3.2/ Propriétés du variogramme
Le variogramme est une fonction de h, croissante et
souvent caractérisé par quatre paramètres :
- l'effet pépite : C0 - le palier : C+C0
- la portée : a
Remarque : plus la fonction croit, moins les observations se
ressemblent.
L'effet de pépite : Le comportement à
l'origine du variogramme reflète le degré de
régularité spatiale de la variable régionalisée. Si
le variogramme présente un saut abrupt à l'origine (effet de
pépite), cela indique une absence partielle de corrélation entre
les valeurs prises en deux sites très proches. C'est-à-dire qu'il
y a une faible ressemblance entre les valeurs régionalisées
très voisines.
Le palier : Valeur du variogramme pour la distance
égale à la portée.
La portée : Distance où deux observations
ne se ressemblent plus du tout. Leur covariance est nulle.
Remarques :
- Si le variogramme est borné alors la covariance existe
et l'on peut présumer une stationnarité du second ordre (Journel
et Huijbergts, 1993 p.37).
- Si la variable régionalisée est stationnaire du
second ordre alors le palier est égal à la variance de cette
même variable.
ã ( h ) = ó 2-
C(h )
- Inversement, si un variogramme est non borné, il ne
possède ni portée, ni palier. La variance de la fonction n'est
pas définie et elle n'est donc pas stationnaire du second ordre.
- Arnaud et Emery (2000, p.126) affirment que le variogramme
expérimental n'est pas fiable pour des distances supérieures
à la moitié du diamètre du champ D. Elles sont
peu nombreuses et augmentent la variance de la valeur ãà (.)
estimée.
- Les variogrammes directionnels permettent de détecter
une éventuelle anisotropie. (cf. § 3.4)
3.3/ Modélisation du variogramme
Le variogramme expérimental n'est pas défini
partout, notamment aux distances h pour lesquelles il n'existe pas de
paire de points de mesures. Ainsi lui est-il ajusté une fonction
mathématique appelée modèle de variogramme. Marcotte
recommande d'utiliser des modèles éprouvés ou des
modèles construit à partir de modèles
éprouvés.
Type de modèles courants
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- Linéaire :
|
ã ( )
h
|
? ??
??
|
C
C + h pour a h
= = 0
0
a
C C pour h a
+ >
0
|
? 3 h 3
h ?
?? C C
+ ? -
? ?
0 a
? ?
3
h = 2 2 a
pour a h
= = 0
pour h a
>
- Sphérique : ã ( )
?? C C
+
0
|
- Gaussien : ã ( h ) = C0
+ C ? 1- exp
?
|
?
-3ah22
?? ?
|
|
?
- Exponentiel : ã ( h ) = C0
+ C? 1- exp
?
|
? - 3h ? ?
?? ?? ?
a ?
|
3.4/ Isotropie et anisotropie
Le variogramme ne dépend que de h,
c'est-à-dire le vecteur de déplacement entre les points s
et s+h. Ce vecteur contient de l'information sur la distance
entre ces deux points, par l'intermédiaire de sa norme, ainsi que sur
l'orientation de h. Si le variogramme ne dépend en fait que de
la norme de h, il est dit isotrope. S'il dépend aussi de la
direction (è) du vecteur de translation, il est dit
anisotrope.
Rappelons que la norme euclidienne d'un vecteur
h=(si,sj) est |h|= 2
s i+ s j .
2
Bien qu'il existe une très grande variété
d'anisotropie, la plupart des ouvrages de géostatistique montrent
uniquement comment modéliser les anisotropies
géométriques.
Les caractéristiques de l'anisotropie
géométrique sont :
- Les variogrammes des différentes directions ont le
même palier et même effet pépite mais des portées
différentes.
- Les portées maximales et minimales s'observent selon
deux directions orthogonales.
Pour revenir à une situation isotrope, le principe
consiste à effectuer une transformation linéaire des
coordonnées spatiales c'est-à-dire une rotation en suivant les
directions de plus petite et plus grande continuité (application chap.
IV § 1.3).
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