Application des générateurs de scénarios économiques en alm pour les compagnies d'assurance

Annexes

Lemme d'Itô

Un processus stochastique (Xt) est appelé processus d'Itô s'il est de la forme :

Z t Z t

Xt = X0 + ₀ á_udu + 0 HudBu (4.4.2)

Où X0 est F0 mesurable, át et Ht sont deux processus F-adapté, át est intégrable et Ht est de carré intégrable et Bt un mouvement brownien stochastique.

On note également sous la forme intégrale :

dXt = átdt + HtdBt (4.4.3)

Pour une fonction f de classe C^1,2 (Ou bien dérivable et que son dérivé est continue) et (Xt) un processus d'Itô alors Yt = f(t, Xt) est un processus d'Itô et ona :

?f

2

f(t, Xt) = f(0, X0)+ ~t ?t (u, Xu)du+Jot _?x(u, ^Xu)dXu+ 2 Jot ?x2f(u, X_u)d < X >_u (4.4.4)

fot ?f ?f 21?2f ft ?f

= f(0, X0) + ( _?t + áu _?x + Hu 2 ?x2)(u, X_u)du + o Hu (u, X_u)dB_u (4.4.5)

Où encore, en formation différentielle

?²f

df(t, Xt) = (?f ?t + át ?f 1

?x + H2 ?x2 )(t, Xt)dt + Ht ?f

?x(t, Xt)dBt (4.4.6)

^t 2

Rappel des expressions statistiques

Le coefficient d'asymétrie (Skewness en anglais) pour n réalisation (x1, ..., x_n) d'une variable aléatoire X de moyenne u et écart-type ó est défini par :

1 SK = ó3	E(xi - u)^3		(4.4.7)

Le coefficient d'aplatissement (Kurtosis en anglais) pour n réalisation (x1, ..., x_n) d'une variable aléatoire X de moyenne u et écart-type ó est défini par :

1 K = ó4	E(xi - u)^4		3 (4.4.8)

CHAPITRE 4. APPLICATION PRATIQUE DE LA MISE EN PLACE D'UN GSE ET PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ALM

Soit X, Y deux variables aléatoires réelles de variance finis noté respectivement óX, óY alors le le coefficient de corrélation noté COR(X,Y) ou _ñXY est défini par:

ñXY =

COV (X, Y ) (4.4.9) óXóY

Où COV(X,Y) est la covariance de X et Y définie par:

COV (X, Y ) = E(XY ) - E(X)E(Y) (4.4.10)

Série temporelle ARCH

Le modèles ARCH (Auto Regressive Conditional Heteroskedacity) utilisés en économétrie pour la modélisation des séries chronologiques et les séries temporelles financières à volatilité variable.

Un modéle ARCH de paramétre q noté ARCH(q) est définie par:

Et = ótZt (4.4.11)

Avec :

· Et : Les innovations de le série.

· Zt : Variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite.

· ót = á0 + Pq i=1 áiE2 t_i

Modéle Linéaire Généralisé (GLM)

En statistiques, en économétrie et en apprentissage automatique, un modèle de régression linéaire est un modèle de régression qui cherche à établir une relation linéaire entre une variable dite expliquée et une ou plusieurs variables dites explicatives.

Le modèle s'écrit de la maniére suivante :

Y = Xâ + E (4.4.12)

Avec :

· Y : Variable endogéne.

· X : Variable explicative.

· â : Paramétre à expliquer.

· E : Erreur.

On définit la valeur prédite où ajustée par la relation suivante Yà = X â^à et le résidu comme la différence entre la valeur observée et la valeur prédite, soit ~à = Y - Yà .

CHAPITRE 4. APPLICATION PRATIQUE DE LA MISE EN PLACE D'UN GSE ET PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ALM

L'estimateur des Moindre Carré Ordinaire (MCO) s'écrit:

â à= (X^'X)^-1y (4.4.13)

Où y est la réalisation de Y[29].

Coefficient de variation = Ecart-type

Moyenne

Martingale : On dit que la variable aléatoire Xt est martingale pour la filtration Ft sous la probabilité P si et seulement si :

EP (Xt+1/Ft) = Xt (4.4.14)

Pour la réalisation du projet, nous avons utilisé :

Marque, modèle PC	Acer, PC du cabinet ERM Partners
Système d'exploitation	Windows 10 Education
Processeur	Intel(R) core(TM) i5-7200U CPU @ 2.50Hz 2.70 GHz
R studio	R i386 2.15.1 64bits
Excel - VBA Excel	Microsoft office 2010
Document interne de ERM Partners	Scénarios économique en assurance : Simulation et projection (A.Faleh-Frederic Planchet) Gestion Actif-Passif en assurance-vie (Véronique Mattei) GSE en assurance : Cas d'application ALM (Faleh-Planchet) Mémoire développé en interne du cabinet ERM : GSE Tunisien: Calibration et projection élaborée par Zeineb Ghardallou

CHAPITRE 4. APPLICATION PRATIQUE DE LA MISE EN PLACE D'UN GSE ET PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ALM

Variable macro économique	Equation	Modélisation
Inflation + Immobilier	Processus d'Orstein - Uhlenbeck	dut = ka(iLa,t - ut)dt + UadBa,t
Taux d'intérêt nominale	Déduit des taux d'intérêts réels ^etPn(t,T) des anticipations d'inflation	PT(t,T) EQ Inft
		= * t [ InfT ]
Taux d'intérêt réel	Modèle de Hull and White	drr(t) = iir[ll(t) - rr(t)]dt + rdWr(t)
Rendement des actions	Somme du taux sans risque taux d'inflation et une prime de risque	St = rr(t) + mnit + xt