2. Le modèle
2.1. Le problème
Nous voulons modéliser le consentement à payer (le
montant qu'un individu serait disposé à payer pour
l'amélioration de la qualité de l'air) :
Les modèles de régression classique supposent
que la variable dépendante est une variable continue. Par
conséquent, elle ne saurait prendre une ou plusieurs valeurs
données en tant que probabilité non nulle. Cependant, il existe
des phénomènes économiques pour lesquels la variable
dépendante est continue mais peut prendre des valeurs isolées
avec des probabilités finies non nulles: il s'agit des modèles
à variables dépendante limitée. Dans ces modèles,
la variable dépendante n'est observée que sur un certain
intervalle. Par exemple, dans le cas du modèle que nous
présentons, on remarque bien qu'il existe des personnes pour lesquelles
la disposition à payer est nulle. Dans ce cas, l'échantillon est
dit censuré: en effet, on observe une contribution que pour les
personnes disposée à payer. La variable CAP (disposition à
payer des individus pour l'amélioration de l'air) est censurée
à gauche (CAP>0).
2.2. Spécification du modèle
Soit la série de la variable d'intérêt et le
vecteur des variables explicatives.
Supposons que la contrainte sur la variable limitée soit
une contrainte de positivité c'est le cas ici avec le consentement
à payer (CAP>0).
Dans ce cas, le modèle de régression avec n'est
valable
que si la valeur qui en résulte respecte la contrainte sur
la variable modélisée. C'est pour cette raison que le
modèle peut s'écrire de la façon suivante:
3. Estimation du modèle
Si l'on estime le modèle par MCO en ignorant le
caractère limité de la variable d'intérêt, les
estimateurs obtenus seront biaisés et non convergents comme si l'on
était en face d'un problème d'oubli de données. Pour
pallier ce problème, l'estimation se fait par la méthode du
maximum de vraisemblance comme dans le cas des variables catégorielles.
En effet :
Il y a donc oubli de variable lorsqu'on estime le modèle
par MCO. La variable omise est
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et est appelée le ratio inverse de Mills.
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Pour écrire la vraisemblance du modèle, il faut
remarquer que la distribution de la variable est un mélange de variable
discrète et de variable continue normale.
Si on désigne par ? et Ô
respectivement la fonction de densité et la fonction de
répartition de la loi normale centrée réduite, on a :
Finalement nous avons:
Par conséquent
La fonction de vraisemblance peut être écrite comme
suit :
xa
))
x a
i i
l = Ð ( (
Ö )) Ð (1 (
- Ö
y>- i
0 ó y=0 ó
i
L'estimation par la méthode du maximum de vraisemblance
consiste à maximiser la fonction £. Cette technique fournit des
estimateurs convergents et asymptotiquement efficaces.
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