Memoire Online - Aerodynamique et turbulence dans les Cyclone séparateurs

L'équation modélisée de l'énergie cinétique de turbulence s'écrit sous la forme semiempirique suivante :

La forme modélisée de l'équation de transport du taux de dissipation de l'énergie cinétique s'exprime

Ces deux équations donnent k et å qui permettent à leur tour de calculer la viscosité turbulente ut.. Connaissant ut , on peut déduire le tenseur des contraintes de Reynolds.

Les termes diffusifs sont du type gradient. óå , L et óå , tétant les nombres de Prandtl laminaire

et turbulent associés à å. En effet, les sources et puits de k sont multipliés par k

corriger l'unité et des constantes sont injectées et ajustées empiriquement pour satisfaire des conditions d'écoulements turbulents de base.

Pour rendre le système d'équations opérationnel on adopte les constantes standards du modèle donné par Launder et Spalding (1974). Elles sont réunies dans le tableau suivant :

Il est à noter que le modèle k-å tel que présenté ici, applicable aux écoulements à nombre de Reynolds élevé, ne peut-être utilisé dans des régions à faible nombre de Reynolds.

Le modèle RNG K- Epsilon est construit en utilisant une technique statistique (nommé théorie du groupe de renormalisation (renormalisation groupe theory en anglais). Supposons qu'on puisse représenter un écoulement turbulente par un ensemble discret de modes de Fourier bornés supérieurement par k0 qui se trouve dans le domaine dissipatif (k0 kD). On

coupe alors le domaine spectral en deux parties en introduisant un nombre de modes de
Fourier k1 légèrement inférieur à k0 et on s'intéresse aux mouvement associés au domaine

spectral k1<k<k0. Comme on se trouve dans le domaine dissipatif, l'équation de Navier Stokes

peut être linéarisée et le comportement de ces modes est exprimé en fonction de celui des modes de l'intervalle 0<k<k1.

On écrit alors l'équation gouvernant l'évolution des modes 0<k<k1 en utilisant la solution
précédente. On a alors une équation où n'intervient que la bande spectrale 0<k<k1. On peut
réitérer la procédure pour un nouvel intervalle 0<k<k2. On élimine ainsi toute la bande

spectrale contenant les petites échelles. A chaque itération, on renormalise en quelque sorte la viscosité, puisque l'effet de l'élimination d'une bande est d'augmenter la dissipation « vue » par la bande restante. Le principe de la méthode est donc relativement simple mais malheureusement sa mise en oeuvre est extrêmement difficile.

Avant la discussion sur les modifications du modèle standard k-c et son récent version du groupe de Renormalisation ( Yakhot et Orszag (1986), il serait utile de récapituler les exigences du modèle k-c :

- la diffusion est du type gradient avec des nombres de Prandtl effectifs constants - nombre de Reynolds élevés

Puisque les paramètres des modèles ne sont pas vraiment universels mais sont des fonctions des paramètres caractéristiques d'écoulement. Plusieurs tentatives ont été faites d'augmenter l'application du modèle k-c en modifiant ces paramètres empiriques pour convenir aux conditions spécifiques de différents types d'écoulement. Une des faiblesses du modèle standard k-c est qu'il est incapable de prédire la génération de turbulence dans les régions où l'écoulement moyen est fortement accéléré ou ralenti. Kato et Launder (1993) ont proposé un modèle modifié de k-c pour surmonter ce problème. Plusieurs chercheurs ont essayé de modifier ce modèle on cite par exemple Rodi (1984), Markos (1986), Nallaswamy (1987) et Wilcox (1993). Des méthodes du groupe de renormalisation (RNG) ont été employé pour formuler les modèles de turbulence des deux équations. Ces méthodes sont un cadre général pour la construction du modèle dans lequel la dynamique complexe est décrite en termes dite équations régissant le comportement à grande échelle et long terme. L'idée fondamentale appliquée pour modéliser la turbulence est l'élimination des échelles de petite taille en utilisant des méthodes RNG. Comme les échelles de petite taille sont enlevées, la viscosité effective du système est augmentée. Par le procédé d'élimination d'échelle, la théorie RNG développe une équation pour la viscosité effectif et les équations de transport correspondant de k-c Yakkhot et Orszag ( 1986 ) ; Yakhot et al (1992). Les valeurs des paramètres du modèle dérivés par la méthode RNG sont également énumérées dans le tableau 2-1

Tableau-2-2 : rapportant les constantes de k-å et leurs modifications en modèle RNG *) L'expression générale pour estimer le nombre effectif de Prandtl pour k et å est :

1 - 1.3929

0.6321

- 2.3929

0.3679

u
ut

0.3929

3.3929

La différence principale entre la version standard et RNG est dans l'équation du taux de la dissipation turbulente d'énergie. Dans les écoulements à taux de contraintes élevés, le modèle RNG prévoit une faible viscosité turbulente (c.à.d un taux de dissipation å élevé et une production de turbulence k faible) que le modèle standard. Bien que le modèle RNG à été découvert pour faire mieux que le modèle standard pour les écoulements avec une grande courbure des lignes de courant, et aussi non encore validé intensivement par les chercheurs que le modèle k-å. La version du modèle RNG k-å a été introduit dans les équations différentielles pour le calcul de la viscosité effectif à partir du modèle K-å (guide Fluent, vol 4, 1997)).

Cette forme permet la prolongation au bas nombre de Reynolds et aux écoulements proches paroi, où contraire du modèle standard k-å, qui est valide seulement pour des écoulements turbulents développé. La version standard de k-å est valide pour les écoulements turbulents loin des parois. La présence de paroi change le caractère de la turbulence, en atténuant la

turbulence dans la région prés de la paroi. Puisque dans cette région dans la partie externe de la région de proche-paroi, la turbulence produit rapidement un fort graduent de vitesse moyenne. La présence correcte de l'influence de la paroi sur les écoulements turbulents est un aspect important pour simuler des écoulements délimités par la paroi.

Il y a deux approches principales pour modéliser la région de proche-paroi. Dans l'une des approches, appelé ` fonction de paroi ', les effets intérieures affecter par la viscosité, ne sont pas modelées. Au lieu de cela, les formules semi-empiriques (fonctions de paroi) sont utilisées pour lies la région affectée par viscosité- entre la paroi et la région entièrement turbulente. Dans l'autre approche, les modèles de turbulence à bas nombre de Reynolds sont développé pour simuler l'écoulement de la région proche-paroi.

Dans la plupart des écoulements à nombre de Reynolds élevés , l'approche par la fonction de
paroi donne des résultats raisonnable sans exigences excessives vis-à-vis des ressources de

calcule. Pour les bas nombres de Reynolds le modèle k - å exige les conditions aux limites

où Ut est la composante tangentiel de vitesse au paroi et n est la normale au paroi. Un certain
petit modifications du nombre de Reynolds au modèle k - å ont été proposés par Chen et

Patel (1988); Wilcox (1993); Hrenya et Sinclair, (1995). Dans les approches par les fonctions de paroi, un profil universel de vitesse supposé existe prés de la paroi de la forme suivant:

où ê est la constante de Van Karman (=0.4 1), B est un constante empirique liée a l'épaisseur de la sous-couche visqueuse (B =5.2 dans une couche limite plan) et de u⁺ et y⁺ sont définis comme suit :

la où le nP est la distance normale du noeud considéré au point P de la paroi. En outre, on assume que l'écoulement dans un équilibre local, qui signifie que la production et la dissipation sont presque égales. Ces suppositions permettre alors l'utilisation de la résolution à la paroi. En fait, l'approche de loi de paroi exige que la distance adimensionnelle du noeud

voisin de la grille de la paroi doive être plus grands que 30 (y⁺> 30). Pour un tel cas, la

contrainte de cisaillement de paroi peut être lié au composant tangentiel de la vitesse à la grille, comme :

Pour l'énergie cinétique turbulente, k, le gradient normal à la paroi est habituellement égale à zéro. En suppose que l'échelle de longueur près du paroi, L donner par :

En supposition qu'il y à équilibre entre la production et la dissipation, le taux de dissipation de l'énergie turbulente au noeud à côté du paroi (indice P, situé à un distance

normal nP du paroi) peut être calculé sans résoudre l'équation de transport pour å comme suit :

Il convient de noter que l'approche de loi de paroi est valide seulement quand le premier point de la grille à côté du paroi (le noeud P) est dans la région logarithmique. Pour des écoulements séparés dans les régions de recirculation, de séparation et de reattachment, cette condition ne peut pas être valide. Pour rectifier ceci dans une certaine mesure, plusieurs fonctions de paroi ont été proposés (voir, par exemple, Amano, (1984).Quand l'approche de fonction de paroi n'est pas applicable au-dessus d'une grande partie des frontières de paroi, bas nombre de Reynolds, des modèles de la turbulence devraient être employés pour résoudre les détails plus fins des écoulements de proche-paroi. En plus pour représenter l'influence des parois sur la turbulence, nous sommes besoins à des conditions aux limites appropriés et

doivent être indiquées pour résoudre les équations du modelées k, å, a la région loin de la paroi, les conditions à la limite suivante peuvent être employé Ferziger et Peric, (1995) :

pour les conditions au limite à l'entrée, il est nécessaire d'indiquer les valeurs de k et å. Si k n'est pas connu, il est généralement estimé à partir d'une supposition appropriée de l'intensité de turbulence (environ 5%) à l'entrée. La valeur de å est habituellement estimée à partir d'une connaissance de k et de fournir un' échelle caractéristique de longueur, L :

La longueur caractéristique utilisée dans l'équation ci-dessus peut être prise en tant que 0.07
fois du rayon équivalent du tube. Si les contraintes de Reynolds et les vitesses moyennes à

l'entrer sont mesurées, å peuvent être estimées en utilisant l'hypothèse d'équilibre local.

Les effets d'une paroi sur le champ turbulent sont nombreux et complexes, on peut citer cependant les principaux :

- la création d'une zone adjacente à la paroi dans laquelle la viscosité moléculaire est prédominante.

De ce fait, il existe au moins deux régions dans la couche limite en cas de forte turbulence. L'une, loin de la paroi, est contrôlée par la turbulence et l'autre prés de la paroi dominée par la viscosité . Ces deux régions sont raccordées par une région appelée région logarithmique à cause de la loi suivie par le profil des vitesses. Il existe deux types de formulations pour incorporer la condition à la limite prés de la paroi. La première est celle de la fonction de la paroi, Dans la deuxième région, appelée aussi sous-couche visqueuse, zone très fine, la proximité de la paroi cause des difficultés pour l'incorporation des conditions aux limites prés de la paroi. D'après Patankar et Spalding (1972), la deuxième formulation est celle utilisant les modèles à faible nombre de Reynolds. Pour les fonctions de paroi le premier point du maillage prés de la paroi doit être situé dans la zone logarithmique; pour les modèles à faible nombre de Reynolds un nombre de noeuds est utilisé dans la sous couche visqueuse.

Comme le modèle des contraintes de Reynolds s'adapte bien aux nombre de Reynolds élevés ainsi que pour le modèle de turbulence à deux équation de transport (k-å), on emploie donc une fonction de paroi basée sur la loi logarithmique afin d'arriver à des résultats satisfaisants. La vitesse moyenne, l'énergie cinétique et son taux de dissipation obtenus par les équations suivantes au niveau du noeud prés de la paroi:

yp : distance entre le noeud adjacent à la paroi et la paroi.. í : viscosité laminaire du fluide

Plusieurs auteurs,par exemple Lien-Leshnizer (1994) ont essayé d'imposer les valeurs de toutes les contraintes dans les noeuds proches de la paroi, comme une fonction de l'énergie cinétique turbulente k. Ces valeurs peuvent être dérivées dans une région logarithmique en imposant le terme de production de k en équilibre avec la dissipation, c.à.d Pk = pe. Les

contraintes de Reynolds obtenues par les modèles de GL (GL : Gibson-Launder ( 1978) et SSG Speziale et al (1991) sont :

La méthode numérique des volumes finis est employée pour discrétiser le domaine physique et les différentes équations aux dérivées partielles tridimensionnelles des modèles mathématiques appliqués à l'écoulement considéré. Elle est basée sur l'intégration de ces équations sur des volumes finis obtenus par découpage du champ de l'écoulement suivant un maillage imposé par le logiciel Fluent, voir figure (2.1). Selon la forme géométrique, il faut bien choisir une maille adaptable à la géométrie, les mailles utilisées par Fluent sont les suivantes :

Pour bien contrôler le maillage, on a divisé la géométrie du cyclone on zones. Chaque zone
est maillée à part. Pour le choix du type de volume de contrôle on a choisi l'hexaèdre, mais
là, où le volume ne s'adapte pas, par exemple la conduite d'entrée, Fluent choisira par

défaut l'élément de maille convenable. Vu, la capacité de stockage du PC, on ne peut raffiner le maillage convenablement. Le nombre de noeuds atteint dans cette configuration est de 300000 noeuds. A l'aide, de Fluent on peur contrôler et visualiser par image en plans, sections et perspectives du maillage. Ceci, nous laisse améliorer la qualité de maillage de notre géométrie, voir figure-(2-4) :

Nous présentons dans un premier lieu le maillage des trois configurations à étudier envisageables. Nous rappelons que les trois cyclones (A, B et C) à étudier ont un même corps cylindrique supérieure mais diffères dans la partie inférieure après le corps conique. Le cyclone (C) possède un prolongement cylindrique jusqu'à le récupérateur après la partie conique par contre, les deux autres cyclone (A et B) juste après la partie conique se terminent directement par un récupérateur. On implante pour le cyclone (B) dans le réservoir récupérateur un organe anti-retour pour stopper les particules (voir figure 3I-1).

Cette deuxième partie consacrée aux résultats numériques présente les champs de pression, de vitesses moyennes axiale, tangentielle, radiale et des paramètres caractéristiques de la turbulence. Une confrontation de résultats numériques et expérimentaux est aussi rapportée.

Aerodynamique et turbulence dans les Cyclone séparateurs

2-7-2) Equation modélisée de k :