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Dynamique globale sur les espaces-temps de
Robertson-Walker
dans un milieu fluide parfait relativiste
Mémoire de DEA (Diplôme d'Etudes
Approfondies) en Mathématiques
Option: Analyse
Spécialité: Equations aux Dérivées
Partielles
Chendjou Gilbert
Mémoire soutenu le 29 Juillet 2004
devant le jury ainsi constitué:
Président Marcel DOSSA Maître de Conférence
(UYI)
Membre François WAMON Maître de Conférence
(UYI)
Rapporteur Norbert NOUTCHEGUEME Professeur (UYI)
Dédicaces
A mon oncle
Ç) le Père Jean-Marie SIGNIE.
A ma maman
Ç) DJUISSI Hélène.
A mon papa Ç) SAHJoseph.
A la mémoire de mes grand-parents.
Remerciements
Ce travail me donne l'occasion d'exprimer ma profonde
gratitude à tous ceux qui m'ont permis d'une façon ou d'une autre
de le concrétiser. Je rends grâce à Dieu tout puissant pour
tout ce qu'il ne cesse de faire pour moi.
- Je voudrais d'abord m'adresser au Professeur Norbert
NOUTCHEGUEME, celui même qui m'a proposé ce sujet et qui tout au
long de celui ci, a fait preuve de beaucoup de patience, de soutien et de
disponibilité. Mon seul regret est de n'avoir pas su trouver les accents
plus digne pour le remercier; mon souhait est de poursuivre les recherches
à ses côtés. Que le Seigneur le bénisse.
- Je tiens à remercier tous les enseignants du
Département de Mathématiques pour avoir guidé mes pas
jusqu'à ce jour; particulièrement au Professeur David BEKOLLE, au
Professeur Marcel DOSSA, au Professeur Françcois WAMON, et au Docteur
Gilbert MBIANDA.
- Jamais je n'oublierais le Père Jean-Marie SIGNIE, mon
oncle; les mots me manquent. Que serai-je sans toi? Tout simplement Merci.
J'exprime ma reconnaissance à toute ma famille, qui
malgré la distance et le temps, n'a cessé de me soutenir et de
m'encourager. Je vaudrais ainsi remercier ma très chère
mère DJUISSI Hélène de son amour, Dr. Joseph NZONGANG et
Mr.TALLA Rigobert de leur soutien de tout genre.
Je tiens aussi à remercier tous mes camarade de DEA,
ceux avec qui j'ai cheminé jusqu'à la réalisation de ce
travail ainsi que ceux de l'ENS de Yaoundé; j'ai nommé : R.
Kameugne, B. Ntakeu, B. Nguefack, L. Matamba, A. kwessi, D. Kengfack, S.P.
Moutombi, T.Chekouo, M. Kamga, E. Diékouam, C. Piémeu,
L.Tchoualac, J.J. Kengwoung, E.A.Yakam.
Je remercie Bernard Fotsing, Zéphirin Deffo,
Jean-Noél Nzongang, Hugues Chendjou et Serge Fogang pour leur soutien
moral.
- Je ne saurais oublier mes frères et soeurs : Albert
Chendjou, Guillaume Fotsing, Majouwé Solange, Tchabou Rose et
Ayouwé Charlotte pour leur assistance
permanante.
Enfin, Je dois beaucoup et je leur suis reconnaissant,
à tous les amis qui ont été toujours à mes
côtés pendant les moments difficiles. Merci à Giles
Fotsing, J.J Bankeu, B. Tchouembou, J.M Tchoukouegno, C. Bibai, H. Gallamo, G.
Nguengang, E.Takam, A. Djoukang, F. Eoné, N. Youmbi, P. Nkonlack, B.
Manga, M. Botchack.
Résumé
On se place dans un milieu fluide parfait relativiste. On
considère les équations d'Einstein sur les trois types
d'espace-temps de Robertson- Walker et on étudie pour ces
équations, l'existence globale des solutions dans le temps.
Abstract
Let us consider a relativistic perfect fluid environment; and
let us consider the equations of Einstein on the three types of Robertson-
Walker space-time. We study for these equations, the total existence of the
solutions in time.
Table des matières
Dédicaces i
Remerciements ii
Résumé iv
Abstract v
Introduction 2
1 Préliminaires : Variétes hyperboliques ou
lorentziennes 3
1.1 Exemples d'espace-temps 4
1.2 Tenseurs sur (v4,g) 4
1.3 Connexion sur V4 5
1.4 Expression locale de Vv 6
1.5 Expression locale de Vv(u) 7
1.6 Dérivée covariante d'un vecteur covariant.
7
1.7 Expression locale de Vw, o`u w E T*V4 8
1.8 Torsion de la connexion V. 8
1.9 Courbure de la connexion linéaire V 9
1.10 Connexion Riemannienne ou connexion de Levi-Civita sur (V4,
g) . . 10
1.11 Tenseur de courbure d'une variété riemannienne
10
1.12 Tenseur de Ricci, courbure scalaire 11
2 Equations d'Einstein & espace-temps de Robertson-Walker
13
2.1 Univers de la Relativité Générale et
espace-temps de Rob ertson-Walker. (R.W) 13
2.1.1 Cadre géométrique 13
2.1.2 Représentation de la matière. 14
2.2 Les équations d'Einstein 15
2.2.1 Les équations 15
2.2.2 Solutions classiques. 16
2.2.3 Espace-temps de Robertson-Walker : théorie de
l'univers en es-
pansion (Cosmologie) 17
2.2.4 Ecriture de l'équation
(2.11) dans les 3 types d'espaces temps
de Robertson -Walker. 22
3 Existence globale des solutions dans le temps des equations
(2.14) et (2.15) 24
3.1 Cas de la radiation pure 24
3.2 Cas de la matière pure 26
3.2.1 Existence globale des solutions pour les relations (3.9) et
(3.10) 27
3.2.2 Existence globale des solutions pour la relation (3.11)
28
Conclusion 30
Bibliographie 30
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