Economie experimentale et théorie des jeux.

Section-2- Formalisation et analyse des jeux

non coopératifs et des jeux

coopératifs

2-1- Les jeux non coopératifs

Un cas particulier de jeux non coopératifs est le « jeu à deux joueurs de somme nulle », comme les échecs et les dames. Dans de tels jeux, l'absence de coopération vient de la nature des gains et non des règles du jeu. Les jeux à deux joueurs de somme nulle sont utilisés pour illustrer ou présenter la théorie des jeux non coopératifs.

Lorsque les ensembles de stratégies sont finis, la forme normale des tels jeux se présente comme un tableau à deux entrées qui sont les stratégies possibles de chaque joueur. Les éléments du tableau ci-dessous sont les gains du joueur I, ceux du joueur II leur étant opposés :

1 2	S1^2	...	Sj^2	...	S1^2
S1^1	a1 1				A1 n
...
Si^1	ai 1		ai j		Ai n
...
Sm^1	am 1				Am n

a_{i j}= R_I (S_i¹, S_j² ) = - R_II (S_i¹, S_j² )

La forme normale d'un jeu non coopératif à n joueurs est représentée par un tableau à n entrées qui sont les stratégies de chaque joueur, les éléments du tableau étant les listes des gains de chacun des joueurs correspondant au choix d'une stratégie par chacun d'eux. lorsque les ensembles de stratégies ne sont pas finis, le tableau ne représente que quelques valeurs des fonctions de gains.

Le concept de solution proposé ultérieurement, adapté à de tels jeux, est celui d'équilibre de NASH. Une telle solution n'existe pas toujours lorsque les ensembles des stratégies sont finis. Elle existe, en revanche, si ces ensembles sont assez riches, c'est à dire qu'ils contiennent toutes les combinaisons convexes de stratégies.

La combinaison convexe de deux stratégies S₁ et S₂ est une stratégie tS₁ + ( 1 - t) S₂ où t [ 0 , 1].

Tous les jeux à ensemble fini de stratégies peuvent être étendu en un jeu à ensemble convexe de stratégies : en effet, il suffit pour cela d'autoriser les joueurs « à tirer au hasard » leur stratégie. Selon la manière de « tirer au hasard » qu'ils utilisent, les joueurs ont à leur disposition de nouvelles possibilités de gain (se sont en fait de nouvelles espérances de gains).

On appelle stratégie mixte une distribution de probabilité sur l'ensemble des stratégies pures d'un joueur. Pratiquement, une stratégie mixte peut être obtenue par un mécanisme utilisant une expérience aléatoire :

- une pièce de monnaie équilibrée peut attribuer la probabilité 1/ 2 à une stratégies ( si face apparaît ) et 1/ 2 à une autre (si pile apparaît ) ;

- un dé peut attribuer la probabilité 1/ 3 à une stratégie ( si 1 ou 2 apparaît ), et 2/ 3 à une autre ( si 3, 4, 5 ou 6 apparaît ).

Pour se faire une idée de ce qu'est une stratégie mixte avec une distribution de probabilité P₁, P₂ , ..., P_n ( P₁ + P₂ + ...+ P_n = 1) sur n stratégies s₁ ... s_n, on peut songer à une roue divisée en n quadrants dont les arcs ont pour longueur les proportions P₁, ..., P_n du périmètre. Si la roue s'arrête sur l'arc i, la stratégie s_i est choisie avec la probabilité P_i : ici s₃ est choisie, la probabilité que la flèche indique le 3 est P₃.

Figure 4

P₂

P₁

P₃

P₄

Ce dernier mécanisme a incité les théoriciens à appeler aussi « loterie » une stratégie mixte.

Les stratégies mixtes ont plusieurs interprétations qui justifient leur emploi et l'intérêt de leur utilisation pour l'amélioration des résultats de la théorie.

- Si on imagine que le jeu est répété identiquement, la stratégie mixte : ts₁ + (1-t)s₂ se traduira par l'emploi de la stratégie pure s₁ pendant une proportion t du nombre de répétitions du jeu et de la stratégie pure s₂ pendant le reste du temps. Une telle manière de jouer rend imprédictible pour les observateurs la décision du joueur.

Ainsi, si une compagnie fait passer deux spots publicitaires à la télévision, soit 1/ 3 du temps pour l'un et 2/ 3 du temps pour l'autre, on pourra considérer qu'elle fait passer un spot mixte. Un téléspectateur aura une chance sur trois de voir le premier, à un instant donné.

- Si l'on considère que les joueurs annoncent leurs stratégies, on peut interpréter l'annonce d'une stratégie mixte comme un moyen de ne pas

révéler complètement les décisions prises. Ainsi dans le jeu suivant :

I II	s1^2		s2^2	S1^1
1, 1	1, 3		S2^1
0, 2	2, 1

Si le joueur I annonce s₁¹ il est sûr de gagner 1, s'il annonce s₂¹ , il peut gagner 0 ou 2 selon ce que joue le joueur II. S'il annonce s₂¹ , il peut supposer que le joueur II annoncera s₁² qui offre un supérieur. En annonçant qu'il suivra la stratégie s₁¹ avec la probabilité 1/ 2 et s₂¹ avec la probabilité 1/ 2, le joueur I laisse le joueur II dans l'incertitude par rapport à son gain, Mais peut-être que la probabilité 2/ 3 sur s₁¹ et 1/ 3 sur s₂¹ inciterait le joueur II à jouer plutôt la stratégie s₁² .

Dans le cas de l'utilisation des stratégies mixtes, le choix des joueurs porte sur la distribution selon laquelle ils choisissent leur stratégie, « ils créent (donc) de l'incertitude sur leurs propre stratégies ».^5(*)3

* ⁵³ - LAKHDAR B. (1985), op.cit, p. 129.