë 00 - 8të _0ë + ë íë^í 00 - ë _í0 õ 0ë] = 38t( ^aÿ _a) + 3( ^aÿ a)2
g11 [8ëë 11 - 8rë _1ë + ë íë^í 11 - ë í1^õ 1ë] = 2( aÿ _a )2 + a· a + 2k

_a2

g22 [8ëë 22 - 8èë _2ë + ë íë^í 22 - ë í2^õ 2ë] = 2( aÿ a )2 + a· a + 2k

_a2

g33 [8ëë 33 - 8?ë _3ë + ë íë^í 33 - ë í3^õ 3ë] = 2( aÿ a )2 + a· a + 2k

_a2

Donc

R = 38t( ^aÿ _a) + 9( ^aÿ _a)² + 3·a a + 6k

_a2

= ₃·aa-( ÿa)²

_a2 + 9( ^aÿ _a)² + 3·a a + 6k

_a2

=6

·a
a

- 3( ^aÿ _a)² + 9( ^aÿ _a)² + 6k

_a2

= 6[·a _a + ( ^aÿ a) ² + a2 k ] D'où

+ (aÿ )2 + a2 k] (2.10)

a

R=6[

·a
a

injectant (2.9) et (2.10) dans (2.8), on obtient : -3^·a + ¹ 26[·a a + ( ^aÿ _a)² + a2 k ] - ? = 8ðT00

a

? 3[( ^aÿ _a)²+ a2 k ]-?=8ðp ?

(aÿ )2 + k 8ðp A

a2 = 3 + (2.11)
a3

avec aÿ = da dt

(2.6) et (2.7) donnent

p= a3 A (matière pure) (2.12)

B

p = a4 (radiation pure) (2.13)

où A et B sont des constantes positives car p et a le sont. Ces deux relations montrent que p est connue dès que a l'est.