Théorie de la Reconstruction Rationnelle. Programmes de Recherche et Continuité en sciences

I.1.1.b. Vérification et vérité

Dire que les vérités scientifiques s'inscrivent dans des énoncés appartenant à des systèmes d'expression, c'est aussi rattacher, dans une certaine mesure, l'idée de vérification à celle de vérité. Cette identité « vérité-vérification » ne va pourtant pas de soi et se réalise différemment selon qu'il s'agit des sciences expérimentales ou des sciences formelles. Les lignes qui suivent se permettent un détour afin d'interroger le problème du rapport « vérité-vérification » dans ces deux types de sciences afin de répondre à la question de savoir comment et dans quelle mesure la vérité d'un énoncé dépend des différents aspects et des conditions de fonctionnement des symbolismes.

I.1.1.c. La vérification dans les sciences formelles

La typologie^29(*) de la vérification mathématique distingue : d'abord, la vérification d'un résultat d'opération simple, ensuite la vérification comme calcul et enfin, la vérification des énoncés géométriques. Eu égard à cette typologie, la vérification consiste à constater le résultat des opérations simples ou complexes. A strictement parler, ce constat s'opère avec les énoncés élémentaires de l'arithmétique dans lesquels les opérations peuvent se détacher de leurs réalisations empiriques. Dans le cas des énoncés géométriques, les opérations sont difficilement détachables de leur contenu ; la vérification de ces énoncés est une mise en forme du concept d'approximation. En ce sens, à la vérification s'ajoute un effort de démonstration visant à établir la vérité. Vérification et démonstration se co-déterminent ; leur association fait de la vérification un établissement de sens^30(*), et finalement un auxiliaire de la démonstration.

I.1.1.d. La vérification comme auxiliaire de la démonstration

Depuis Nicolas Bourbaki, on sait que : qui dit mathématique, dit démonstration. On sait aussi que vérifier, c'est calculer. C'est que la convergence « vérifier-démontrer » se rattache à l'idée du calcul et que le rôle joué par la vérification dans la pensée mathématique dépend en grande partie de l'importance de la nature des objets formels que manipule la pensée.^31(*) Il sied alors de s'interroger sur le type de rapport existant entre vérification et démonstration dans la rationalité mathématique. La réponse à cette question nous invite à considérer ce lien d'abord au niveau du calcul des énoncés, ensuite dans l'axiomatique mathématique.

Le calcul des énoncés établit une équivalence entre la vérification et la démonstration, dans la mesure où ce calcul vise à affirmer la vérité d'un énoncé sur la base des règles d'un système symbolique. J. C. Akenda explique ce rapport en ces termes :

« Le calcul des énoncés est un domaine de la pensée où il y a une nette disparition de contenus formels qui sont substitués aux corrélations des objets à des opérations purement formelles. La disparition des contenus fait que la vérification dans le calcul des énoncés signifie démonstration^32(*) ».

Cette équivalence peut s'illustrer en Logique dans le calcul propositionnel, notamment avec les méthodes de décision que sont la méthode des tables de vérité, la méthode par l'absurde, etc. La recherche des tautologies montre bien que le résultat vérifié vaut une démonstration. On peut donc conclure que toute vérification-démonstration de type tautologique est vraie et cohérente du fait qu'elle obéit au principe de non-contradiction.

Les axiomes mathématiques trouvent leur plein sens dans un univers purement abstrait où ils constituent des possibilités et des contraintes opératoires. Dans cet univers, la vérification consiste à constater immédiatement l'adéquation entre un énoncé et les résultats opératoires qui portent sur des objets vidés de leur substance. Elle est donc synonyme de l'analyse en vue de démontrer la non-contradiction et la certitude des théorèmes mathématiques les plus complexes.

Cependant, l'idéal de rigueur et de non-contradiction qui confère aux mathématiques leur autorité est très fortement critiqué par Gödel, Jean Ladrière et même par Imre Lakatos. Chez ce dernier précisément, la logique de la découverte mathématique telle q'elle est déployée dans Preuve et réfutations montre clairement que les mathématiques ne sont pas une rationalité toute faite. Leur rationalité, les preuves et les théorèmes portent une histoire, et se constituent au coeur d'une discussion houleuse entre mathématiciens. La construction des preuves laisse entrevoir un rôle majeur joué par l'erreur au sein des mathématiques. La vérité des théorèmes émerge donc de l'erreur. C'est ce que Lakatos affirme en ces termes :

« La validité pragmatique d'un théorème est le résultat d'un processus d'évaluation mis en oeuvre par la communauté mathématique (communauté de lecteurs de revues, congrès,...) En fait : « les erreurs mathématiques sont corrigées, non par la logique formelle symbolique, mais par d'autres mathématiciens ». L'erreur, qui ne peut être écartée définitivement des productions individuelles ne saurait l'être de productions collectives, ni même des jugements collectifs. Ainsi nous soutenons que si l'on peut affirmer et montrer la fiabilité du système de production scientifique que sont les mathématiques, cela ne signifie pas leur infaillibilité^33(*) ».

C'est-à-dire que dans le système logico-formel de vérification-démonstration mathématique ou dans la constitution même de ce système, l'erreur, l'irrationnel sont très présents. Ce qui remet en cause la prétention des mathématiques à une vérité établie indubitable. Dans la mesure où Lakatos s'inscrit dans une philosophie faillibiliste à côté de laquelle évolue la pensée mathématique, il justifie son projet de défendre l'existence des mathématiques non formelles et non formalisées, dont le contenu de vérité et des preuves s'accroît au coeur de la discussion^34(*).

* ²⁹ La typologie de la vérification dans la rationalité mathématique distingue trois nivaux :

a) La vérification d'un résultat d'opération simple

C'est le type de vérification courant dans les énoncés de l'arithmétique élémentaire. Gille Gaston Granger définit cette forme de vérification de deux manières. Elle est d'abord : « la projection des abstraits dans l'empirie et le constat empirique d'un résultat qui contraigne et qui est indépendant de la spécificité matérielle, sensible des objets choisis comme projection des abstraits » (GRANGER, G. G., La vérification, Paris, Odile Jacob, 1992, p. 89). Autrement dit, vérifier une opération arithmétique, c'est projeter des nombres abstraits dans l'expérience. Ces nombres sont abstraits mais doués à la fois du statut d'objet et du statut opératoire. La vérification arithmétique est, d'après J.C. Akenda, l'adéquation d'un schème abstrait aux opérations empiriques (Cfr. AKENDA K., J. C., op. cit., p. 243). Vérifier, c'est aussi, « Appliquer dans l'univers abstrait des nombres, des définitions et des axiomes, non pas dans un esprit déductif, mais en itérant, en conformité avec définitions et axiomes, une opération un nombre fini de fois » (GRANGER, G. G., op. cit., p. 90). La vérification renvoie ici à la capacité de compter des résultats d'opérations abstraites effectives avec les définitions des objets abstraits. D'après Granger, cette première forme de vérification réussit grâce à une sorte de contrainte interne propre au système d'objets de pensée. Un privilège de l'arithmétique consiste à constater l'immédiateté de l'adéquation des schèmes opératoires aux objets dont elle détermine les propriétés comme pertinentes. Aussi est-on en droit de dire à propos de la première forme de vérification qu'elle est l'itération finie d'une opération élémentaire sur les objets et la reconnaissance de ces objets ainsi corrélativement produits (Idem, p. 245).

b)La vérification comme calcul

En tant que calcul, la vérification se caractérise par la complexité des opérations. Vérifier consiste soit à effectuer ou à simplifier un énoncé qui se présente comme une formule afin d'aboutir à un résultat, soit en l'assertion d'une valeur à ce résultat. Ce calcul vérificateur vise à attribuer la valeur « vrai » ou « faux » à l'énoncé.

Cette forme de vérification possède la double caractéristique de faire apparaître l'aspect technique et de faire ressortir la nécessité d'examiner sa dépendance relativement à la nature même des objets sur lesquels portent les énoncés à vérifier (Idem, p. 245).

c) La vérification des énoncés géométriques

Les énoncés géométriques sont représentés dans une figure : un triangle, un polyèdre, par exemple. La vérification de tels énoncés consiste à projeter dans l'empirie des concepts abstraits et des opérations sur ces concepts. Le résultat de ces opérations dépend en général du contenu intuitif lié à l'empirie. Ici la vérification traite avec des objets que Husserl appelle des objets idéaux. Ces objets géométriques n'ont pas la netteté et le caractère décisoire des objets des deux premières formes de vérification mathématique.

* ³⁰ Ibidem, p. 247.

* ³¹ Cfr. GRANGER, G. G., op. cit., p. 97.

* ³² AKENDA K., J. C., op. cit., p. 248.

* ³³ LAKATOS, I., Preuve et réfutations. Essai sur la logique de la découverte mathématique, p. xvi.

* ³⁴ Cfr. Idem, p. 5.