6 Etude comparée des deux modèles
6.1 Lien direct
Il est tentant d'établir une relation directe entre
les paramètres de bifurcation du modèles R-M, r et
K, et ceux du modèle DEBf Xr et
ÿh. Toutefois, l'exercice s'avère
difficile et il n'est possible d'obtenir une équivalence entre les
paramètres que dans quelques cas très restreints pour lesquels la
réponse fonctionnelle est linéaire, de la forme
X°
Xk1 , et l'espèce est soumise a un
taux de mortalité de ÿh. Sous ces
conditions, il apparait que les deux paramètres du modèle R-M
sont liés entre eux et ne dépendent que de Xr (Kooi
et al. , 1998).
Ceci rejoint l'observation que la dynamique du modèle
R-M a deux échelons ne dépend que d'un seul paramètre
de bifurcation tandis que celle du modèle DEBf dépend a la
fois de Xr et de ÿh.
L'équation logistique rassemble donc deux paramètres, la
capacité limite du milieu K et le taux de croissance r,
que semble capable de remplacer un seul paramètre mesurant
directement la richesse nutritive du milieu (Kooi et al. , 1998).
Rappelons en outre que l'équation logistique a été
imaginée précisément dans l'hypothèse d'une
limitation par le milieu de la population totale
par une force assimilée a un frottement, mais qu'elle
n'explique pas le phénomène (Verhulst, 1838).
L'implémentation dans le modèle DEBf d'une équation pour
la concentration en nutriment abouti au même phénomène
d'autolimitation de la population de proie mais sans en faire
l'hypothèse. D'autre part le concept de capacité limite du milieu
est une quantité qui varie dans le temps, ce qui empêche un bon
paramétrage du modèle R-M et justifie son remplacement par une
variable d'e'tat.
6.2 Paradoxe de l'enrichissement
En prenant un seul paramètre d'enrichissement, il est
possible d'établir des diagrammes de bifurcations similaires pour chacun
des deux modèles dans leur version a deux échelons (Fig. 8). La
courbe tracée correspond a la biomasse de proie a l'équilibre.
Cette courbe se sépare en deux lorsque le cycle limite apparalt, a la
seconde valeur de bifurcation. Les deux valeurs de biomasse
données correspondent alors au minimum et au maximum atteint lors des
oscillations pe'riodiques sur le cycle limite.
Le diagramme de bifurcation obtenu pour le
modèle R-M est valable de manière qualitative quelque soit la
valeur des autres paramètres tandis que le diagramme de
bifurcation du modèle DEBf n'est valable que pour certaines valeurs
de ÿh. Le résultat est que le
schéma classique du paradoxe de l'enrichissement, de
déstabilisation d'un équilibre stable lorsqu'il y a
enrichissement du milieu, perd de sa généralité pour ce
second modèle.
D'autre part, dans les versions a trois échelons des
deux modèles, la déstabilisation de l'équilibre au fil de
l'enrichissement se traduit par la même séquence équilibre
ponctuel, dynamique pe'riodique basse fréquence, dynamique
chaotique et dynamique pe'riodique haute fréquence
(Fig. 4). La complexité de la dynamique est donc croissante
jusqu'à l'apparition du chaos puis décrolt vers un
cycle limite (Fig. 5)(Fig. 7). L'ajout d'un superprédateur
modifie donc la simple séquence de complexification de
l'équilibre stable en cycle limite du modèle a deux niveaux
trophiques. Ce schéma de complexification de l'attracteur d'une chalne
trophique a trois échelons semble vrai pour une large
variété de modèles (Rinaldi & De Feo, 1999) et
correspond a la croissance de la biomasse moyenne du dernier échelon
trophique.
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