Une description de differentes options exotiques à partir du modèle de Cox Ross et Rubinstein sur quelques periodes

UNIVERSITE MONTESQIEU BORDEAUX IV

Une description de différentes options

exotiques à partir du modèle de Cox

Ross et Rubinstein sur quelques

périodes.

MÉMOIRE

soutenu le 20 mai 2008
pour l'obtention du

Master 1 Mention Ingénierie Mathématique, Statistique et
Economique

(Ingénierie Economique)
par

Richard Jean-Charles

Composition du jury

Mme. Christine Marois

Melle. Benoite de Saporta

Remerciements

Je tiens à remercier Mme. Christine Marois, responsable de loption, pour mavoir conseillé et encadré tout au long de ce travail

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION 1

Partie I Introduction du modèle 4

CHAPITRE 1:

LE MODÈLE DE COX ROSS RUBINSTEIN

1 Les hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Le modèle sur une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Le modèle sur T périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Les options dans le modèle CRR . . . . . . 12

5 Un choix de u, d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Partie II Quelques options "path independent" 17

CHAPITRE 1:

LES OPTIONS BINAIRES

1	L'option cash or nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		18
	1.1	Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
	1.2	Expression mathématique. . . . . . . . .	20
	1.3	Convergence du modèle de Cox Ross Rubinstein	21
2	L'option asset or nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		25
	2.1	Exemple ....... . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
	2.2	Expression mathématique. . . . . . . . .	26
	2.3	Convergence du modèle de Cox Ross et Rubinstein	28
3	La formule de Black et Scholes. . . . . . . . . . . . . .		30

CHAPITRE 2:

LES OPTIONS SUR OPTIONS 34

Partie III Quelques options path dependent 41

CHAPITRE 1:

LES OPTIONS LOOKBACK

1 Le call lookback fixe européen . . . . . . . . . . . 2 Le call lookback flottant européen . . . . . . . . . . 3 Evaluation du call lookback flottant pour r = ó 2 . . . . . .	. . . . . . . . .	44 45 47
CHAPITRE 2: LES OPTIONS BARRIÈRES	52
1 Evaluation par l'arbre binomial . . . . . . . . . . . . . . .	. .	54
CONCLUSION	60
BIBLIOGRAPHIE	61
		iv

Table des figures

1	Arbre binomial à une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2	Arbre binomial à trois périodes . . . . . . . . . . . . .	8
1	Exemple du payoff cash or nothing K=100, Q=10, T=1 an	18
2	Evaluation du call cash or nothing dans l'arbre binomial	19
3	Exemple du payoff asset or nothing K=100T=1 an	25
4	Evaluation du call asset or nothing dans l'arbre binomial	26
5	Exemple de payoff de l'option vanille K=80, T=1 an	30
6	Evaluation d'un call vanille . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
7	Convergence vers Black et Scholes . . .	33
1	Evaluation d'un call sur call . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
2	Evaluation d'un put sur put . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
3	Evaluation d'un call sur put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
4	Evaluation d'un put sur call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
1	payoff du call lookback fixe . . . . . . . . .	43
2	payoff du call lookback flottant . . . . . . .	43
3	arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice fixe	45
4	arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice flottant	46
5	Encadrement de la trajectoire de St . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48

6 Le principe de réflexion du brownien . . . . . . . . . . . 49

7 Call lookback flottant pour r = ó 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 exemple de barrière up-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Le problème de la barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 encadrement de la barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 encadrement de la barrière sur un noeud . . . . . . . . . 57

5 Option up and out avant interpolation . . . . . . . . . . 58

6 Option up and out après interpolation . . . . . . . . . . . 59