chapitre 3
TECHNIQUE D'USHAKOV
B
ien longtemps plusieurs travaux se sont
intéressés par la présentation des méthodes
quantitatives et qualitatives [10,11,12,13,14] pour estimer la
disponibilité d'un système travaillant à des niveaux de
performances multiples (dégradable) exemple REINSCHK, EL-NEWLEIHI
et PROSHAN [8,9].
3.1. Systèmes multi- états
En réalité, les éléments du
système peuvent fonctionner à des performances multi- niveaux
dû à la dégradation des éléments du
système. Cette dégradation est maintenue entre les états
binaires du bon fonctionnement et l'échec total de
l'élément.
Fig. (3-1) : Dégradation d'un système
La figure suivante illustre le cas d'un
MSS.
Fig. (3-2) : Exemple d'un MSS (Multi
State System)
Beaucoup d'efforts sont intensifiés afin de
développer une méthode pour analyser la disponibilité ou
bien la fiabilité d'un système multi- niveaux
(MSS). Ces méthodes reposent sur la technique
d'Ushakov. Généralement, la méthode d'évaluation de
la disponibilité et la fiabilité des systèmes multi-
niveaux (MSS) est basée sur quatre approches :
Stochastique (Markov- Chaîne)
Monté- Carlo.
Fonctionnelle.
UMGF
Dans plusieurs problèmes d'application de nature
combinatoire ou la taille de l'espace de recherche est exhaustive,
l'application de l'UMGF devient l'outil impératif aux calculs des
différentes probabilités des évènements qui
caractérisent l'élément du système. UMGF est
analogue à la transformée de Laplace.
L'extension de UGF en UMGF est l'outil efficace dans la
résolution des problèmes du type combinatoire. Cette modification
nous permet un algorithme.
3.2. Estimation de la fiabilité des systèmes
multi niveaux basée sur la méthode UMGF (Universal Moment
Generating Function)
Les méthodes d'évaluation de la
disponibilité sont des méthodes nouvelles
développées afin de résoudre le problème
d'estimation de la disponibilité. Certaines de ces méthodes se
sont basées sur des méthodes déjà existantes, les
autres sont nouvelles comme UMGF. Vu l'estimation qualitative et quantitative
de cette méthode, elle est devenue plus moderne par rapport à
celle de Monté- Carlo, Markovienne et logique représentative des
systèmes (coupe minimale et arbre de défaillance), cette
méthode permet une analyse spécifique des cas dégradables
d'un système. Cette dégradation conduit le système
à se présenter sous forme d'un système à plusieurs
niveaux de performances ou capacité. Les systèmes
dégradables se présentent généralement dans le cas
des générateurs de production en électrotechnique,
capacité d'un conduit en hydraulique, etc....
La technique UMGF [5,6,7] permet l'estimation des de la
disponibilité des systèmes de grandes dimensions ou les
méthodes itératives (stochastiques, markoviennes, monté-
Carlo) restent inapplicables à ces systèmes.
Pour un système de grandes dimensions
séries-parallèles, la numérotation des états est
trop fastidieuse alors avec l'introduction d'une nouvelle méthode
d'évaluation a prouvé que son efficacité dans les
systèmes combinatoires complexe est assez puissante.
Généralement dans la littérature moderne
(Fiabilité Moderne) cette méthode n'est que l'extension
de la transformé de LAPLACE, la raison quelle peut prendre une
variable de la transformé variable . Elle a pris les noms :  transformé, et à fait naître L'UMGF (Universal
Moment Generating Function) ou simplement u-transform. D'UMGF est
largement connu à partir de l'extension de UGF (Ordinary
Générationg Function).
Par définition pour un élément L'UMGF
est un polynôme d'Ushakov de la forme suivante :
 (3-1)
Où la variable  présente  possible valeur et  est la probabilité que  soit égale à 
La probabilité caractéristique de la variable
aléatoire  peut se calculer par l'utilisation de la fonction d'Ushakov : .
En pratique, si la variable discrète aléatoire
 d'un système Multi- Niveaux ou Multi- States (MSS) est
définit pour une performance de sortie stationnaire (Output Stationary
Performance), dans ce cas la disponibilité est notée par  est donnée par la probabilité suivante :
 (3-2)
Qui peut être donnée a son tour par :
 (3-3)
Où
 : Représente les niveaux de charges
Et
 : Représente un opérateur disruptif définit
par :
 (3-4)
 (3-5)
On remarque facilement les équations (3-1) et (3-2)
rencontre les conditions :
 (3-6)
Par l'utilisation de l'opérateur . Finalement les coefficients du polynôme  sont sommés pour tous les termes avec . Considérons le cas d'une machine simple avec un seul mode de
défaillance (Tous- Rien) et chaque élément  à une performance  et disponibilité  . L'UMGF avec deux états peut être définit
par :
 (3-7)
 (3-8)
3.2.1. Estimation
de la fiabilité des systèmes séries
Soit la configuration d'un système de production qui se
présente par la figure (3-3).
Fig. (3-3) : Système Série
 : Représentent la performance ou bien la capacité des
éléments  .
Avec : { }.
Alors  : Représente la performance la plus faible dans le
système de l'élément Mn-1.
Alors la performance du système équivalent peut
être donner par la performance de cet élément du
système de plus faible performance.
Fig. (3-4) : Système Equivalent
Quand les composants ou les éléments sont
placés en séries, l'élément de plus faible
performance détermine l'étranglement de la ligne a son tours le
système équivalent aura sa performance.
Pour le calcul de L'UMGF du système contenant
n éléments en séries on fait introduire un
opérateur  qui peut être utilisé dans les expressions
suivantes :
| 
