Chapitre 2
Equation des ondes sur un axe (Dans R)
Les équations aux dérivées partielles
sont d'intérêt répandu en raison de leur raccordement avec
des phénomènes dans le monde physique. Nous commençons en
examinant ce raccordement dans un problème physique simple.
L'exemple le plus simple, même d'un point de vu
historique, d'un problème qui inclut l'équation d'ondes est
fourni par l'étude de la vibration d'une corde, comme une corde de
violon ou de guitare. Nous allons étudié un système on
l'inconnu u(x, t) est le déplacement et nous devons analyser la nature
des forces sur la corde (des forces internes et externes).
2.1 Equation des cordes vibrantes
Il s'agit de l'une des premières équations aux
dérivées partielles mises en évidence. Elle fut
étudiée dés la premiére moitie du XVIIIe
siècle par D'Aleynbert :
82 u(x; t) - C2 82
8xxu(x, t) = f(x,t) (2.1)
@tt
ou c désigne la vitesse de propagation de l'onde dans
la corde et u(x, t) l'ordonnée du points d'abscisse x de la corde a
l'instant t (cette ordonnée étant mesurée par rapport a la
position d'équilibre supposée d'ordonnée nulle).
2.1.1 Le modèle physique
Une corde est un milieu continu unitaire unidimensionnel ayant
une longueur fini ou infini, elle posséde généralement des
propriétées d'élasticité et peut être tendue
a des extrémités, et être amenée a une longueur
supérieur a sa longueur de repos, dans ce cas, elle posséde une
tension interne, dont l'effet est d'attirer, toute portion de la corde tendue,
la position d'équilibre correspend a la ligne droite, joignant les deux
extrémités.
La corde tendue peut être modilisé au niveau
microscopique par la juxtaposition de ressorts de taille infinité simale
couples, autre proches voisins et exerçant, l'un sur l'autre de force de
rappel l'orsqu'on écarte une portion de la corde de sa position
d'équilibre, elle subit immédiatement les forces de rappel des
portions voisines et il en résulte, un mouvement ocullatoire autour de
la position d'équilibre qui crée une onde qui se propage, sur
toute la corde.
On peut distinguer deux cas :
Un mouvement transversal ou orthogonal a la position
d'équilibre et un mouvement longitidinal a la corde.
On considère une corde de longueur L, de densitè
constante, élastique, tendue avec une force F0 et en position
d'équilibre rectiligne a l'instant t = 0 les points de la corde
écartés de leurs positions d'équilibre accquiérent
une certaine vitesse, supposons que l'axe des x coincide avec la corde en
équilibre.
Le probléme des petites vibration transversales des points
pour t > 0, si les extémités de la corde sont :
(a) Fixées régidemant.
(b) Libres, qu'elles peuvent se déplacer librement
suivants des droites paralléles a la direction de l'écart.
(c) Fixées élastiquement, chaque
extrémité prouve de la part de l'appui une réaction
proportionnelle a l'écart et de sens opposé.
(d) Transversal selon des lois données.
Se ramene a l'équation des cordes vibrantes
@2 u(x; t) - c2 82
8xxu(x, t) = f(x,t) (2.2)
@tt
avec c est la vitesse de propagation des ondes
4!
F0
2
C = ~
p : est la densité liniaire de la corde.
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