Approche discréte de la commande par mode de glissement d'une MAS avec orientation du champ

CHAPITRE -I-

MODELISATION DE L'ASSOCIATION

CONVERTISSEUR-MACHINE ASYNCHRONE

I. 1. INTRODUCTION

Le contrôle et la sûreté de fonctionnement d'une machine asynchrone, requièrent une approche pluridisciplinaire associant la physique, l'automatique et l'informatique industrielle de manière à appréhender la globalité des phénomènes.

La conception d'une chaîne de commande passe par une phase de modélisation, afin de dimensionner et de valider les stratégies de commande appliquées. Dans ce qui suit, nous proposons la modélisation de l'association convertisseur statique-machine asynchrone qui comporte : 

La modélisation du redresseur et du filtre ;

La modélisation de l'onduleur de tension et de sa commande.

Les machines électriques alimentées par les convertisseurs statiques sont utilisées comme des actionneurs rotatifs dans beaucoup d'équipements industriels à vitesse variable. Les caractéristiques exigées de l'actionneur dépendent à la fois, de la machine, de son alimentation et de la commande de l'ensemble (Figure-I-1-) [Bara-93].

Figure-I-1- : Ensemble actionneur

Ces caractéristiques sont :

- Un couple avec le minimum d'ondulations possible, contrôlable par le plus petit nombre de variables, en régime dynamique comme en régime permanent ;

- Une large plage de variation de vitesse ;

- Des constantes de temps électriques et mécaniques faibles [Bara-93].

I. 2. MISE EN ÉQUATIONS DE LA MACHINE ASYNCHRONE 

I. 2. 1. Description 

La machine asynchrone représentée sur la figure (Figure-I-2-) est constituée :

- D'un stator, qui comporte trois phases identiques décalées dans l'espace d'un angle de 2/3. Ce bobinage est relié à une source de tensions alternatives d'alimentation triphasée.

- D'un rotor, (à bagues où à cage d'écureuil), comportant trois phases identiques qui sont également décalées dans l'espace d'un angle de 2/3, mais qui sont court-circuitées.

Figure-I-2- : Représentation de la machine asynchrone

I. 2. 2. Hypothèses simplificatrices 

Afin de développer un modèle permettant une bonne description de la dynamique de la machine asynchrone qui est employée dans les étapes de conception et de la mise en oeuvre des différentes stratégies de commande présentées dans ce projet, il faut admettre comme approximation les hypothèses simplificatrices suivantes :

- Les circuits magnétiques ne sont pas saturés et sont parfaitement feuilletés ;

- Seuls les enroulements sont parcourus par des courants, dont la densité est supposée uniforme dans la section des conducteurs, (on néglige l'effet pelliculaire) ;

- La répartition des forces magnétomotrices dans l'espace est sinusoïdale (on ne tiendra compte que du fondamental) [Chat-83].

I. 2. 3. Equations aux tensions

Dans les conditions citées ci-dessus, les tensions statoriques et rotoriques, représentées sur la figure (Figure-I-2-) seront données comme suite :

Au stator :

(I-1)

Au rotor :

(I-2)

Les équations de fonctionnement de la machine seront données par les deux relations matricielles suivantes :

(I-3)

avec :

 ; (I-4)

(I-5)

On voit bien que le système d'équations (I-3) est à coefficients variables de . Sa résolution analytique dans ce repère reste très complexe. D'où la nécessité d'introduire la notion de transformation trigonométrique, ceci pour aboutir à un système à coefficients constants.

I. 3. MODÈLE DE PARK DE LA MACHINE ASYNCHRONE

Afin d'aboutir à un modèle mathématique plus simple que le modèle réel du système, nous utiliserons des transformations orthogonales. Nous obtenons donc, des équations plus simples par des changements de variables appropriés. Parmi ces transformations, nous utiliserons celle de PARK [Chat-83]. La figure (Figure-1-3-) représente clairement cette transformation des axes réels « a, b, c » aux axes « d et q ».

Figure-I-3-  : Passage du triphasé au biphasé

d

_s

q

V_qs

i_qs

i_qr

V_ds

i_ds

i_dr

i_A

i_C

i_B

(a) A

a

b

B

A

C

V_a

V_c

V_b

a

c

I. 3. 1. Transformation de PARK 

Cette transformation est définie par sa matrice [A()] telle que :

(I-6)

Les courants, les tensions et les flux se transforment de la manière suivante :

(I-7)

Les vecteurs [i_dq], [V_dq] et [_dq] sont les vecteurs obtenus par la transformation de PARK de ceux des vecteurs réels [i_abc], [V_abc] et [_abc].

La matrice de PARK écrite sous cette forme est orthogonale, ce qui conduit à l'égalité des valeurs efficaces des grandeurs physiques dans les deux repères. De ce fait, la conservation de la puissance pour ce changement de repère est vérifiée.

L'orthogonalité nous permet d'écrire :

(I-8)

Donc :

(I-9)

I. 3. 2. Application de la transformation de PARK à la machine asynchrone

I. 3. 2. 1. Equations des tensions 

En appliquant la transformation de PARK aux équations (I-1) à (I-7), nous obtenons le système d'équations suivant [Barr-82] :

(I-10)

avec :

Notons que, l'angle « » prend la valeur « _s » pour les grandeurs statoriques et la valeur « _s - » pour les grandeurs rotoriques.

I. 3. 2. 2. Equations des flux 

Les relations entre les flux et les courants sont données par [Barr-82] :

(I-11)

I. 4. CHOIX DU RÉFÉRENTIEL 

On distingue trois types de référentiels, à savoir :

- Référentiel lié au stator ;

- Référentiel lié au rotor ;

- Référentiel lié au champ tournant.

Dans notre étude, nous allons travailler avec le référentiel lié au champ tournant.

I. 4. 1. Référentiel lié au champ tournant

Ce référentiel est caractérisé par « _e = _s », dans ce cas les grandeurs rotoriques et statoriques en régime permanent, sont continues. Il est donc préférable d'utiliser ce référentiel lors de l'étude de la commande de la machine asynchrone.

Les équations de la machine dans ce repère s'écrivent de la manière suivante :

(I-12)

avec :

I. 5. CALCUL DU COUPLE ÉLECTROMAGNÉTIQUE 

Le couple électromagnétique est défini par la relation suivante :

(I-13)

D'où :

(I-14)

I. 5. 1. Equation mécanique 

En appliquant les lois fondamentales de la dynamique à la machine, l'équation mécanique sera donnée par la relation suivante :

(I-15)

Ainsi l'équation mécanique peut être formulée de la façon suivante :

(I-16)

I. 6. MISE SOUS FORME D'EQUATION D'ETAT 

Nous choisissons dans tous ce qui suit, le vecteur comme vecteur d'état et les grandeurs V_ds ,V_qs comme variables de commande. Ainsi, nous exprimons {} en fonction du vecteur choisi, d'où :

(I-17)

En remplaçant _qs, _ds, en fonction de _qr, _dr, dans le système (I-12), nous aboutissons aux équations suivantes :

(I-18)

D'après (I-12) nous aurons :

(I-19)

Le modèle mathématique de la machine asynchrone sous les hypothèses citées et avec une alimentation en tension, en fonction des variables d'état est donné par le système suivant :

(I-20)

avec  ;  ;

I. 7. MODELISATION DE L'ALIMENTATION DE LA MACHINE 

Nous présentons la modélisation de l'étage d'alimentation de la machine asynchrone qui est composé d'un onduleur de tension, contrôlé par la technique de modulation de largeur d'impulsion (MLI), et d'un redresseur à diodes alimentant cet onduleur. Un filtre passe-bas a été introduit afin de filtrer la tension redressée et de réduire les ondulations du courant d'entrée (Figure-I-4-).

Figure-I-4- : Association redresseur - filtre - onduleur de tension - MAS

I. 7. 1. Modélisation du redresseur 

Le redresseur peut être schématisé par la figure (Figure-I-5-).

Figure-I-5- : Redresseur à diodes.

D_i conduit si V_i = max (V_j) ; j=1,2,3 ; i=1,2,3

(I-21)

D_i' conduit si V_i = min (V_j) ; j=1,2,3 ; i=1,2,3

Pendant chaque séquence de conduction la tension de sortie du redresseur U_d est :

(I-22)

avec :

V_i = max(V₁ , max(V₂ , V₃)) (I-23)

V_k = min (V₁ , min(V₂ , V₃)) (I-24)

Par conséquent :

(I-25)

I. 7. 2. Modélisation du filtre 

Le filtre ( LC ) est schématisé par la figure suivante (Figure-I-6-):

Figure-I-6- : Filtre (LC)

Ce filtre est modélisé par les équations suivantes :

(I-26)

La fonction de transfert du filtre est donnée par la relation suivante :

(I-27)

C'est un filtre de deuxième ordre avec une fréquence de coupure égale à :

(I-28)

Le choix des valeurs de l'inductance et de la capacité, peut être obtenu en posant la condition simple qui consiste à éliminer les harmoniques d'ordre supérieur à deux, ceci étant vérifié par le fait qu'elles ont une fréquence égale ou supérieur à deux fois celle du fondamental, ce qui conduit à la condition suivante :

f_c 2f donc L_f C_f 2.77 10^-6

nous choisissons L_f C_f = 25 10^-6 et nous optons pour les valeurs suivantes [Bens-95] :

L_f = 100 mH ; C_f = 250 uF

I. 7. 3. Modélisation de l'onduleur de tension 

L'onduleur utilisé est un onduleur à trois bras, dont chaque bras est constitué par deux interrupteurs bidirectionnels. Un interrupteur est composé par un transistor T_i et d'une diode D_i. La commande des transistors est complémentaire, d'où nous pouvons remplacer chaque bras de l'onduleur par un interrupteur à deux positions (K_i) comme indiqué sur la figure (Figure-I-7-).

Figure-I-7- : Représentation des transistors par des interrupteurs

On définit les fonctions logiques de connexion par  (i = 1, 2, 3) :

0 si T_i est fermé et T_i^' est ouvert

F_i = (I-29)

1 si T_i est ouvert et T_i^' est fermé

Les tensions de sortie de l'onduleur sont données par :

V_ab = U_f (F₁ -F₂)

V_bc = U_f (F₂ -F₃) (I-30)

V_ca = U_f (F₃ -F₁)

Par conséquent, les tensions simples sont exprimées de la manière suivante :

(I-31)

Le courant i_s à l'entrée de l'onduleur sera donné par la relation suivante

(I-32)

I. 8. MODULATION DE LARGEUR D'IMPULSIONS (M.L.I) 

La stratégie triangulo-sinusoïdale :

La (M.L.I), permet l'obtention des alternances de la tension de sortie qui est formée de plusieurs créneaux. Ceci peut être fait en adoptant des techniques de commande des interrupteurs, il en existe plusieurs, à savoir la stratégie triangulo- sinusoïdale, la stratégie hystérésis [Abde-99]. Dans ce travail, nous nous intéressons à la première technique.

Cette stratégie dont le principe est basé, sur la variation de l'amplitude de la référence « vr₁ », et la fixation de celle de la porteuse « up₁ », qui est représentée par un signal triangulaire.

L'onde de sortie, est alors obtenue par une simple comparaison des deux ondes, donnant ainsi l'ordre d'allumage où d'extinction aux composants constituant l'onduleur.

Dans cette technique (Figure-I-8-), il faut définir deux paramètres qui sont :

- L'indice de modulation  « m » qui représente le rapport entre la fréquence de la porteuse  « f_p » à la fréquence de la référence «  f  » désirée.

- Le coefficient de réglage en tension  « r » qui représente le rapport entre l'amplitude de l'onde de référence à la valeur de crête de l'onde porteuse.

Figure-I-8-  : Principe de la technique triangulo - sinusoïdale

(m = 21, r = 0.8)

I. 9. MODELE DE L'ASSOCIATION CONVERTISSEUR-MACHINE 

Cette association, peut être schématisée par la figure (Figure-I-9-)

Figure-I-9-  : L'association convertisseur- machine

Ainsi, nous présentons le modèle de cette association sous forme d'équation d'état telle que :

I. 10. SIMULATION ET INTERPRÉTATION 

Les figures (Figure-I-10-a-) et (Figure-I-10-b-), représentent les résultats de simulation de l'association convertisseur-machine asynchrone respectivement à vide et lors d'une application d'un couple résistant de 10 N.m entre t = 0.5s et t = 1s.

Ainsi, nous remarquons que :

- Le couple électromagnétique varie en premier lieu d'une façon très oscillatoire, il atteint une valeur de crête d'environ 60 N.m  au démarrage, ceci pour vaincre l'inertie du moteur, ensuite, il revient à une valeur qui compense les pertes par frottement une fois le régime permanent est atteint, ceci d'une façon peu oscillatoire.

- La vitesse de rotation atteint, la vitesse du synchronisme (1500 tr/mn) après le régime transitoire qui dure environs 0.38s.

- Les flux rotoriques (respectivement, direct _dr et en quadrature _qr ) atteignent les valeurs de (-0.96 Wb respectivement -0.05 Wb) en régime établi.

- La forme du courant statorique i_a est proche d'une sinusoïde, ceci au régime établi et avec une même fréquence que celle du réseau. Sa valeur de crête est de 3.60A or pour le régime transitoire, il a une valeur de crête d'environs 20A.

- Enfin, pour une perturbation de  10 N.m, nous constatons une diminution de la vitesse. Les flux rotoriques direct et en quadrature sont également affectés par cette perturbation, ce qui explique le fort couplage existant entre les enroulements de la machine.

Figure-I-10-a-  : Conduite du moteur asynchrone alimenté par un onduleur commandé par la technique triangulo - sinusoïdale (m = 21,r = 0.8)

à vide.

Figure-I-10-b-  : Conduite du moteur asynchrone alimenté par un onduleur commandé par la technique triangulo - sinusoïdale (m = 21, r = 0.8)

avec introduction d'une charge de 10 N.m entre t = 0.5s et t = 1s

I. 11. CONCLUSION 

Dans ce chapitre, nous avons modélisé l'association convertisseur-moteur asynchrone en vue de l'étude de ses performances, l'onduleur étant contrôlé par la stratégie triangulo- sinusoïdale.

Dans la plupart des entraînements utilisant ce genre de moteur, une perturbation influe considérablement sur la vitesse d'entraînement, donc sur la grandeur à commander. Ceci rend le fonctionnement en boucle ouverte très fragile, ne répondant pas aux exigences d'un entraînement à vitesse constante. Ceci est dû au fort couplage entre les enroulements du moteur.

Pour remédier à cette difficulté et rendre le modèle de la machine simple et découplé, nous appliquons à cette dernière une commande à flux orienté.

CHAPITRE -II-

COMMANDE VECTORIELLE

DE LA MACHINE ASYNCHRONE