ANNEXE A : DESCRIPTION MECANIQUE DU PHENOMENE
D'ECOULEMENT ET PRESENTATION DE QUELQUES ECOULEMENTS TYPES.
1.1. ECOULEMENT POISEUILLE
Hypothèses simplificatrices
Afin de faciliter la résolution des problèmes
associés à l'écoulement,les hypothèses suivantes
sont généralement envisagées :
- fluide compressible
- écoulement isotherme et stationnaire
- absence d'inertie et des forces massiques
- non glissement aux parois
On étudie l'écoulement d'un fluide visqueux,
incompressible, newtonien, à vitesse lente. Le conduit est cylindrique
de rayon R petit. L'écoulement est permanent dans la direction
z.
Un fluide visqueux, s'il est en écoulement lent dans une
conduite de petit diamètre ou entre deux plaques proches, est en
écoulement de Stokes.
En première approximation, si la conduite est cylindrique
ou que les plaques sont parallèles, l'écoulement du fluide est
partout parallèle aux parois (approximation de lubrification).
Le frottement aux parois implique qu'aux échelles
macroscopiques, la vitesse du fluide y est nulle (condition de non
glissement).
Par ailleurs, la pression ne varie pas dans l'épaisseur de
l'écoulement (approximation de lubrification).
Ces trois conditions impliquent que l'écoulement
s'organise selon un champ de vitesse parabolique : vitesse nulle aux
parois et maximale à mi-hauteur.
1.1. ECOULEMENT LAMINAIRE
Un écoulement est dit laminaire lorsqu'il est
régulier (qu'il ne présente pas trop de variations spatiales ou
temporelles), bien souvent stationnaire. Il s'agit en fait d'une solution
stable des équations de Navier-Stokes, au sens où si on
modifie l'écoulement, il retourne vers la solution laminaire.
La viscosité stabilise et régularise les
écoulements de façon générale. Un fluide
présentant une viscosité importante s'écoulera de
façon laminaire. Un écoulement est caractérisé par
son nombre de Reynolds, qui permet de se faire une idée de sa
stabilité : quand ce nombre est petit, l'écoulement est
laminaire, quand il est grand, l'écoulement est en général
instable et turbulent.
La transition entre les écoulements stables et les
écoulements instables voire turbulents (chaotiques) est un sujet
d'étude important.
Rappels :
On rappelle qu'entre deux points d'une canalisation de
diamètre D (rayon R), dans laquelle circule un fluide, avec une vitesse
moyenne v ( qv est le débit volume), séparés
par une longueur L, apparaît une perte de pression p. exprimée
sous la forme suivante :
Perte de charge exprimée en Pascal ou en mètres
de colonne de fluide (mCF)
est un coefficient sans dimension appelé coefficient de
perte de charge linéaire.
= masse volumique du fluide ; = viscosité
cinématique ; = viscosité dynamique.
Dans le cas de l'écoulement laminaire, on
montre que le coefficient  est
uniquement fonction du nombre de Reynolds Re.
On montre aussi que l'expression de l'écoulement
laminaire dans une conduite cylindrique horizontale d'un fluide incompressible
s'écrit sous la forme :
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