2.4.3.3 Ondelettes usuelles
Un exemple très simple mais très utile pour
illustrer les meilleures propriétés des ondelettes, est
l'ondelette de Haar, où l'on peut illustrer facilement les
propriétés de la fonction d'échelle et de l'ondelette.
Cette ondelette a aussi des utilisations pratiques.
Fonction d'échelle, elle est définit par :
Ö = 0 ailleurs
( )
x ?? = =
? 1 si 0 x 1 2.17
Le sous espace V0 est étendu par la
fonction d'échelle Ö(x - k), qui est
formée de translations entières de la même fonction. Les
sous espace V1 est étendu par Ö(2x -
k) qui est formée de translations de k /2 de la
fonction d'échelle sur un intervalle de 1 / 2. En général,
Vj est étendu par des translations de j
k / 2 de la fonction d'échelle sur un
intervalle de j
1 / 2 . Les relations de double échelle de l'ondelette
de Haar sont :
Ö x = ? p k Ö x
- k = Ö x + Ö x -
( ) (2 ) (2 ) (2
k
Avec p0 = p1 =1 et
pj = 0,?j
1) 2.18
25 -
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
L'ondelette de Haar ø correspond à la
fonction d'échelle de Haar Ö(x) donnée par
:
1
=
= x
1 si 0
2
2.19
-
1
=
x 1
<
1 si
2
Ö x
( )
0 ailleurs
?
· Relations de décomposition et de
reconstruction Les relations de reconstruction sont données par
:
?? ø ( )
?
??
11
1 1
-
?Ö ( )
x ? ?
x ?? = ??
? Ö ( )
2 x ?
?? ø ( )??
2 1
x -
2.20
Les relations de décomposition sont l'inverse des celles
de reconstruction et il sont données par:
?
??
ø
?
??
? Ö
??ø
Ö ( )
x ?
x ??
( )
?1 1
??1 1
-
( )
2 x?
( )??
2 1
x -
2.21
II existe plusieurs autres ondelettes usuelles telles que:
l'ondelette de Daubechies. [2.9] 2.4.3.4 Ondelettes sur un
intervalle
Les ondelettes définies sur un intervalle le sont sur
un ensemble compact, tel qu'un intervalle unidimensionnel ou bidimensionnel.
Pour être spécifique, nous pouvons considérer le cas d'une
fonction f(x) définie sur un intervalle [a, b] et telle que f(x) est
nulle à l'extérieure de [a, b]. Les ondelettes comportent des
discontinuités aux points d'extrémités a et b, et sont
efficaces pour détecter les singularités. [2.8]
Pour construire des ondelettes bornées sur un
intervalle, considérons un ensemble fini de fonctions linéaires
et indépendantes Ö 0,....,Ö m-1
définies sur cet intervalle et supposons
V0 l'espace vectoriel étendu par ces
fonctions, en observant que pour une fonction d'échelle Ö on
considère un ensemble fini de fonctions d'échelle.
26 -
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
Comme exemple des ondelettes sur un intervalle, citons parmi
d'autres :
· L'ondelette linéaire et quadratique de
Legendre, l'ondelette de premier ordre et de second ordre de
Flatlet et l'ondelette borne de Meyer. [2.9]
2.4.3.5 Ondelettes multidimensionnelles
Une méthode simple pour obtenir des ondelettes
multidimensionnelles est d'utiliser le produit tensoriel.
Considérons : Ö ( x , y ) = Ö
( x ) ? Ö ( y) 2.22
|
?
= = 1 ?2 Ö - - ?
f f x y x k y k L Z
( ) ( ) ( )?
2 2
V : , , ,
0 , 1 2
? ë ë
k k ?
1 2
? k k
, ?
|
2.23
|
Si Ö(x-l)/l? Z est un
ensemble orthonormale, alors
Ö(x-k1,y-k2)
forme une base orthonormale de V0. Par une échelle
dyadique on obtient une analyse multirésolution
deL2(R2). Le
complément W0 de V0 dans
V1 est de façon semblable
généré par la translation des trois fonctions :
ø ø ø ø ø ø
ø
( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 )
= Ö ? = ? Ö = ? 2.24
Par décomposition d'une seule dimension pour chaque
variable, on obtient :
f x y f i l j k
( )
, , ( x, y )
= ?? ø , ? ø , ø
? ø 2.25
i,l j ,k
i l j k
, ,
Les fonctions øi,l ?øj,k
impliquent deux échelles, - i
2 et - j
2 , et chacune est supportée
sur un rectangle. Pour cela cette décomposition est
appelée décomposition rectangulaire d'ondelette. [2.8]
27 -
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
2.5 Bancs de filtres
2.5.1 Notion des bancs de filtres
La théorie des ondelettes trouve ses fondements dans la
théorie des bancs de filtres couramment utilisée en traitement du
signal et en télécommunication.
L'idée est de séparer le signal original en
plusieurs bandes de fréquence (basse fréquence et haute
fréquence) pour mieux le traiter et le transmettre. Au récepteur,
on reconstruit le signal en rassemblant ces diverses bandes (voir la
figure 2.4). Le problème est de savoir comment on peut avoir un
signal reconstruit X identique au signal original
X0.
Figure 2.4 : Banc de filtres (banc
d'analyse/synthèse à un étage)
En utilisant les notations de la figure 2.4, on
rappelle qu'une décimation par M implique (notation avec la
transformée en z) :
- 2 ð jk
? ?
1 / M
? l 2.26
M ?
? ?
Et en suite une interpolation par M : ( ) ( M
)
Y Z = X 0 Z 2.27
28 -
Bancs d'analyse Bancs de synthèse
ha, ga hs, gs
X0
Original
ha
2 2
hs
ga
2
2
gs
X
Reconstruite
Y : décimation par M
X0 M Y : Interpolation par M
X0
M
M - 1
Y Z X Z
( ) ?
= 0
k 0
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
Dans le cas de filtres orthogonaux, l'énergie des
coefficients transmis est la même que celle du signal original. Tandis
que dans le cas ou les filtres sont biorthogonaux, ce n'est pas le cas. Par
contre, dans les deux cas, on reconstruit un signal identique à
l'original mais avec une phase pouvant être différente. Il est
bien connu [2.10 ; 2.11] que le seul banc de fiItres RIF réels ayant une
phase linéaire est celui avec des filtres de Haar.
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