2.1.2. Présentation du
modèle.
Selon Romdhane (2006), il existe deux approches dans la
construction des scores d'efficience ; l'approche orientée vers l'input,
définie comme la possibilité de produire à partir d'une
quantité minimale d'input afin de produire une quantité
donnée d'output et l'approche orientée vers l'output,
définie comme la possibilité de produire à partir d'un
input donné le maximum d'output. Selon la première approche, on
peut calculer de combien on doit réduire la quantité d'input sans
varier la quantité d'output pour avoir une production efficiente. La
seconde approche, permet de calculer de combien on doit augmenter l'output sans
modifier la quantité d'input. Ces deux approches conduisent à
l'estimation des mesures d'efficiences techniques de plusieurs inputs ou
outputs. Elles donnent le même résultat sous l'hypothèse
des rendements d'échelle constants car elles identifient le même
ensemble de producteurs efficients/inefficients ou d'unités de prises de
décisions (DMU). Ces mesures ou indicateurs d'efficience
peuvent être calculées à partir de la méthode DEA.
Il s'agit d'un programme linéaire non paramétrique qui suppose
que les indicateurs d'efficience se trouvent sur une courbe convexe ;
appelée frontière d'efficience. Cette frontière doit
être estimée afin de dégager ensuite les points
efficients.
Le calcul des scores d'efficience repose sur l'approche
orientée vers l'input. Celle-ci permet d'évaluer de combien la
quantité d'input doit être réduite sans faire varier la
quantité d'output. En d'autres termes « de combien faut-il
diminuer les dépenses publiques [dans les secteurs de l'éducation
et de la santé] tout en gardant le même niveau de
rentabilité de ces dépenses ? ». Par exemple
si le score d'efficience dans un pays donné est de 10%, alors 90% des
dépenses publiques ne contribuent pas efficacement à la
production des services publics. Cette méthode orientée vers les
inputs est plus pertinente car elle permet de dégager des
résultats plus utiles aux décideurs politiques. Comme Romdhane
(2006), nous retenons dans le cadre de notre travail une approche
monétaire, c'est-à-dire que les inputs considérés
sont des variables financières et non pas des variables quantitatives.
Cette méthode permet notamment de vérifier si les pays qui
dépensent le plus dans les services militaires sont les plus
performants.
On suppose l'existence de k inputs et de
m outputs pour n DMU. Pour un
DMU i, yi est le vecteur en colonne
des outputs et xi est le vecteur en colonne des inputs.
X (k×n) est la matrice des inputs et Y
(m×n) est la matrice des outputs.
L'objectif de la méthode DEA est de construire une
frontière non paramétrique de telle sorte que toutes les
observations se trouvent en dessous ou sur cette courbe. D'où la
nécessité d'introduire les ratios outputs/inputs dans la
spécification. C'est-à-dire que pour chaque DMU, on
obtient une mesure de tous les inputs par rapports aux outputs tel que
u'yi /v'xi où u est
un (m×1) vecteur des pondérations des outputs et v
est un (k×1) vecteur des pondérations des inputs.
Afin de sélectionner les pondérations optimales,
on spécifie le problème de programmation mathématique
suivant :
S/C  (6)
et 
u et v sont des scalaires
associés à chaque DMU tel que l'efficience est
maximisée et elle ne peut pas dépasser une valeur unitaire.
Néanmoins, la résolution de ce programme peut
générer une multiplicité de solutions (par exemple si
(u*, v*) est une solution, alors (á u*,
áv*) l'est aussi). Donc, une contrainte supplémentaire
est nécessaire pour éviter ce problème.
Le programme peut alors être réécrit de la
manière suivante :
S/C  (7)
et 
La dualité de la programmation linéaire nous
permet de dériver une forme d'«enveloppement» de ce
problème dans le contexte de rendements d'échelle
variables :
S/C  (8)
 et 
Où è est un scalaire,
ë est un (n×1) vecteur de constantes et où
n1'ë=1 implique la convexité de la courbe
d'efficience. Cette forme de programmation, qui implique moins de contraintes
que la forme précédente (k+m<n+1), est
généralement la préférée dans la
résolution de ce type de problème.
La valeur obtenue de è est le score
d'efficience pour un (DMU) i. Elle doit satisfaire la
condition è ?1. Si è=1, alors
on se trouve sur la frontière d'efficience et la DMU est techniquement
efficiente. (1- è) est la quantité d'input qu'il
faut réduire sans modification d'output pour avoir une production
efficiente. Ce problème de programmation linéaire doit être
résolu n fois (car on a n DMU) afin d'obtenir une valeur de
è pour chaque DMU.
2.2. Estimation des scores
d'efficience, présentation et analyse des
résultats.
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