I-2.2-MODELE DE CATTANEO-VERNOTTE(CV)
Pour prendre en compte les limitations de la loi de Fourier,
Cattanéo et Vernotte ont proposé l'écriture du flux
conductif suivant la relation:
(I-18)
avec
le temps thermique caractéristique de l'onde de
chaleur encore appelé temps de relaxation thermique du
milieu.
Le temps de relaxation caractérise le retard
causé par les nombreuses collisions et interactions
(électron-phonon, phonon-phonon) survenues au niveau microscopique,
à la suite des rapides et importantes transitions des états
thermodynamiques du milieu, lesquelles ont freiné la propagation de
l'onde de chaleur (Kar et co-auteurs, 1992; Qiu et coauteurs, 1994a ; Antaki,
1997. Herwig et Beckert, 2000. Antaki, 2005. Zeng et co-auteurs, 2010. Haji et
co-auteurs, 2011). Telle est bien le sens du concept de l'inertie thermique
rencontrée plus haut qui contraste avec l'idée
d'instantanéité avancée par la loi de Fourier. Cependant,
bien que ce modèle permet de prendre en compte les limites du
modèle de Fourier, il n'est pas adapté pour décrire une
onde thermique dans les milieux en mouvement où il faut introduire la
dérivée particulaire et s'assurer que le principe de la
relativité galiléenne est respectée (Christov et
co-auteur, 2005; Cheng et co-auteurs, 2008).
I-2.3-GENERALISATION DES MODELES NON-FOURIER
En considérant le modèle CV, équation
(I-18) on peut remarquer que le membre de gauche constitue une approximation au
premier ordre du développement en série Taylor du
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,
Spécialité Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire
de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques,
Université de Dschang
13
flux conductif. De ce fait, l'équation (I.18) peut
s'écrire (Wang et co-auteurs 2008; Ramadan et co-auteurs 2009;
Ordoñez et co-auteur 2010).
(I-19)
Ce modèle est dit à Simple Retard de Phase
(SRP). La relation (I-19) signifie que le gradient de température
établit au point à l'instant accroît le flux thermique au
même point mais
à l'instant plus tard. Ce modèle permet de
décrit les effets transitoires rapides (ou
encore les effets du transport thermique à faible
échelle dans le temps) mais il ne prend pas en compte les interactions
au niveau de la micro-structure du milieu (ou encore les effets du transport
thermique à faible échelle dans l'espace). En effet, selon le
modèle CV, le gradient de température est toujours la cause
tandis que le flux thermique, est la réponse (Brorson et co-auteurs,
1987; Qiu et co-auteurs, 1994b; Tzou ,1995). Afin de modéliser aussi les
cas où les flux thermiques provoquent les gradients de
température avec une réponse du milieu non-instantanée,
dans une même relation constitutive du flux, Tzou introduit en 1992 un
deuxième retard de phase.
(I-20)
avec
Ainsi, dans le cas où , le flux thermique (effet) qui
s'établit au sein du milieu résulte
de gradient de température (cause). Tandis que pour , le
flux thermique (cause)
induit le gradient de température (effet). La
signification physique de la relation (I-20) est alors la suivante : le
gradient de température qui se produit au point du milieu à
l'instant
correspondant au flux thermique au même point à
l'instant lorsque la
conservation de l'énergie thermique est
réalisée au même point à l'instant. Ainsi, en
théorie ondulatoire de la conduction thermique, les mécanismes
d'interaction entre les photons et les électrons d'une part et de
diffusion des photons (en milieu diélectrique) d'autre part,
nécessitent un temps fini pour se produire. Ces différents
phénomènes à l'échelle microscopique sont
responsables de retards de phase observés à l'échelle
macroscopique (Tzou, 1995). Notons que les temps de relaxation
et sont des
propriétés thermiques intrinsèques au
même titre que la conductivité et la diffusivité
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science, Option physique,
Spécialité Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire
de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques,
Université de Dschang
thermique. En supposant que le développement en
série de Taylor de l'équation
(I-20) donne:
?t
q
2
2
?t
?n
q
?
?2q- (r- ,t)
?
?
2
q
n
?
)
(T)
n
n
!
?t
(
t)??q(T)
?
?
?
q
r,
(r ,t) ?
{)?T(r,t)??T(T)
(T)
? ?
q ( r ,t
?[k(T)?T(r,t)]?
}
kc (T
?t 2 ?t
2
(I-21)
?T ô
[k(T)?T(r,t)] ?? ? ? ?
?T(T)
?n[k(T)?T(r,t)]
En limitant le développement à l'ordre un. Nous
avons la relation constitutive du flux suivante:
(I-
22)
Dans cette étude, nous nous préoccupons des milieux
poreux supposés fixes (immobiles).
En posant et = z , on retrouve l'équation (I-18) du
modèle de CV tandis qu'en
posant = rq = , on retrouve la loi de Fourier
(I-16).
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