Analyse thermique de la conduction instationnaire dans les milieux poreux

REPUBLIC OF CAMEROON

*****************

REPUBLIQUE DU CAMEROUN

************************

UNIVERSITE DE DSCHANG

*******************

UNIVERSITY OF DSCHANG

*****************

ECOLE DOCTORALE

*****************

POST GRADUATE COLLEGE

*********************

UDF-SCIENCES FONDAMENTALE ET TECHNOLOGIQUE

*********************

UFD-FONDAMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY

***********************

N° d'ordre

Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques

(L2MSP)

ANALYSE THERMIQUE DE LA CONDUCTION

INSTATIONNAIRE

DANS LES MILIEUX POREUX

Thèse

Présentée en vue de l'obtention du diplôme de

Master fo science en Ph_ysi_que

Spécialité : Mécanique - Energétique

Par

HEUGANG NDJANDA AUDREY STEVEN
Licence ès Physique
Matricule : 05S101

Sous la direction de
Dr. KAMDEM TAGNE H. T.
Chargé de Cours
Université de Dschang

Année académique 2011-2012

FICHE D'ATTESTATION DE L'ORIGINALITE DU TRAVAIL

Je soussigné, Monsieur HEUGANG Ndjanda Audrey, matricule numéro : 05s101 atteste que la présente thèse est le fruit de mes travaux effectués au Laboratoire Mécanique et de Modélisation des systèmes physiques (L2MSP) de l'Université de Dschan_g~~~~°° sous la direction de Dr KAMDEM Tagne H. T., en vue de l'obtention du diplôme de ~1!/(,asteren fh^-yzque, Option : MA-urrz_que- 1,er_yéti_que.

Cette thèse est authentique et n'a pas encore été antérieurement présentée pour l'acquisition de quelque grade que ce soit.

VISA DE L'AUTEUR

HEUEiANG NDJANDA AUDREY STEVEN

VISA DU DIRECTEUR DE THESE

DR.. HER.YE T TAENE KAMDEM

VISA DU CHEF DE D

~7° PR. PIERRE KISITO

Maître 6 'Vo1rféreJrces, [i nZver.52te d tiJ.sch-a1z5

th^-arse" 6 tours, C[niversité are 35Jch^-any

DEDICACES

* A mes Parents NDJANDA Réné et MBAKOP Gisèle

*A mon très cher oncle NWAMEN FIDELE

*A ma très chère et tendre Grand-mère NDJIKI Pauline

*A mes très chères tantes TATCHOUA Louise, NZOUEGOU Florence, Feue YANKEU Hélène, POKAKEU Pojumé Chantal Rose, FOWA Yvonne, MBIADOU Jacqueline.

*A mes chers frères, soeurs, cousins et cousines

iv

HEUGANG NDJANDA Audrey Steven

Thèse de Master of science, Option physique, Spécialité Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

REMERCIEMENTS

v

L'occasion nous est ici offerte d'exprimer notre sincère et profonde gratitude à Dr. KAMDEM TAGNE Hervé Thierry qui a consenti à diriger ce travail. Il a fait naître en nous l'esprit de recherche et a mis à notre disposition la documentation et le matériel nécessaire pendant le déroulement du travail. Il a été pour moi un encadreur infatigable à travers ses multiples remarques, observations, encouragements et sa disponibilité extraordinaire.

Notre gratitude va également à l'endroit du:

- Pr FOMETHE Anaclet, Recteur de l'université de Dschang pour le soutien qu'il accorde au master de physique.

- Pr TALLA Pierre Kisito, Chef du Département de Physique à l'Université de Dschang, qui s'est toujours battu pour que nous menions notre formation à terme.

- Dr TCHITNGA Robert pour ses conseils et ses encouragements qu'il n'a cessé de me prodiguer.

- A tous les enseignants du Département de physique, Pr. LUKONG FAI Cornelius, Pr. YEMELE David, Pr. PELAP François, Dr. SAMBA Odette, Dr. TCHOFFO Martin, feue Dr MEFFO L., Dr. NSANGOU Issofa, Pr BOUETOU Thomas, Pr Tchinda Réné, Pr Fogue Médard, Pr Tchuen Ghislain, pour la formation qu'ils m'ont offerte depuis mon entrée à l'Université. Que l'Eternel Dieu leur donne la force de la continuer.

Je remercie de tout coeur :

Les éminents membres du jury qui ont sacrifié de leur temps pour juger la qualité de ce travail.

Mes parents Mr et Mme NDJANDA pour leur amour, leur instruction, leur patience et leur soutien tant moral que financier.

Mon oncle Mr Nwamen pour sa rigueur, son exigence de réussite et sa générosité.

Les amis et collègues de mon oncle Mme Kakeu Marie, Mme Fangue Laure, Mr Tchantchou Salomon, Mr Deffo Simplice, Mr Djeudji Gabin, Mr Kemogné Alain, Mr Omenguélé Réné pour leur encouragement.

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vi

Le président de la Fédération Camerounaise de Kung-fu Wushu et disciplines assimilées, Dr Me Ella Jean Bosco pour son optimisme, sa compréhension et ses conseils.

Mes cadets et cadettes Stéphanie, Armelle, Ornella, Judicaël et Abdias pour leur climat de détente.

Mes grands parents feus papa Batchamen Joseph, papa Mbakam Paul, feue maman Mbokop Delphine et maman Ndjiki Pauline.

Mes oncles Tomi chamberlain, Mbetcha Isidor, Nbagnia Félicien, Yankam Maginot et mes tantes Tatchoua Louise, Nzouégou Florence, Feue Yankeu Hélène, Pokakeu Pojumé Chantal Rose, Fowa Yvonne, Mbiadou Jacquéline.

Mes cousins et cousines qui sauront se reconnaitre à travers ces mots mais que malheureusement je ne peux citer par crainte d'oublier certains, la liste ne pouvant être exhaustive. Qu'ils trouvent en ce travail l'exemple à suivre.

Mes amis, condisciples, ainés académiques, membres du laboratoire de mécanique et de modélisation des systèmes physiques de l'Uds et camarades de promotion Tameni Raoul, Deutcham Théophile, Wadjou Christian, Tchoffo Géral, Djoufack Paulin, Métangou Hermione, Makamté Kakeu Christelle Rolande, Foé Abessolo Frédéric, Mando Alex, Patrick Louodop, Mabekou Sandrine, Tiam Pascalin, Houdjeu Christian, Kamdoum Victor, Mégam Elie, Kengne Romanic, Fozin Théophile, Fouetsa Martial, Diléga Julio, Tanékou Guy, Wamba Maturin, Wamba Jackson, Makene Laura, Vouefack Aristide pour leur soutien et les échanges fructueux et sérieux que nous avons eu au sujet de ce travail.

Mes cadets académiques des niveaux master I, Licence I, II et III des filières Physique, Chimie et Mathématique pour leur encouragement, l'intérêt que ce travail à suscité chez certains d'entre eux et qui s'est traduit par des préoccupations qui m'ont permis de faire attention à certains aspects de ce travail.

Tous ceux qui de près ou de loin ont apporté leur concours à l'élaboration de ce travail.

MeNTION SPéCIALe AU DIeU TOUT PUISSANT POUR LA gRâCe, LA SANTé eT Le COURAgE QUI M'ONT PERMIS DE RéALISER CETTE THèSE. QUE TA FIDéLITé, SeIgNeUR, SOIT SUR NOUS, COMMe NOTRe eSPOIR eST eN TOI.

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vii

DEDICACES i

REMERCIEMENTS ii

LISTE DES FIGURES iii

N0MENCLATURE iv

ABSTRACT v

RESUME vi

INTRODUCTION 1

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE 7

I TRANSFERT CONDUCTIF INSTATIONNAIRE EN MILIEU POREUX 7

I-1.EQUATION DE CONSERVATION DE L'ENERGIE 7

I-2.PROBLEMATIQUE DE LA MODELISATION DES FLUX CONDUCTIFS 10

I-2.1-MODELE DE FOURIER 10

I-2.2-MODELE DE CATTANEO-VERNOTTE(CV) 12

I-2.3-GENERALISATION DES MODELES NON-FOURIER 12

I-3-DEVELOPPEMENT DE L'EQUATION DE CONSERVATION 14

I-3.1-PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE 15

I-3.2-PROBLEMES DE PROPAGATION DE L'ONDE THERMIQUE 15

I.4-CONDITIONS AUX LIMITES 16

I.4-1TEMPERATURES IMPOSEES 17

I.4-2 FLUX IMPOSES 17

I.4-2-1 CONVECTION AUX FRONTIERES 17

I.4-2-2 FLUX AUX FRONTIERES 18

I.4-3 CONDITIONS MIXTES 18

I.4-4 CONDITION INITIALES 18

I-5- PROPRIETES THERMOPHYSIQUES 18

I-5.1- MATERIAUX EN FIBRES DE SILICE 19

I-5.2 MOUSSE DE POLYSTYRENE EXTRUDE 20

I-5.3-FIBRES DE BOIS 21

I-5.4-DIFFUSIVITE THERMIQUE 22

I-5.5-TEMPS THERMIQUE DE RELAXATION 22

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viii

I-6-PROBLEMES THERMIQUES A PROPRIETES THERMOPHYSIQUES VARIABLES 23

CONCLUSION 25

II RESOLUTION DES EQUATIONS DE DIFFUSION ET DE PROPAGATION THERMIQUE 26

II-1 METHODE DES VOLUMES DE FINIS / CONTROLES 26

II-1.1 DISCRETISATION SPACIALE 27

II-1.2 DISCRETISATION TEMPORELLE 27

II-2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE CONSERVATION DE L'ENERGIE 28

II-2.1 EQUATIONS DE DIFFUSION 28

II-2.1.1 NOEUDS INTERNES DU MAILLAGE 28

II-2.1.2 NOEUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE 30

II-2.1.2a Températures imposées 30

II-2.1.2b Flux imposés 30

II-2.1.2c Convection aux frontières 30

II-2.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE PROPAGATION 35

II-2.2.1 EQUATIONS ALGEBRIQUES AUX NOEUDS INTERNES DU MAILLAGE 35

II-2.2.2 NOEUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE 37

II-2.2.2a Températures imposées 37

II-2.2.2b Flux imposés 38

II-2.2.2c Convection aux frontières 39

II-2.3. DISCRETISATION DES CONDITIONS INITIALES 42

II-2.4 DISCRETISATION DES PROPRIETES THERMOPHYSIQUES AUX INTERFACES

DU VOLUME DE CONTROLE 42

II-2.4a MOYENNE ARITHMETIQUE 43

II-2.4b MOYENNE HARMONIQUE 43

II-2.4c MOYENNE GEOMETRIQUE 43

II-2.5 ALGORITHME DE RESOLUTION DES EQUATIONS DISCRETISEES 44

CONCLUSION 46

III RESULTATS ET DISCUSSION 47

III-1.VALIDATION DU CODE DE CALCUL 47

III-1.1-RESOLUTION NUMERIQUE DES PROBLEMES DE CONDUCTION THERMIQUE

INSTATIONNAIRE: 48

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ix

III-1.1.1-EN MILIEU HOMOGENE ET ISOTROPE 48

III-1.1.1.A- PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE 48

III-1.1.1.A.1-TEMPRATURES IMPOSEES 48

III-1.1.1.A.2-FLUX IMPOSES 49

III-1.1.1.A.3-CONVECTION AUX FRONTIERES 49

III-1.1.1.A.4-CONDITIONS MIXTES :Tempéraure-Flux 50

III-1.1.1.A.5-CONDITIONS MIXTES :Tempéraure-Convection 51

III-1.1.1.A.6-CONDITIONS MIXTES :Convection-Flux 51

III-1.1.1.B- PROBLEMES DE PROPAGATION THERMIQUE 52

III-1.2-EN MILIEU NON - HOMOGENE ET ISOTROPE 53

III-1.2.1-TEMPRATURES IMPOSEES 53

III-1.2.2-FLUX IMPOSES 54

III-1.1.1.A.5-CONDITIONS MIXTES :Tempéraure-Flux 55

III-2.ANALYSES DES PROBLEMES DE CONDUCTION D'ENTHALPIE EN MILIEUX

NON-HOMOGENES ET ISOTROPES 56

III-2.1. ANALYSES DE LA DIFFUSION DE L'ENTHALPIE 56

III-2.1.1-TEMPRATURES IMPOSEES 56

III-2.1.2-FLUX IMPOSES 57

III-2.1.3-CONDITIONS MIXTES 59

III-2.1.4-CONVECTION AUX FRONTIERES 60

III-2.2.RESULTATS NUMERIQUES: APPLICATIONS AUX MILIEUX REELS 64

CONCLUSION 67

CONCLUSION ET PERSPECTIVES 68

ANNEXES 69

I-APPROCHE ANALYTIQUE 70

I-1. TRANSFORMATION DE KIRCHHOFF 72 70

I-2. RESOLUTION DES PROBLEMES LINEARISES DE CONDUCTION THERMIQUE 72

II-PROPRIETES THERMOPHYSIQUES... 75

REFERENCES 77

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LISTE DES FIGURES

x

FIGURE N° PAGE

Figure 0-1:Principe d'un dispositif de protection incendie 2

Figure 0-2:Brique de céramique utilisée comme isolant dans les fours... 2

Figure 0-3:Dispositif de fabrication et traitement thermique des matériaux... 3

Figure 0-4:Exemple de milieux poreux : a)-Echantillon de quartz contenant des bulles, b)-Milieu en fibre de bois, c) Peau humaine et d) -Coupe transversale d'un échantillon de céramique de

Zircone 4-5

Figure I-1:fibre de silice 19

Figure I-2:Image MEB d'un échantillon de mousse de polystyrène extrudé 20

Figure I-3:Examen au MEB de la structure de la fibre de raphia hookeri. (7a) face

externe, (7b) face interne 21

Figure II-1:Délimitation d'un élément de volume de contrôle dans le maillage 27

Figure II-2: pas de temps 28

Figure II-3: flux instationnaires aux frontières du domaine... 30

Figure II-4:Organigramme pour la résolution numérique des équations de conduction

Thermique 45

Figure III-1:Diffusion thermique un milieu homogène et isotrope soumis aux températures imposée aux frontières. Les solutions analytique et numérique

coïncident 48

Figure III-2:courbe de validation du modèle numérique en flux imposés aux

frontières 49
Figure III-3: courbe de validation du modèle numérique en convection aux frontières

50
Figure III-4: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion avec condition mixtes (température / flux) aux

frontières 50

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xi

Figure III-5: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion avec conditions mixtes (température / convection) aux

frontières. 51
Figure III-6: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion avec conditions mixtes (convection / flux) aux

frontières 52
Figure III-7: Propagation thermique en milieu homogène et isotrope soumis aux températures imposée aux frontières. Les solutions analytique et

numérique coïncident...... 52
Figure III-8: profil de température du milieu. Modèle de diffusion de la température pour

53

Figure III-9: profil de température du milieu. Modèle de propagation de la température

pour 54

Figure III-10:profil de température du milieu pour problème de diffusion de la

température flux imposés 54

Figure III-11: profil de température du milieu pour problème de diffusion de la

température conditions mixtes (température et flux imposé)... ...........55

Figure III-12: profils de température dans un milieu non-homogène soumis aux

températures imposées ... 56

? * ? _{0. 3}

Figure III-13: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le milieu obtenues à partir des modèles numériques développés à deux

instants différents 57

Figure III-14: Profil de température en milieu non-homogène à des instants variés lorsque le flux est appliqué aux frontières,

pour 58

Figure III-15: Profil de température en milieu non-homogène et isotrope à des instants

variés lorsque le flux est appliqué aux frontières, pour

..........58

Figure III-16: courbe présentant les la précision entre les valeurs de la température dans le milieu, obtenues à partir des modèles numérique développés à des

instants différents, pour ..... 59

Figure III-17: Profil de température en milieu non- homogène et isotrope à des instants variés avec la température et flux

59

Figure III-18: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le milieu obtenues à partir des modèles numériques développés à des

instants différents, pour les conditions aux frontières sont mixtes.

60

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xii

Figure III-19: Profil de température en milieu non-homogène et isotrope à des instants

variés avec la convection aux frontières ...................60

Figure III-20: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le milieu obtenues à partir des modèles numérique développés à des instants

différents, pour le milieu est soumis à la convection.

61

Figure III-21: profil de température en milieu non-homogène à des instants variés avec a-)flux imposés, b-) températures imposées, c-) conditions mixtes

(température / flux), d-) convection aux frontières ( ), e-)

convection aux frontières ( )... 61-

63

Figure III-22: Profil de température dans l'isolant réel en zone chaude 64

Figure III-23: Profil de température dans l'isolant réel en zone froide..............................65

Figure A-1:Profil de température pour Fo=0.08, 0.2 en Température imposées

,?,?

73

Figure A-2:Profil de température pour Fo=0.08, 0.5 en Température imposées

73

Figure A-3: Profil de température pour Fo=0.08, en Température imposées

74

Figure A-4:Profil de température pour Fo=0.08, 0.2 en conditions mixtes

74

Figure A-5:Profil de température pour Fo=0.08, 0.2 en convection aux frontières

75

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NOMENCLATURE

xiii

ABBREVIATIONS

D.E Diffusion d'Enthalpie

D.T Diffusion de Température

P.E Propagation d'Enthalpie

P.T Propagation de la Température

S.R.P Simple Retard de Phase

T.D.M.A Tri Diagonal Matrix Algorithm

EXPOSANT

t pas de temps présent

t pas de temps suivant

it itération considérée

n rang du terme général de la série

m paramètre caractérisant l'écoulement de l'air ambiant

INDICES

p à pression constante

t, c, r total, conductif, radiatif

q, T, L relatif au flux, à la température, à la longueur

f,o; f,L; fluide ambiant à gauche; à droite du mur

i; r,i; conv,i relatif respectivement à la frontière considérée, au rayonnement, à la
convection

m, g, a relatif aux milieux poreux, au gaz, à l'air respectivement

ini initiale

réf référence

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xiv

SYMBOLES GRECS

h _con ,i (T)

_{kp est la conductivité du polymère. kg représente la conductivité du}

_{étant la longueur du milieu}

Masse volumique

T temps thermique de relaxation

á Diffusivité thermique

ä Racine carrée du nombre de Veron

Y porosité du milieu

Facteur compris entre 0 et 1.

N _{le nombre de volume de contrôle du maillage}

_{est le nombre d'intervalle de temps considéré}

SCALAIRES ET VECTEURS

Q Energie thermique volumique

C Capacité Calorifique

?y Epaisseur du volume de contrôle entourant le noeud P

Célérité du son ordinaire

Célérité de l'onde thermique

Temps

Rayon vecteur

flux thermique de conduction

flux thermique de radiatif

flux thermique de total

Coefficient d'échange par convection

_gaz

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ABSTRACT

This thesis is focused on a survey of transient conduction analysis in porous medium. This research has three objectives: understand and modelize heat transfer within macro, micro and nano-structure; another objective is to relevant characteristic for a good thermal insulation. The developpement of equation of energy and the relations of constitutive heat flux lead to four equations with different complexity: diffusion equation of temperature, propagation of temperature equation, equation of diffusion of enthalpy and propagation of enthalpy equation. To solve these equations we have used finite volume method. And numerical show that both temperature equation of diffusion and propagation generally used to describing transient conduction present some limits when thermo physical properties of medium depend on temperature. And then wood fibbers are more adapted for thermal insulation.

Keys-words: conduction, transient, porous, nonhomogeneous, Isotropic, diffusion, propagation, enthalpy.

xv

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RESUME

xvi

Ce travail de thèse porte sur l'analyse thermique de la conduction instationnaire dans les milieux poreux. Cette recherche s'articule autour de trois objectifs principaux: Comprendre et modéliser le transfert de chaleur dans les macros, micros et nanostructures; Prendre en compte le caractère non-linéaire des propriétés thermophysiques; Rechercher les caractéristiques nécessaires pour une isolation thermique du bâtiment au Cameroun.

Le couplage de l'équation de conservation de l'énergie aux relations constitutives du flux de Fourier et de Cattanéo-Vernotte conduit à quatre équations fortement non-linéaires et de complexité différentes : une équation de diffusion et une équation de propagation de la température, une équation de diffusion et une équation de propagation de l'enthalpie. Ces équations sont résolues numériquement par la méthode des volumes finis en considérant différents types de conditions aux limites : températures imposées et/où flux aux frontières. Les résultats des expérimentations numériques montrent que les équations de diffusion et de la température généralement utilisées pour décrire la conduction instationnaire présentent des limites lorsque les propriétés thermophysiques du milieu dépendent de la température et qu'il est préférable d'utiliser les équations de diffusion et de propagation de l'enthalpie. La comparaison des profils de la température dans trois milieux poreux réels constitués de mousse de polystyrène, de fibre de silice (verre) ou de bois montrent que les milieux en fibre de bois sont mieux adaptés que les deux autres pour l'isolation thermique en climats tropicaux tels qu'au Cameroun.

Mots-Clés: conduction instationnaire, milieux poreux, mousse de polystyrène, fibre de silice, fibre de bois, diffusion, propagation, enthalpie, température, flux, Fourier, non-Fourier, Cattanéo-Vernotte, Temps de relaxation, méthode numérique, volumes finis.

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INTRODUCTION

1

La protection thermique des systèmes physiques et des équipements les plus divers tout autant que le confort thermique dans les domaines du bâtiment, de l'automobile et de l'aéronautique; les protections incendies; le conditionnement des cultures et des aliments dans les domaines respectifs de l'agro-industriel et de l'agro-alimentaire; l'irradiation des tissus biologiques à l'aide des lasers à rayonnement thermique dans le domaine médical, l'amélioration et la fabrication des nouveaux matériaux en science des matériaux ou dans le traitement des pièces en ingénierie des matériaux; la conception des réacteurs nucléaires et la diminution des pertes d'énergie des processus qui s'y produisent... ont été un souci constant de l'ingénieur, du chercheur, du politique (Minkowycz et co-auteurs, 1999; Sacadura, 2011). Ces deux dernières décennies, ces préoccupations se sont accentuées avec les problèmes :

1. Du confort climatique dans nos pays tropicaux, en voie de développement, où il fait de plus en plus chaud et où l'urbanisation a suscité un accroissement considérable de la demande énergétique.

2. De protection de l'environnement et de l'économie de l'énergie. En effet, avec environ 35-40% des énergies consommées dans le bâtiment (Laaly, 1995a; Kaemmerlen et co-auteurs, 2010), la construction des bâtiments propres : bâtiments avec une balance environnementale positive, c'est-à-dire les impacts positifs sont plus importants que les négatifs; est un enjeu considérable. La réduction de la consommation énergétique dans les bâtiments permet un gain sur les énergies non renouvelables utilisées pour la climatisation et/ou le chauffage; et par conséquent permet une réduction de la quantité de polluant rejeté dans l'atmosphère (Laaly, 1995b).

Le développement, l'utilisation et l'intégration des isolants thermiques propres sont par conséquent des enjeux importants dans l'architecture des bâtiments (Meukam, 2004. Ngohe-Ekam, 2005). Dans ce cadre, un grand nombre de travaux théoriques, expérimentaux et de conception s'appliquent couramment dans les domaines aussi variés. Ainsi :

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2

? Dans le domaine de la protection incendie un rideau d'eau sert d'isolant thermique entre une cible à protéger et une source d'incendie (Torvi et Dale, 1999 ; Collin, 2006).

Figure 0-1: Principe d'un dispositif de protection incendie (Collin, 2006)

? Dans le bâtiment, le confort thermique dans les maisons et bureaux, la conception des

fours et des chambres à combustion, la protection thermique des engins spatiaux nécessitent une connaissance préalable des isolants thermiques utilisés et des processus thermiques qui s'y produisent (Doermann, 1995; Goyheneche, 1997; Kaemmerlen, 2009).

Figure 0-2:Brique de céramique utilisée comme isolant dans les fours (BEE, 2005)

? Dans le domaine du développement des matériaux avec par exemple les problèmes

de la cuisson du verre, du revêtement, du perçage et de la coupure des pièces et objets divers et le domaine de la nanotechnologie, l'analyse thermique permet de décrire les tensions thermiques et les modifications profondes survenant au niveau même de la microstructure du matériau. (Brorson et co-auteurs, 1987; Kar et co-auteurs (1992); Tzou,

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3

1995; Gustavo et Tien, 1999; Vadasz, 2005). Un exemple de dispositif de fabrication de matériau utilisant l'émission d'un champ d'électron à partir d'une nano-sonde est donné à la figure suivante.

Figure 0-3: Dispositif de fabrication et traitement thermique des matériaux (Wong et co-auteurs, 2007).

Les milieux étudiés dans les différents domaines cités plus haut et bien d'autres domaines encore, sont dans leur grande majorité poreux : matériaux dont la matrice solide comporte des pores ou cavités à travers lesquelles un fluide peut s'écouler (Langlais et Klarsfeld, 1985). La géométrie des pores est diverse et complexe. C'est ainsi qu'on distingue les grands groupes de milieux poreux suivants: les isolants granulaires (Figure 4.a), les matériaux en

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4

fibres de bois (Figure 4.b), la peau humaine (Figure 4.c) et les céramiques (Figure 4.d).

a)-Echantillon de quartz contenant des bulles b)-Milieu en fibre de bois

c) Peau humaine d) -Coupe transversale d'un échantillon de

céramique de Zircone

Figure 0-4: Exemple de milieux poreux (Baillis et co-auteurs, 2007; Kaemmerlen, 2009; Sacadura, 2011; Dombrovski et co-auteurs, 2007)

Au sein de ces milieux poreux les phénomènes de transfert de chaleur sont: La conduction à travers la matrice solide mais aussi à travers le fluide interstitiel piégé ou emprisonné dans les pores; la convection thermique naturelle du fait des mouvements du gaz interstitiel dû aux différences de températures entre les faces chaudes et froides de l'isolant; le transfert radiatif faisant intervenir l'énergie du champ électromagnétique dans le domaine des longueurs d'onde du rayonnement thermique (Langlais et Klarsfeld, 1985; Tong et Tien, 1980). Les principales questions de recherche en transferts thermiques des milieux poreux concernent alors:

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5

> La modélisation des transferts de chaleur.

> La caractérisation thermique des matériaux, par la détermination de leurs propriétés thermophysiques, requérant un modèle théorique et expérimental d'identification adéquat et aussi complet que possible.

> L'élaboration des matériaux nouveaux et toujours plus performants, nécessitant le développement d'outils d'analyse et de simulation fiables, performants et précis.

L'élaboration de matériaux poreux nouveaux nécessitant des équipements de laboratoire lourds et couteux. Il est par conséquent utile de développer des modèles théoriques pour simuler le comportement thermique du matériau et identifier leurs propriétés thermiques. C'est dans cette optique que s'inscrit notre travail dont les objectifs sont les suivants:

? La modélisation du transfert de chaleur par conduction instationnaire aux échelles macroscopique, microscopique et nano-scopique;

? L'analyse des transferts conductifs avec propriétés thermophysiques variant avec la température;

? La recherche d'un isolant thermique adapté aux climats tropicaux tels qu'au Cameroun.

Dans ce mémoire, nous examinons les transferts thermiques par conduction en régime instationnaire, dans les matériaux poreux. Le transport de chaleur sera modélisé soit par la loi de Fourier traduisant la diffusion de chaleur aux échelles macroscopiques soit par loi de Cattanéo-Vernotte caractérisant la propagation de l'onde de chaleur au sein des matériaux micro et nano structurés.

Pour cette étude, nous formulons les hypothèses principales suivantes :

+ Les conditions de l'équilibre thermodynamique local sont remplies. Ce qui suppose que la température de la phase solide est la même que celle de la phase fluide

+ La conduction thermique dans le milieu poreux est examinée; la convection négligée: le gaz interstitiel est supposé immobile. On néglige également le transfert radiatif: La porosité est supposée faible ou moyenne (<70%) et le transfert thermique se fait à température ambiante.

+ La géométrie du matériau étudié est supposée plane et le transfert thermique est unidimensionnel.

+ Les frontières pouvant être soumises aux grands flux ou aux brèves impulsions lasers.

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Le travail est organisé autour de trois chapitres.

Le premier Chapitre porte sur la formulation mathématique des transferts conductifs instationnaires dans un milieu poreux. Nous donnons un aperçu des équations à étudier qui sont de types parabolique et hyperbolique et qui sont en plus non-linéaires du fait que les propriétés thermophysiques et les conditions aux frontières dépendent de la température.

Le deuxième Chapitre est consacré à la résolution des équations de diffusion et de propagation thermique établies au chapitre précédent. Nous envisageons l'approche numérique. La méthode des volumes de contrôle est utilisée pour discrétiser les équations de diffusion et de propagation non-linéaires et les conditions aux limites.

Au troisième Chapitre nous utilisons les théories développées dans les chapitres précédents pour analyser le comportement thermique des matériaux. L'influence du type de matériaux sur le transfert thermique est étudiée. Les résultats obtenus sont présentés.

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CHAPITRE I

TRANSFERT CONDUCTIF INSTATIONNAIRE EN MILIEU POREUX

Les objectifs de ce chapitre sont de décrire les mécanismes de conduction thermique aux échelles macroscopiques et microscopiques, et de les modéliser c'est-à-dire de donner la formulation mathématique du problème de conduction thermique dans les milieux poreux. Pour ce faire, nous développons :

_{ô ô Q}

_f f ô

_QdV = _dV

_ô t _V V t

? L'équation de base qui traduit les mécanismes du transfert de chaleur dans les

matériaux poreux par conduction en régime instationnaire: L'équation de

conservation de l'énergie.

? Les relations constitutives du flux de chaleur.

? Les conditions aux limites associées.

_{est l'énergie thermique volumique, Q} ? _?CpT

_{la température}

I-1.EQUATION DE CONSERVATION DE L'ENERGIE

Soit un volume élémentaire d'étude de notre milieu délimité par une surface . On

suppose que le volume et sa frontière sont indéformables, fixes, continus et semi-

transparents au cours du transfert thermique. L'accroissement de l'énergie thermique par

échauffement dans ce volume vaut :

? ?

? ? ?

? ? ? ?

? ? ?

? _C ( _T ) _T ( _r , _t ) _dV ? _C ( _T ) _T ( _r , _t ) _dV

V ?? ? t V

?? ?? ? t ??

_{chaleur massique}

_{masse volumique}

(I.1)

soit

_p

(I-

2)

où

_Cla

_p

? _la

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Deux situations peuvent provoquer cet accroissement :

1- La présence d'une source (ou d'un puits) dans le milieu. Mais dans cette étude, nous supposerons qu'il n'y a pas création d'énergie.

2- L'énergie thermique peut être transportée d'un point du milieu vers un autre du même milieu que nous considérons dans cette étude.

Le transport est alors caractérisé par le vecteur courant thermique total . Le flux de

chaleur qui traverse l'élément de volume s'écrit alors :

(I-3)

Le théorème d'Ostrogradski nous permet d'écrire

(I-4)

Le premier principe de la thermodynamique sur la conservation de l'énergie qui s'énonce : L'augmentation de l'énergie interne au cours du temps (à pression constante) dans un volume de contrôle du milieu donné, doit être égale à la somme algébrique des énergies générée (s'il existe des sources d'énergie au sein du milieu) et libérée (sortant) par un mode donné de transfert thermique à travers la surface qui délimite le volume de contrôle.

· f [ ? =
·f _

? ? ?

_C ( _T ) _T ( _r , _t ) _{dV div} ( _q ) _dV

V ?? ? t V

L'application de ce principe en supposant qu'il n'y a pas création d'énergie, donne :

_t

??

(I-5)

soit

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(I-6)

La conservation étant vérifiée quelque soit le volume de contrôle considéré, on a:

où

_{a C} ( _T ) _{aT a T}

_T + _C(T) = -- _div q _c q r

_{aT a t a t}

(I-7)

En remplaçant le flux total par son expression, on obtient:

( + )

(I-8)

soit encore

(I-9)

Etant donné que la capacité calorifique dépend implicitement du temps puisque la

_?T + _C ( _T )? = _div q _c q r

( + )

? _{a T ?a t}

température dépend du temps, l'équation (I-9) s'écrit encore:

T ? _T

? _C(T)

( _{a C} ( _T ) ? _{a T}

soit

(I-10)

(I-11)

Dans le cas où le premier terme du membre de gauche

de la relation (I-11) est

9

_C(T

négligé devant le deuxième terme du même membre, l'équation (I-8) s'écrit aussi:

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(I-12)

Les équations (I-8) et (I-12) peuvent finalement s'écrire respectivement:

? ? ? ? ? ?

(I-13a)

(I-13b)

10

avec

est le terme source (radiatif) additionnel Nous nous intéresserons dans cette étude aux équations (I-13) de conservation de l'énergie. La conservation de l'énergie exprimée par l'équation (I-13a) est très répandue dans la littérature. L'équation (I-13b), n'est par contre, pas très utilisée dans la littérature (Murthy et Mathur (1998), Yuen et co-auteurs (2003) et Dorcak et co-auteurs (2010)).

Le problème désormais de cette formulation mathématique est d'expliciter le flux de

conduction en fonction de la température .

_{qc (i, t) k T} ( _i , _t )

I-2.PROBLEMATIQUE DE LA MODELISATION DES FLUX CONDUCTIFS

La relation liant le flux thermique et le gradient de température est appelée relation constitutive du flux thermique. Cette relation est très importante en conduction thermique et est donnée par des formules fondamentales (Wang, et co-auteurs2008). Dans ce paragraphe, nous examinons le problème de la modélisation du flux de conduction.

I-2.1-MODELE DE FOURIER

Pour un matériau homogène et isotrope, la loi qui traduit l'écoulement de la chaleur est la loi de Fourier :

_k ? _k ( _T , _P ) ? _k ( _T )

(I-14)

La conductivité thermique du matériau est une propriété de l'état thermodynamique et de ce point de vue devrait être une fonction de deux propriétés dynamiques intensives

et indépendantes : Température et la Pression . Nous considérons que la conductivité
thermique du milieu varie avec la température, la pression étant supposée constante.

(I-15)

La relation de Fourier, équation (I-14) devient par conséquent

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(I-16)

Ce modèle de Fourier est très adapté pour des systèmes de grandes dimensions de l'ordre du mètre et dont le comportement thermique est appréhendé sur des temps longs (l'ordre des secondes). Cependant, deux problèmes ont révélé que ce modèle présentait des limites :

1. Le problème du « second son » étudié pour la première fois par Tisza et par la suite

par Landau (Joseph et Preziosi, 1989). Tisza dans ses travaux sur l'hélium II superfluide, parvient à obtenir une vitesse finie quoique faible d'une onde thermique. Landau a développé dans sa théorie de l'hélium II fluide, deux vitesses. L'une était celle du son ordinaire et l'autre celle du l'onde thermique qu'il baptisa « second son ». Le problème s'est alors posé de savoir si une telle onde pouvait exister dans les solides et surtout la manière de la décrire. Beaucoup de travaux théoriques et expérimentaux ont été mené sur la question (Glass et co-auteurs, 1986; Joseph et co-auteur, 1990; Ji et co-auteurs, 2000; Rahideh et coauteurs, 2011). On parvint à établir que dans le solide, l'énergie est transportée par deux mécanismes conductifs différents :

1 2

_S ?

² S 0

? Les excitations électroniques quantifiés qui sont appelées électrons libres.

? Les quantas de vibrations longitudinales, internes du solide que l'on appelle « phonons ».

Marvin Chester (1963) se préoccupant de déterminer la fréquence à partir de laquelle cette onde prenait naissance dans le solide établit que le rapport des carrées des vitesses de

l'onde thermique et du son ordinaire () doit être constant et donné par la relation :

₃

(I-17)

2. L'autre problème qui a remit en cause le modèle de Fourier est celui de la vitesse

infinie de propagation de la chaleur que ce modèle prédit. En effet, la loi de Fourier prévoit que si une soudaine perturbation de température est appliquée en un point du milieu, c'est instantanément que cela sera ressenti partout au sein du milieu même à des distances infiniment éloignées de la source où la perturbation a pris naissance. Faits physiquement irréalistes et inconcevables car n'intégrant pas les effets de la relaxation thermique ou encore d'inertie thermique. En effet les quanta de vibrations et les électrons, responsables du transfert thermique par conduction, à la suite d'une excitation thermique font place à des

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nombreuses collisions de nature dissipatives, faisant ainsi croître la résistance thermique du milieu. Le temps moyen de communication entre ces collisions s'appelle le « temps de relaxation thermique » du milieu. Ce problème a été soulevé pour la première fois par Cattanéo en 1948, examiné par Morse et Feshbach au même moment mais cependant séparément, en 1953 et puis par Vernotte en 1958 (Joseph et Preziosi, 1989). La résolution de ces problèmes, a consisté à apporter des corrections à la loi de Fourier.

I-2.2-MODELE DE CATTANEO-VERNOTTE(CV)

Pour prendre en compte les limitations de la loi de Fourier, Cattanéo et Vernotte ont proposé l'écriture du flux conductif suivant la relation:

(I-18)

avec

le temps thermique caractéristique de l'onde de chaleur encore appelé temps de relaxation thermique du milieu.

Le temps de relaxation caractérise le retard causé par les nombreuses collisions et interactions (électron-phonon, phonon-phonon) survenues au niveau microscopique, à la suite des rapides et importantes transitions des états thermodynamiques du milieu, lesquelles ont freiné la propagation de l'onde de chaleur (Kar et co-auteurs, 1992; Qiu et coauteurs, 1994a ; Antaki, 1997. Herwig et Beckert, 2000. Antaki, 2005. Zeng et co-auteurs, 2010. Haji et co-auteurs, 2011). Telle est bien le sens du concept de l'inertie thermique rencontrée plus haut qui contraste avec l'idée d'instantanéité avancée par la loi de Fourier. Cependant, bien que ce modèle permet de prendre en compte les limites du modèle de Fourier, il n'est pas adapté pour décrire une onde thermique dans les milieux en mouvement où il faut introduire la dérivée particulaire et s'assurer que le principe de la relativité galiléenne est respectée (Christov et co-auteur, 2005; Cheng et co-auteurs, 2008).

I-2.3-GENERALISATION DES MODELES NON-FOURIER

En considérant le modèle CV, équation (I-18) on peut remarquer que le membre de gauche constitue une approximation au premier ordre du développement en série Taylor du

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flux conductif. De ce fait, l'équation (I.18) peut s'écrire (Wang et co-auteurs 2008; Ramadan et co-auteurs 2009; Ordoñez et co-auteur 2010).

(I-19)

Ce modèle est dit à Simple Retard de Phase (SRP). La relation (I-19) signifie que le gradient de température établit au point à l'instant accroît le flux thermique au même point mais

à l'instant plus tard. Ce modèle permet de décrit les effets transitoires rapides (ou

encore les effets du transport thermique à faible échelle dans le temps) mais il ne prend pas en compte les interactions au niveau de la micro-structure du milieu (ou encore les effets du transport thermique à faible échelle dans l'espace). En effet, selon le modèle CV, le gradient de température est toujours la cause tandis que le flux thermique, est la réponse (Brorson et co-auteurs, 1987; Qiu et co-auteurs, 1994b; Tzou ,1995). Afin de modéliser aussi les cas où les flux thermiques provoquent les gradients de température avec une réponse du milieu non-instantanée, dans une même relation constitutive du flux, Tzou introduit en 1992 un deuxième retard de phase.

(I-20)

avec

Ainsi, dans le cas où , le flux thermique (effet) qui s'établit au sein du milieu résulte

de gradient de température (cause). Tandis que pour , le flux thermique (cause)

induit le gradient de température (effet). La signification physique de la relation (I-20) est alors la suivante : le gradient de température qui se produit au point du milieu à l'instant

correspondant au flux thermique au même point à l'instant lorsque la

conservation de l'énergie thermique est réalisée au même point à l'instant. Ainsi, en théorie ondulatoire de la conduction thermique, les mécanismes d'interaction entre les photons et les électrons d'une part et de diffusion des photons (en milieu diélectrique) d'autre part, nécessitent un temps fini pour se produire. Ces différents phénomènes à l'échelle microscopique sont responsables de retards de phase observés à l'échelle

macroscopique (Tzou, 1995). Notons que les temps de relaxation et sont des

propriétés thermiques intrinsèques au même titre que la conductivité et la diffusivité

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thermique. En supposant que le développement en série de Taylor de l'équation

(I-20) donne:

^?t

^q

²

²

^?t

^?n

^q

?

^{?2q- (r- ,t)}

?

?

²

^q

ⁿ

?

)

^(T)

ⁿ

ⁿ

!

^?t

(

t)??q(T)

?

^?

?

^q

^r,

^(r ,t) ?

^{{)?T(r,t)??T(T)}

(T)

? ?

^q ( ^{r ,t}

^{?[k(T)?T(r,t)]?}

^n !

^?t

^n

}

^{kc (T}

^{?t 2 ?t}

²

(I-21)

^{?T ô} [k(T)?T(r,t)] ?? ? ? ? ^{?T(T) ?n[k(T)?T(r,t)]}

En limitant le développement à l'ordre un. Nous avons la relation constitutive du flux suivante:

(I-

22)

Dans cette étude, nous nous préoccupons des milieux poreux supposés fixes (immobiles).

En posant et = z , on retrouve l'équation (I-18) du modèle de CV tandis qu'en

posant = r_q = , on retrouve la loi de Fourier (I-16).

I-3-DEVELOPPEMENT DE L'EQUATION DE CONSERVATION

Reconsidérons l'équation (I-22) et supposons que les temps thermiques de relaxation

ne varient pas considérablement avec la température. En la reportant dans les équations (I-13a) et (I-13b) on a donc, respectivement:

?

^k(T

)

?

[

^S(r,t)

^?t

? ^S ( ^r , ^t ) ? ? ( ^T )

^q

? ^T ( ^r , ^t )] ? ? ( ^T )

^T

?

^{?{?[k(T)?T( r ,t)]}}

^?t

^?t

? ?

^?t

^?t

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

^C(T)

^C(T)

? ^T q ( )

^{T (r, t)}

^T(r,t)

?

^T

? ^t

^{?[C(T )T (r, t)]}

^?t

²

^?q

( ) ₂

^{[C(T )T (r, t)]}

?

(I-23a)

? [

^k(T

^)?T(r,t)]?? (T) ^T

? ^?t

? ^?S(r, t ^??[k(T)?T(r,t)]?? S(r, t)? ? ^(T) ^q ^?t )

(I-23b)

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Ces équations constituent les formes généralisées encore appelées formes unifiées des transferts thermiques. Ces équations peuvent être du type parabolique c'est-à-dire de diffusion thermique ou hyperbolique c'est-à-dire de propagation thermique. Nous traitons dans ce mémoire de ces deux types de problèmes de conduction.

_{a r a T} ( _y , _t ) ?

[ _C ( _T ) _T ( _y , _t )] = _k ( _T ) ?] + _S ( _y , _t

_a y ?? _{a y}

I-3.1-PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE

Nous examinons les transferts thermiques dans les milieux de grandes dimensions pour de temps considérablement long. Dans ce cas, les équations (I-23) paraboliques de

diffusion thermique ou équations de Fourier ( ) s'écrivent respectivement alors :

_{a T} ( _y , _t ) _{a r a T} ( _y , _t ) _l

_C ( _T ) ? _k ( _T ) ?j + _S ( _y , _t )

(I-24a)

(I-24b)

Dans le cas d'une géométrie plane les équations (I-24) prennent alors respectivement les

_{a t a} y ?? _{a y}

formes:

)

_a

_at

(I-25a)

,

(I-25b)

15

L'équation (I-25a) est l'équation de diffusion de l'enthalpie tandis que (I-25b) est l'équation de diffusion de la température.

I-3.2-PROBLEMES DE PROPAGATION DE L'ONDE THERMIQUE

Nous examinons également les transferts thermiques dans les milieux de grandes

dimensions pour des temps très courts, les équations convenables dans ce cas sont du type

hyperbolique et traduisent la propagation de l'onde thermique ( et ). Dans la

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suite nous supposons que le temps thermique de relaxation ne varie pas considérablement avec la température.

? ? ? _T ( _y , _t ) ? ? _T ( _y , _t ) ? ? ? _T ( _y , _t ) ? ? _S ( _y , _t )

? t ?? ? t ?? ? _t ? y ?? ? _{y ?t}

(I-26a)

(I-26b)

Dans le cas d'une géométrie plane donc monodimensionnelle les équations (I-26) prennent alors respectivement les formes:

_C ( _T ) ? _C ( _T ) ? _k ( _T ) ?? ? _S ( _y , _t ) ? ? ( _T )

,

(I-27a)

_?(T)

(I-27b)

L'équation (I-27a) est l'équation de propagation de l'enthalpie tandis que (I-27b) est l'équation de propagation de la température. Il est important de noter que l'équation (I-27a) découle de l'utilisation de l'équation (I-13a) et l'équation (I-18). L'équation (I-27b) quant à elle, est utilisée pour les cas non-Fourier aux propriétés variant avec la température. Pakdemirli et Sahin (2005) ont modélisé la conduction hyperbolique à propriétés thermique variant avec la température à partir de l'équation (I-27b).

I.4-CONDITIONS AUX LIMITES

Pour fermer les problèmes de diffusion et propagation thermiques, il reste d'écrire les conditions aux limites spatiale et temporelle. Nous considérons un mur d'épaisseur soumises soit aux températures imposées, soit aux flux imposés, soit enfin à la convection. Nous envisageons dans tous ces cas, la possibilité pour les conditions aux frontières de varier avec le temps sous forme d'impulsions thermiques ou non.

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I.4-1 TEMPERATURES IMPOSEES

Nous étudierons les problèmes de conduction lorsque les températures sont imposées aux frontières du mur: ce sont les conditions de Dirichlet. Cette condition correspond à celle de la méthode expérimentale des plaques chaudes gardées, très utilisées dans la littérature du fait de sa simplicité.

_hi ? h _conv , _i? h _r , _i

(I-28a) (I-28b)

I.4-2 FLUX IMPOSES

En fait, l'hypothèse des températures Imposées présente un inconvénient car la détermination des températures de surface est délicate et peu précise et parfois même impossible à réaliser. Les conditions de Dirichlet sont alors souvent remplacées par les conditions de flux, qui nécessitent la connaissance de lois simulant le comportement thermique du milieu extérieur au système thermique étudié. Le problème de conduction que l'on désire traiter ici, est celui d'un matériau plan soumis à deux types de conditions de flux:

h conv,i

h _r , i ( _T )

I.4-2-1 CONVECTION AUX FRONTIERES

Aux frontières du mur, le flux total est la somme de deux flux: le flux de

convection et le flux de rayonnement. Ce qui s'exprime à travers les formules suivantes :

(I-29a) (I-29b)

avec le coefficient global d'échange convectif incluant à la fois la

convection proprement dite et le rayonnement thermique. h _r i _{T ?OEi T} + T _f i _T + T _{f i}

( ) ( )( 2

₂

, , ,

(I-30)

où

est le coefficient d'échange par convection

est le coefficient d'échange radiatif donné par la relation suivante :

)

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La convection aux frontières est très adaptée à l'isolation thermique des bâtiments,

des murs d'un four ou des chambres à combustion où les deux faces du matériau et

sont en contact avec des ambiances de températures respective et . Les

échanges surfaciques entre paroi et ambiance sont caractérisés par des coefficients

d'échange global convectif variant avec la température et .

I.4-2-2 FLUX AUX FRONTIERES

(I-31a) (I-31b)

Ce type permet de modéliser à la fois le régime permanent aux frontières (les flux de conduction sont constants), l'isolation thermique des frontières, on parle également de frontières adiabatiques (flux nuls) et les impulsions laser (pulses) dans le traitement des matériaux.

_?T(y, t) ?

I.4-3 CONDITIONS MIXTES

Elles s'obtiennent en combinant deux quelconques des types de conditions présentés aux paragraphes I.4-1 - I.4-2.

I.4-4 CONDITION INITIALES

Les conditions initiales des problèmes sont données par :

(I-32a)

_{?t 0} (I-32b)

Dans le cas du problème de diffusion, seule la condition initiale (I-32a) est considérée.

I-5- PROPRIETES THERMOPHYSIQUES

Afin de résoudre les équations de conduction, les propriétés du matériau doivent être

connues. Il n'est donc pas superflu de présenter quelques unes de ces propriétés. Par

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exemples la conductivité thermique, la capacité calorifique, la diffusivité thermique et le temps de relaxation thermique. En effet, la connaissance de la conductivité thermique encore appelée conductivité phonique complète la connaissance du flux conductif. Elle est généralement donnée par des lois empiriques moyennant: la conductivité thermique de la matrice solide et de la conductivité thermique du gaz. Elle dépend aussi de la porosité et de la masse volumique des différentes phases. La capacité calorifique () quant à elle est une donnée nécessaire à la modélisation du transfert thermique en régime transitoire. Nous donnons dans les paragraphes qui suivent les propriétés des grands groupes de matériaux poreux que nous examinerons.

I-5.1- MATERIAUX EN FIBRES DE SILICE

Les milieux fibreux de verre ont des fibres orientées soit dans l'espace soit suivant une direction.

Figure I-1: fibre de silice (Asllanaj, 2001)

? CONDUCTIVITE THERMIQUE

Dans le cas d'un milieu de fibre de verre répartie aléatoire dans l'espace, Houston et Korpela évaluent la conductivité thermique phonique par la relation:

_W.m-1 .

_{0. 8 1 2} ? ₃

_k = _{(0. 2572 x} #177; _{0. 0527 (1 0. 1 3 10 ))1 0}

?

_{T x Pm} #177; _{x x T}

(I-33)

où

_?m

Dans la relation précédente, la conductivité de l'air est donnée par une relation linéaire et représentée par les deux premiers termes, le troisième étant la conductivité de la phase solide. Banner et co-auteurs (Asllanaj, 2001; Kamdem, 2008), proposent la formule suivante pour la conductivité thermique dans les milieux fibreux de verre:

(I-34)

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? CAPACITE CALORIFIQUE

Nous nous intéressons aux propriétés de la fibre de silice (Asllanaj, 2001). La masse volumique des fibres de silice pure est:

La capacité calorifique du matériau est supposée constante et donnée par: _k = _{Y k} + _{k (1} ? _Y ) _X

_{est la densité volumique apparente de la mousse ou du solide}

I-5.2 MOUSSE DE POLYSTYRENE EXTRUDE

_{g p}

Figure I-2:Image MEB d'un échantillon de mousse de polystyrène extrudé (Kaemmerlen,

2009)

?m _{est la densité du polystyrèn e dense}

_{kest la conductivité du polymère.}

_{kg représente la conductivité du}

₂

₃

? CONDUCTIVITE THERMIQUE

Nous prenons dans ce cas l'exemple d'un matériau dont la conductivité dépend de celle des phases solides et gazeuses. Nous considérons alors la relation de Leach (Kaemmerlen, 2009).

(I-

p m

? ? ₁ ?

_?0

35)

où

est un facteur compris entre 0 et 1.

(I-36)

_p0

_p

gaz

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(I-37)

, ,

,

Dans le cas d'un milieu poreux constitué de fibre de verre repartie dans l'air, Hass et co-

auteurs (1997) montrent que la conduction à travers les gaz est de l'ordre de 30-80% tandis que la conduction solide est de l'ordre de moins de 10% à température ambiante. Dans le cadre de notre étude, nous supposons que les conductivités des mousses sont du même ordre de grandeur. La conduction du polymère est alors négligeable devant celle des gaz. Ce

qui justifie que nous prendrons .

? CAPACITE CALORIFIQUE

La masse volumique de la mousse de polystyrène dense est donnée par

Tandis que sa chaleur massique à pression constante est donnée par la loi affine suivante:

(I-38)

I-5.3-FIBRES DE BOIS

(7a) (7b)

21

Figure I-3:Examen au MEB de la structure de la fibre de raphia hookeri. (7a) face externe, (7b) face interne (Elenga et co-auteurs, 2006).

? CONDUCTIVITE THERMIQUE

Nous allons nous intéresser également dans ce travail aux fibres de raphia de Hookeri essence de bois encore mal connue du point de vue de caractérisation thermique (Elenga et coauteurs, 2006). Nous allons simuler le comportement thermique de ce matériau à partir

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22

d'une autre essence de la même famille: le hiba étudié par Toshiro (1998), dont la conductivité thermique est donnée à l'air ambiant par la formule:

(I-39)

? CAPACITE CALORIFIQUE

Nous utilisons comme au paragraphe I-5.1-3, la formule de Toshiro (1998) de la

capacité calorifique du hiba donnée par la relation à l'air ambiant:

( ) (I-40)

I-5.4-DIFFUSIVITE THERMIQUE

La diffusion thermique caractérise la vitesse avec laquelle la chaleur diffuse dans un

système donné. Elle est définie par la formule suivante:

( ) (I-41)

avec

Cependant la diffusivité thermique est presque toujours supposée constante dans la
littérature (Kar et coauteurs, 1992. Toshiro, 1998. Pakdemirli et co-auteur, 2005. Amar et co-auteurs, 2008).

_{sec onde}

I-5.5-TEMPS THERMIQUE DE RELAXATION

Dans le modèle à Un Seul Retard de Phase (SRP) où modèle amélioré de CV, les phénomènes de transfert thermiques sont extrêmement sensibles non seulement aux grandeurs de chaque paramètre temporel (les deux temps de relaxation) mais aussi à la grandeur relative des deux à la fois. Par conséquent, la détermination des temps de retard devient impérative pour décrire les transferts thermiques par conduction dans les milieux poreux (Ordônez et co-auteurs, 2010). Mais en modélisant la conduction par les équations

de diffusion thermique et de propagation de l'onde thermique, seul nous intéressera.
Le temps de relaxation thermique est défini par la relation (Wang et co-auteurs 2008): ? ( _T ) ? s ²

?

( ) (I-42)

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23

avec

I-6-PROBLEMES THERMIQUES A PROPRIETES THERMOPHYSIQUES VARIABLES

En science ou en ingénierie des matériaux, les lasers sont de plus en plus utilisés pour réaliser des essais thermiques des matériaux. Ceci, en raison du fait qu'avec cet outil, il est possible de chauffer le matériau de manière très localisée aussi bien dans l'espace que dans le temps avec une meilleur précision comparée à celle des dispositifs d'autre fois (Tzou et Chiu, 2001). Les importants gradients de températures générés au sein du milieu poreux par ces sources intensives (lasers), modifient de manière significative ses propriétés électriques, mécaniques et thermiques. Pour comprendre en particulier le comportement thermique d'un milieu, il faut considérer ses propriétés thermiques (la conductivité thermique, la capacité calorifique, la diffusivité thermique et le temps de relaxation thermique) comme des fonctions de la température et même dans certains cas comme des fonctions du temps et de la position. Mais ces propriétés thermophysiques ne sont pas toutes à la fois sensibles aux variations de la température. On peut donc envisager les combinaisons des problèmes suivants de conduction thermique à propriétés variables:

a) Toutes les propriétés sont variables.

_k ? _k(T)

_C ? Cref

_C ? _C(T)

_k ? _kC ? Cref

_ref

_k ? kref

* (I-43a)

b) Une des propriétés est constante

*

(I-43b)

*

(I-43c)

*

(I-43d)

c) Deux des propriétés sont constantes

* (I-43e)

* (I-43f)

* (I-43g)

k? _kref C ?Cref

d) Toutes les propriétés sont constantes.

* (I-43h)

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Les problèmes de conduction thermique de type a) ne sont presque pas étudiée dans la littérature, tandis que ceux à combinaison de type b) et c) le sont de plus en plus, surtout numériquement. Le type d), de propriétés constantes est intensément étudié aussi bien analytiquement que numériquement.

24

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CONCLUSION

Nous avons présenté l'équation de conservation de la chaleur, dans les matériaux poreux en régime instationnaire. Nous avons aussi discuté de la modélisation du flux conductif. Il en découle que dans les modèles macroscopiques, l'utilisation de la loi de Fourier est l'approche adéquate tandis qu'à des échelles microscopiques, les modèles non-Fourier tel que le modèle CV semblent adaptés. La combinaison de l'équation de Fourier (I18) et de l'équation de conservation conduit à deux équations distinctes traduisant respectivement la diffusion de l'enthalpie et de la température. De même l'introduction de l'équation de Cattanéo-Vernotte permet d'obtenir deux équations d'onde de chaleur. La première (I-27a) fortement non-linéaire et caractérise la propagation de l'enthalpie. La deuxième (I-27b) traduit la propagation de la température. Une hypothèse de géométrie plane a été introduite dans notre travail afin d'obtenir les équations simplifiées. La résolution de ces équations, constituent l'objet du chapitre suivant.

25

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CHAPITRE II

26

RESOLUTION DES EQUATIONS DE DIFFUSION
ET DE PROPAGATION THERMIQUE

Les équations de diffusion et de propagation établies au chapitre précédent sont des équations non-linéaires à cause du fait que les propriétés thermophysiques: la capacité calorifique , la conductivité thermique et le temps de relaxation thermique, varient avec

la température. Pour pouvoir résoudre ces équations, nous envisageons une approche numérique qui permettra de modéliser les problèmes de conduction thermique non-linéaires au sein d'un milieu fini. Nous pourrons ainsi voir les différences entre les formes discrétisées des équations de diffusion de l'enthalpie et de la température d'une part et des équations de propagation de l'enthalpie et de la température d'autre part. Nous procédons ici par la méthode des volumes de contrôle pour discrétiser les équations de diffusion et de propagation non-linéaires, obtenant ainsi un système algébrique susceptible d'être résolu par une méthode itérative.

Les objectifs du chapitre sont alors les suivants :

? Discrétiser les équations de diffusion et de propagation non-linéaires.

? Discrétiser les conditions aux limites du problème.

? Discrétiser les propriétés aux interfaces du volume de contrôle.

? Développer l'algorithme de résolution des problèmes de conduction thermique. Nous

traitons dans la suite des problèmes de conduction sans terme source.

II-1 METHODE DES VOLUMES DE FINIS / CONTROLES

La méthode des volumes de contrôle a pour objectif d'obtenir un système discrétisé, gardant sous sa forme discrétisée la propriété de conservation de l'énergie. Le principe de cette méthode est de subdiviser le domaine de calcul en un ensemble de petits volumes finis « juxtaposés ». Le centre de chaque élément représente un « noeud ». Le maillage est tel que deux volumes distincts n'ont en commun qu'une seule face. Les équations de conduction (de type parabolique et hyperbolique) sont alors intégrées à l'intérieur de ces volumes. Cette méthode est expliquée dans la littérature (Patankar (1980); Beckermann et Smith (1993);

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Doermann (1995)). Nous présentons dans ce paragraphe quelques unes de ses principales articulations.

II-1.1 DISCRETISATION SPACIALE

Pour le problème de géométrie plane monodimensionnelle, nous avons supposé que les épaisseurs du volume dans les directions x et z sont unitaires. Ainsi le volume de contrôle a un volume :

avec

(II-1)

Nous avons considéré un maillage régulier. Dans ce cas, les faces des volumes de contrôle se trouveront à mi-distance entre les deux noeuds voisins, alors qu'elles ne le sont pas dans le cas d'un maillage irrégulier. On utilisera des noeuds sur les contours extérieurs de notre domaine (plan et monodimensionnel). Ces noeuds coïncident avec des faces des volumes adjacents. Il s'agit de volume de contrôle de dimension nulle sur les frontières. Les noeuds E (East) et W (West), sont les noeuds voisins du noeud P. Les faces e et w délimitant le volume de contrôle centré en P sont situées entre ces noeuds comme le montre la Figure II-1

W w e

P E

_{est le pas de temps}

27

Figure II-1:Délimitation d'un élément de volume de contrôle dans le maillage

II-1.2 DISCRETISATION TEMPORELLE

Le temps transitoire du déroulement du transfert thermique par conduction est

subdivisé en un nombre finis d'intervalle de temps égaux et constant, selon le schéma ci-dessous.

?t?	TEMPS
	N	(II-2)

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28

Le maillage temporel peut être représenté par la figure ci-dessous

Figure II-2: pas de temps

Il existe plusieurs formules de discrétisation dont les principales sont: le schéma explicite, le schéma implicite et schéma combiné de Crank-Nicolson. Toutes pouvant être déduites à partir de la formule générale suivante:

(II-3)

Dans cette étude nous utilisons le schéma implicite, inconditionnellement plus stable et permettant d'éliminer les oscillations observées, des solutions numériques, pour des grands pas de temps (Patankar (1980), Donovan (2010)).

_{e[C(T)T(y,t)] e e T} ( _y , _t )

= [ _k ( _T ) ]

_{e y e y}

_{e t}

II-2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE CONSERVATION DE L'ENERGIE

II-2.1 EQUATIONS DE DIFFUSION Les équations de diffusion s'écrivent :

,

_{e T} ( _y , _t ) _{e e T} ( _y , _t )

_C ( _T ) = [ _k ( _T ) ]

_{e t e y e y}

(II-4a)

(II-4b)

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29

II-2.1.1 NOEUDS INTERNES DU MAILLAGE

_{t??t t??t} ?? ??

_t t ?

?? e ? _?T ? ? _T

? ? T _{t t}

_T ? T _{t t}

? ?

_{E P P W}

? ? ? _k(T) ? _dtdy ? _?k ? _{k ??t}

En intégrant le premier membre de (II-4a) dans le volume de contrôle, on a :

_w

_t w ?? ??

? _?y ?t e ?

? ? _y ? _y

_{e w} ?

(II-5a)

L'intégration du premier membre de (II-4b) donne :

(II-5b)

La capacité calorifique C peut s'écrire suivant la relation ou peut

encore être évaluée à partir d'une moyenne (arithmétique, harmonique ou géométrique) comme on le verra au paragraphe II-2.4

Le second membre de (II-4a) et (II-4b) s'écrit lorsqu'on l'intègre dans le volume de contrôle :

?? _{y k k} ? _{k k} ? _y

_{w e t} ?? _{t w t} ?? _{t t t}

_{T C}

_t ?? _{t t} ?? t ? ?

e ?? _T ? _{T C T}
P ??

_{E W P}

_{t t t} ?? _t

_{a T}

_P P ?? ? _{a T a} T _t t b

??

? ?

_{E E W W}

(II-6)

Donc (II-4a) et (II-4b) deviennent respectivement après discrétisation et arrangement des termes:

_?(II-7a)

_{?t ?ye} ?yw ? _{?ye ?yw ?t}

Tt+~ C Ay + ^ke + _kw 1 __ _ke Tt+At + _kw Tt+A + Ay t

P

_At

CT

(II-7b)

^P _{At Sye} Syw _J Sye ^E Syw ^W

Les équations (II-7a) et (II-7b) étant sous la forme:(II-8)

on détermine alors par identification les coefficients , , a_w et dans les cas (II-4a) et (II-4b) respectivement:

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^{aE ke}

^b?C ^?y ^t

^?y T ^t ^?t

^P

(II-9a)

k w

^?y

^k

? ?

^e

^?y

^a ? ^C

^P

^t

? ? ^t

^?t

? ^y

^{e w}

?

^?ye

k w

^w

a W

?

^{aE ke}

^b?C ^?y ^?y

T ^t ^?t

^P

(II-9b)

?

^?ye

^{?y k}

? ?

? ^y

^{e w}

^a ? ^C

^P

^?t

k w

^?y

k w

^w

^aW

?

II-2.1.2 NOEUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE

^e

II-2.1.2a Températures imposées

Les Températures aux frontières dans ce cas sont connues et données par les équations (I27) du chapitre précédent. En les mettant sous la forme (II-8), les coefficients aussi bien en x=0 (j=1) qu'en x=L (j=M) s'écrivent respectivement:

^a1

¹

^a2

?

?

⁰

a ?

¹

⁰

^b

?

?

^T1

^t

^?At

(II-10a)

(II-10b)

30

II-2.1.2b Flux imposés

Dans le cas du flux imposés les températures ne sont pas connues il faut donc les déterminer. Pour cela, deux possibilités théoriquement équivalentes sont envisageables. La première consiste à discrétiser les équations de conservation de l'énergie aux frontières, la deuxième quant à elle consiste à discrétiser la relation constitutive du flux aux frontières. On se propose d'examiner en procédant selon les deux possibilités. Nous commençons par développer les équations de conservation. Par la suite, nous étudierons les relations constitutives du flux thermique aux frontières de notre système.

_?y

₂

Figure II-3 : flux instationnaires aux frontières du domaine

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CAS DES EQUATIONS DE CONSERVATION

Nous reprenons quelques unes des étapes développées plus haut pour les noeuds internes. En effet, à l'extrémité gauche du maillage, on a, en intégrant le premier membre de (II-4a) dans le demi-volume de contrôle (Fig. II-3).

(II-

11a)

_{t??t 1}

? ?

_{t 1}

Tandis que le premier membre de (II-4b) donne :

_t ?? _{t t} ?? _t

? ? ? ? ?

? _T T ?

_T ? ? ?

_{2 1}

? _k ( _T ) ? _dtdy ? ? _k ? ? _k ? ? ? _t

_{1 2}

? ? y ?? ? t ?? ? ? ? ? _y ? ? _y ? ? ?

(II-11b)

Le second membre de (II-4a) et (II-4b) s'écrit lorsqu'on l'intègre dans les demi-volumes de

contrôle aux extrémités gauche et droite respectivement:

_{t?? t}

? ?

_M

_t ?? _t

? _T ?

_{1 2 1}

_{t M 2} ?y _Ck(T) ? r _???dtdy ???k?T?? _{kM?1 2} (II-12)

or

_{-1 2}

_???t??t

_M

Tt t?

12 ?t

??

(II-13)

_?T

_{?y y?0}

_{q0 (t)} ? _??k(T )

_(t) ? ?

_t t ?

?? ? ? _T ? ? ? _{T T} ?

₁ 2 ? ?

k(T) ?T

_Ly?

_?

_qL

? ? ? ( ) _{dtdy k}

_y

31

_t ?? _{t t} ?? _t

_{2 1 t} ?? _t

? ? ? ? ? ?

? y ?? _{k T q t}

_{1 2 1}

_t 1 ? ? t ?? ? ? ? _y

? ₁ 2 ? ?

Substituant ces équations dans (II-12) et (II-13), on obtient:(II-14a)

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(II-14b)

Donc (II-4a) et (II-4b) deviennent respectivement après discrétisation et arrangement des termes aux deux frontières du maillage:

_{M M} ? _{1 M M}

? ₂ ? _t ? _{y y} ? _t

? _M ? ₁ 2 ? ? ? ₂

_M ? _{1 2}

pour j=1 (II-15a)

pour j=M

(II-15b)

pour j=1 (II-16a)

pour j=M (II-16b)

Les équations (II-15a) et (II-15b) sont de forme (II-8):

,

(II-17)

^a ? ^C

¹

? ^{y k}

^t ?? ^{t 1 2}

?

2?t ?y12

k1 2

^a2

^a

¹

? y ^{1 2}

⁰

?

? ^y

^{t T q}

^t ??

^b C ^{t t}

? ?

^{1 1}

(II-18a)

^a ? ^C

? ^{y k}

^t ?? ^{t M} ? ^{1 2}

?

?

^{t ?yM}

?

^{1 2}

^aM?

¹

^{1 2}

^kM

²

?

^M

^aM

?

¹

?

^yM

?

^{1 2}

? ^y

^{t t t t}

? ^T q ??

^{b C} ?

^{M M}

² ? ^t

(II-18b)

32

² ? ^t

Tandis que dans le cas où il s'agit de la diffusion de température caractérisée par (II-4b), on a plutôt :

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^Ay k1 2

+

? ?

? _T ? ? _{T T} ? T _{t t}

?? _k ( _T ) _{1 2}

^2At 6y1 2

? _y ?_y ?

¹

_t ?? _t

? ?

? _T ?

k1 2

^a2 ^a ^1 ? ? ? ?
		6y1 2 ^0
^b=C2 tTt+qi+At ? ?				(II-19a) ? ? ? ? ? ? M M ? 1 dtdy k ? ? ? ? ? ? k ? ? t ? t ?? ? ? ?

^?y k ^M ? ^{1 2}

?

^2

?

^t ?yM ?

^1 2

^a ? ^C

^M

^aM?

^aM

?

¹

⁰

^kM

?

^{1 2}

¹

_{M M} ? ₁ 2 ? (II-19b)

^{1 2}

^?yM

?

^a = ^C

II-2.1.2c Convection aux frontières

Dans le cas où la diffusion est modélisée par (II-4a), on a :

_t ?? t _t ?? _t ??

_M ?

? ? ? _y ? _y ?

?

?

_{t t t t}

?? _{1 2?} ? T ?? ? T ??

? ? _T ? ? ?

_{2 1} ?? ?? _t ?? _t

? ? ( ) ? _{h T}

? _{k T} ? _dtdy ? _k ? ? ? _T ? ? ? _t

(II-20)

_M

?

_?y

_t

_t 1 ? ? y ?? ? t ?? ? ? ? ? y ? ?

_M ? ? _T ? _T ?

_{M-1 2}

?

? ^y

^{b C T q}

^{t t ??t}

? ?

^{M M}

² ? ^t

(II-21)

_{t t t t}

_{1 2 1 f} , _{1 1}

_{1 2}

_{t t t t}

_M ? _{1 M t} ?? _t ?? _t ?? _t

? ? ? ? _dtdy ? ? _k ? ? ? _T ? ? ? _t

_t ? ₁ 2 ? ? y ?? _k ( _T ) _h T _{t t}

les flux sont donnés par:

_{t t} ?

M ? t ?? ? ? ? _y

k(T) ?y??h0(T)(Tf,0( y?0

t) ?T(0,t)) M ? , ? M ? 1 2 ? ?

?

d'où

_{k(T) ?T?? hL (T)(T(L,t)} ?Tf _,L (t))

_t ?? t ? ? _T ? ? ? ?? ??

_{1 2 M f M M}

_L

(II-22)

(II-23)

^a1 ? C t??t ?y ? k1 2 ? h t??t 1 ^2?t ?y1 2

k1 2

^a2
	?y1 2

^{a ?0}

?

¹

^b ? ^{Ct ?y} Tt ? y, t??tTt??t

2?t ^{1 ,h} _f,1 (II-24a)

^a ? ^Ct??t ?y ? ^kM?1 2 ? h t??t

^{1 2}

^aM?

^aM

?

¹

⁰

^kM

^yM

?

?

¹

^{1 2}

?

^{1 2}

(II-24b)

^?y

^{t t t t t t}
?? ?? ^{M M f,M 2?t}

33

? ^{T h T}

^{b C} ?

Tandis que dans le cas où elle modélisée par (II-4b), on a plutôt :

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^?yk1 2 ^a? ^C? ? ^h ^1 1 2?t ?y12 ^t??t t ?? t 1 2 ?? ?? ? ? ? T t t T t t ? ? 1 2 1 ? y 12 t ?? t M ? ?1 2 ?t t t ?? t T ?? ? T ? M M ? 1

k1 2

^a2
				? y ^1 2
^a	? ^1		^0

(II-25a)

? ^y

^{b C T h T}

^{t t} ?? ^{t t} ?? ^t

? ?

^{1 1 f ,1}

² ? ^t

? _{1 2}

_{k k}

_{t t 1 2 1} 2 T _t t q _{t t}

T ?? ? ? 1 ??

1 ? 2

_y ? _y

¹

? ^y k ^M ? ^{1 2 t} ?? ^t

^a ? ^C ? ? ^h

^{M M}

² ? ^t ?yM ? ^{1 2}

a ^M ?

¹

a M

?

k M

?

^{1 2}

^{1 2}

? y M

?

? ^y

^b ? ^{C T}

^{M M f} , ^M

(II-25b)

^{t h T}

^t ?? ^{t t} ?? ^t

?

² ? ^t

CAS DES RELATIONS CONSTITUTIVES DES FLUX

Lorsqu'il s'agit des problèmes de diffusion avec flux imposés aux frontières, exprimée par la relation constitutive (Loi de Fourier) donnée par:

_{1 2 1 2}

Les équations discrétisées se réécrivent respectivement en (y=0) et (y=1) quelle que soit la forme considérée des problèmes de diffusion (II-4a), (II-4b):

_{k k}

_{t t M}

?? ? _{1 2 M} ? _{1 2 t t t} ?? _t

T ??

_T ? ? _q

_{M M} ? _{1 M}

? _y ? _y

_M ? _{1 2 M} ? _{1 2}

_{q k}

_q

soient

_k

_M

??

(II-26a)

(II-26b)

Les coefficients des systèmes algébriques sont alors donnés respectivement en (y=0) et

(y=L) par :

^k1

²

k 1

²

^a1

¹²

^a2

?

a ?

¹

^?y

?

^?At

^b

^{q ?y12 0 t 1}

(II-27a)

¹²

^kM

?

¹²

?

^8y

^M

a M

⁰

a ^M ?

¹

¹²

^kM

?

¹

¹²

?

^M

a M

?

^8y

^?At

^b

^q

^t

^M

(II-27b)

34

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Lorsqu'aux frontières on a la convection, exprimée par les équations suivantes :

alors les équations discrétisées prennent la forme suivante:

(II-28a)

(II-28b)

Les coefficients des systèmes algébriques sont alors donnés respectivement en (y=0) et (y=L) par :

^??t

^k1

^t

²

? ?

^h1

^a1

²

^?y

¹

^k1

²

^a2

^?y

¹²

a ?

¹

? ? [ _C ( _T ) _T ( _y , _t )] ? ? _T ( _y , _t )

? _t ? _t ? _y ? _y

^??t

T ^t ? ? ^t

^b ? ^h1

⁰

^t

(II-29a)

¹²

?

^??t

¹

(II-29b)

^{U h T}

^{t t}

? ? ? ?

^{t t}

? ^{M f} , ^M

^aM

^M

^hM

^t

^aM?

?

¹

^aM

?

?

^kM

?

?

¹²

¹²

?

¹²

^?yM

?

35

II-2.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS DE PROPAGATION

Les équations de propagation de l'onde thermique (I-26) sans termes sources prennent les

? ( _T ) ₂ [ _C ( _T ) _T ( _y , _t )] ? ? [ _k ( _T ) ]

formes suivantes :

_{E E T} ( _y , _t ) _{E T} ( _y , _t ) _{E E T} ( _y , _t )

₂

,

_{E t E t E t E y E y}

(II-30a)

? ( _T ) [ _C ( _T ) ] ? _C ( _T ) ? [ _k ( _T ) ]

(II-30b)

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Thèse de Master of science, Option physique, Spécialité Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

II-2.2.1 EQUATIONS ALGEBRIQUES AUX NOEUDS INTERNES DU MAILLAGE Intégrons le premier terme du premier membre de (II-23a) dans le volume de contrôle.

_t ?? _{t t}

? ?

?? ? ? ? ? _T ? ? _T ? _T ? ?

_{e t t e}

?? ? ? ?

??

(II-31)

avec

? ? t ? _{T C T dtdy}

? ? ? ? ( _T ) _C ( _T )

? ( ) ( ) ?? ?? _C ( _T ) _dy

w _t t w t ?? ? t ??

? ?? ??

? ? ? ? ?

_{t t t t}

_P P ?? ? ?? ??

_{a T a T} ? _a T _t t b

_{E P W W}

Tandis que les premiers membres de (II-23b) s'obtiennent par:

? ?

? -- _?dy
P ?

? ?t ?? ?t ?? ? _??t
?

? _{At At} ?

_{e t??t}

? ?

_{w t}

_{t t t t}

? _{C T}

_t??t ?? C ??

? _?T ? _{C T C T}

_{t t t t t}

? ??

? ? ? ( ? ) P ?

_{P P}

? _{?(T) C(T) dtdy T}

? ? ?( )

_Ct+At (Tt+At --T )t Ct _(Tt -- _{Tt--At )1}

_?J

(II-26)

_e

_z-

_(T)

_fw

En développant comme précédemment, on obtient :

?

?

? _?y

(II-27)

36

Les autres termes des équations de propagation (de type hyperbolique) sont discrétisés comme dans le paragraphe précédent. Donc (II-23a) et (II-23b) deviennent respectivement après discrétisation et arrangement des termes sous la forme (II-14) que nous rappelons ci-dessous:

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(II-28)

37

(II-29)

on détermine alors par identification les coefficients , , a_w et dans les cas (II-23a) et (II-23b) respectivement:

^k

? ?

^e

k_w

^?y

^??t

^t

^C

^a

^P

? ^y

^w

k_e

^a

^E

^?ye

k_w

^a

?

^W

^?y

^w

) ? ^y

^C

?

( T P

^?t

^?t

^t

T ^t

^P

^Tt

^P

^t

^C

?

?

? y e

? ^t ? ^t

(II-30a)

^k

? ?

^e

k_w

^a

^P

^?ye

^?y

^w

? ^y k_e

^a

^E

^W

? y e

^(TP

^)?y

^?y

?

^?t

^t

^Tt

^P

^Tt

^P

^C

?

^?t

^{?t ?t}

(II-30b)

? ? ( ^T ) ?

^P

^b ? ? ² ? ¹ ?

? ? t ?

? ^y ? ^t

^a

?

k_w

? ^y

^w

? ? ( ^T ) ?

^P

? ? ^C ?

? ? t ?

? ?

bC ^{t t t}
? ( ? ^C )

? ? ( ^T ) ?

^P C ^t ? ? ^t

? ? ^C ?

? t ?

? ^t ?

??? ^(T ) ? ^P

? ¹ ?

?t ?

^?t ?

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Thèse de Master of science, Option physique, Spécialité Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques, Université de Dschang

II-2.2.2 NOEUDS SUR LES CONTOURS EXTERNES DU MAILLAGE

? _{q (0, t} ) ? _{T (0, t} )

_{q (0, t} ) ?? ( _T ) ? ? _k ( _T )[

? _t ? _y

II-2.2.2a Températures imposées

Les températures étant données, on a comme dans le cas des problèmes de diffusion:

? _q ( _L , _t ) ? _T ( _L , _t )

_q ( _L , _t ) ?? ( _T ) ? ? _k ( _T )[

? _t ? _y

^a1

¹

^a2

?

?

⁰

a ?

¹

⁰

^b

?

?

^T1

^t

^??t

(II-31a)

a M

¹

a ^M ?

?

¹

?

⁰

a M

?

?

⁰

¹

^t

(II-31b)

38

II-2.2.2b Flux imposés

Nous rappelons que le flux thermique est donné par la loi de Cattanéo-Vernotte (I-15) dans le

cas d'une onde thermique. Ainsi aux frontières on a:

_]en (II-32a)

_]en (II-32b)

Nous nous proposons également dans le cas des équations de propagation de l'onde thermique d'examiner en exploitant l'équation de conservation et la relation constitutive du flux thermique aux extrémités du mur.

CAS DES EQUATIONS DE CONSERVATION

Dans le cas où la propagation est modélisée par (II-23a) et à partir des développements faits dans les cas des problèmes de diffusion, on a :

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²

^k1

^a2

?y1 2

⁰

^a?1

?

^?t

? ?y

^{a1 C}

^2?t

??? ( ^T ) ? ¹

? ¹ ?

? ? t ?

?

?

^t

^??t

^k1

²

?y1 2

?

? ^T ?

( )

? ?t ?

^?y

(II-33a)

??t

¹²

?

? ??
^t ?? t ? q ^t

q ^{M M}

?

)

²

^aM?

^aM

¹

b? ? ?

⁰

¹

^{?2 1} ?

^kM

?

^?1

?

^kM

^{?1 2}

^{?1 2}

^?yM

^?yM

?

¹²

? ?

?

^q1

^t

^??t

?

?

^(T1)

^?t

^?y

^a ? ^C

^t

? ? t ?

?? ^t

?

?

? ?

^M

?

^q

?

^(TM

?

??^{1 t}

^{C T t??t t??t}

^M

^?t

?

^)?y

^(TM

? ??

q t??t ? q ^t

^{1 1}

^?y

2?t ^C TMt ^{?t 2?t}

(II-33b)

Tandis que dans le cas où la propagation modélisée par (II-23b), on a plutôt :

²

^k1

?

^q

?

^a2

?

^a?1

^t

?y1 2

⁰

^t ?? ^{t t 1}

? ? t ?

^b ? ^C ? ^C

^{2?t ?t 2?t}

? ( ^T ) ? ^y

¹

T ^{t t t}

? ^{C T}

^{1 1}

^?t

^t

^k1

²

^b ? ? ² ? ¹ ?

?

? ? ( ^T ) ?

^M

^?(T1)C

^?y

^??t

^C

? ?

?

²

^a1

?

?

^?t

^?t

??

^?y12

?? ^t

?

( T ₁ )

?

^t

¹

? ^t

? ? ( ^T ) ?

? ( ) ? ^C ?

?

? ??
q ^t ?? t ? q ^t

^{1 1}

?

^?y

(II-

? ?33a)

39

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^?y ? ^?(T ) ?

¹

^a ? ? Ct??t ? ^C ?

^M 2?t ? ?t ?

^aM?

^aM

¹

⁰

^kM

^{?1 2}

^{?1 2}

^?1

^?yM

^{t ?t 2?t}

^2?

¹

?

^kM

? ^{1 2}

^?yM

^{?1 2}

^t

? ^?t

Ct TM

?

? ??
t??t ? q ^t qM M

?

^??t

?

^(T1)

?

^q

?

? ?

?

^t

^M

^?t

(II-34b)

II-2.2.2c Convection aux frontières

Elle se traduit aux frontières du mur des problèmes de propagations par les équations

suivantes :

Avec

Dans le cas où la propagation est modélisée par (II-23a), on a :

²

^k1

^a2

^?y12

⁰

^a?1

?

??? ( ^T ) ? ¹

? ¹ ?

? ? t ?

^t

^??t

^C

^?y

²

^a1

^?t

? ? ^h1 ?

²

? ^y ? ^t

^{1 2}

)h t

^k1

?

^(T1

^??t

¹

^t

?

?

? ?

^{2?t ?t 2?t}

^h1

¹

^h1

?

^?t

^Tt

^f

,

? T t??t

? ?

^f,1

?

? ^T

? ? ?

( ) ?

¹

^{b ?2 1} ?

? ?t ?

^Ct Tt ? ^{?(T1) ?y Ct??tTt??t}

^?y

(II-35a)

40

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^aM?	^1	^0
^kM			? ^1 2

^aM		?
	?		? ^1 2

? ? ?

h ^t^??t ?(TM) ? ^h ^?t

? ?? ^t t ? ? ^h T ?

??? ( ^T ) ? ^M ? ¹ ?

k ^{M?1 2}

? ? ^h ? ^h

^{M M}

^aM

? ^?(T ) ?

^M

^{b? ?2} ? ¹ ?

? ?t ?

^?y ? ^{(T )?y}

^{t t M C T}

^{t??t t ??t}

^{C T} ?

^{M M}

^{2?t ?t 2?t}

?

^t

^??t

^C

^?y

^t

)

^??t

(T M

^?t

(II-35b)

? t ?

² ? ^t ?

?y ^M ? ¹²

Tandis que dans le cas où elle modélisée par (II-23b), on a plutôt :

?

?

? ?

^M

? ?? ^{t t}

? ? ^{h T}

?

? ??t

h ^t??t ?(TM) ? ^h

? ^t

^k1

^a2

?y1 2

⁰

^a?1

?

^t

?

?

²

^)h1

^(T1

^??t

^h1

?

?

? ?

^?t

^t

^h1

¹

^Tt

^f

,

? t ?

^2?t ?

^a1

?

^{M M}

T ^{t t}

? ^?(T ) ?

¹ C ^{t ??t}

? ? ^C ?

? ?t ?

²

) h ^t

? ^?t

? Tt??t

? ?

^f,1

?

? ? ^h1 ??y1 2

^k1

^?y

^f , ^{M M f} , ^M

^?y

² ? ^t ? ^{t 2} ? ^t

?

^??t

^(T1

^?t

¹

⁰

? ^{1 2}

^kM

¹

²

^?yM

?

^(C

^t?

^C

^t

)

?

M^?

(T

^t

^Tt

^{2?t ?t 2?t}

^b?

^t

^t

^kM

?

^??t

¹²

?

)

^??t

?

(T M

^?y

?

?(T1) C

? ^hM ?

a M

^hM

^C

? ?

?

²

^?t

? ^{b??(Ct??t?Ct)?(T1)?C} ?

^?t

^?t

? ?

?

?

^?yM

? ¹

^aM

¹

^t

? ^?t

Ct TM

^{?1 2}

^?y

(II-36a)

(II-36b)

41

^{M M}

T ^{t t}

^{f,M M f} , ^M

CAS DES RELATIONS CONSTITUTIVES DES FLUX

Lorsqu'il s'agit des problèmes de propagation avec flux imposés aux frontières, exprimée par la relation constitutive (loi de Cattanéo-Vernotte) donnée par:

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Les équations discrétisées se réécrivent respectivement en (y=0) et (y=1) quelle que soit la

_{k k} ? ? ( _T ) ?

? _{M 1 2}

T _{t t M}

?? _{1 2} ? ?? ??

? ? ? ? ??

_{t t}

? ?? ? q ^t

T _t t q _{t t} ^M q

_{M M} ? _{1 M M M}

? _y ? y ? ? _t

_M ? _{1 2 M} ? _{1 2} ?

forme considérée des problèmes de propagation (d'enthalpie et de température):

soient

		(II-47a)

(II-47b)

Les coefficients des systèmes algébriques sont alors donnés respectivement en (y=0) et

(y=L) par :

(II-48b)

(II-48a)

²

^k1

₁ ² (II-46)

^a1

^6y12

²

^k1

^a2

^a-1

6y1 2

⁰

?

^b

^q

t+At + ^{z (T} )

¹ At

?

^{(q1+At q1} )

?

^{?1 2}

^kM

^{?1 2}

^aM

^?yM

⁰

^aM?

¹

^{?1 2}

^kM

¹

^{?1 2}

^aM

?

^?yM

?

?

)

^??t

?

^(TM

?

^q

^t

^M

?

^?t

^b

42

? ?

? ?

?

? ??

t??t ? q ^t qM M

II-2.3. DISCRETISATION DES CONDITIONS INITIALES

La condition initiale des problèmes de diffusion est donnée par la relation (I-29a) du chapitre précédent. Sa forme discrétisée est:

_TP ? Tinitiale(II-45)

Pour les problèmes de propagation, il faut en plus de (II-36) ajouter la forme discrétisée de l'équation (I-30b) du précédent chapitre.

_TP ? _TP

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II-2.4 DISCRETISATION DES PROPRIETES THERMOPHYSIQUES AUX INTERFACES DU VOLUME DE CONTROLE

Les propriétés thermophysiques dans cette étude, dépendent de la température. La température elle-même dépend de la position du noeud considéré à l'instant considéré. Donc ces propriétés dépendent implicitement de l'espace et du temps. Le problème se pose alors sur leur détermination au niveau des interfaces des volumes de contrôle du maillage. Patankar (1981) explique en détails la manière de calculer les conductivités aux interfaces (en procédant par le calcul des moyennes arithmétique et harmonique). Nous nous proposons d'appliquer ces mêmes approches à toutes les propriétés variables de notre problème et nous nous proposons également examiner le cas de la moyenne géométrique (Mikhail et Steinberg, 1996; Meng-Sing, 1996; Hyman et co-auteurs, 1997; Tiam, 2011). Ainsi les conductivités thermiques au niveau des faces e et w délimitant le volume de contrôle entourant le point P, la capacité calorifique et le temps de relaxation thermique entre les instants t et t+?t, sont donnés respectivement par les moyennes arithmétiques, harmoniques et géométriques.

( _C ) ' ' ( _C ) '

?? ?

_C?

_r ?

( _r ) ( ( ( _r ) (

^+A +

II-2.4a MOYENNE ARITHMETIQUE

Conductivité thermique Capacité calorifique Le temps de relaxation
thermique

? k P

ke				k k P ? W
					2
kw ?	? kE					2			2		(II-38)
			2

II-2.4b MOYENNE HARMONIQUE

Conductivité thermique Capacité calorifique Le temps de relaxation
thermique

( ) ( )

_t +? _{t t}

_{C X C}

₂ ( ) ( )

_t +? _{t t}

( _C + _C )

?

?

( ) ( )

_{t t t}

? ? ?

₂ ( ) ( )

_t ?? _{t t}

? ? ? ? ?

x

k P

k_E

k_e

2( k k )

P ? E

_C

x k P

k W

)

k w

?

k W

2(k P

(II-39)

??

43

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II-2.4c MOYENNE GEOMETRIQUE

Conductivité thermique Capacité calorifique Le temps de relaxation

thermique

(II-40)

44

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II-2.5 ALGORITHME DE RESOLUTION DES EQUATIONS DISCRETISEES

Les équations discrétisées précédemment, de chacun des problèmes de conduction thermique traités dans cette étude forment un système linéaire d'équations algébriques (II-14). Mais rappelons que l'inconnue du système est le champ de température. Pour résoudre ce système d'équations, la méthode itérative que nous utilisons est l'algorithme de Thomas ou méthode du T.D.M.A (TriDiagonal-Matrix Algorithm). Le schéma global de résolution se compose des quatre principales étapes de calcul suivantes:

1- Initialisation du champ de température supposé

2- Résolution de l'équation de transfert de chaleur par la méthode de résolution des systèmes tri diagonaux T.D.M.A

3- Calcul du critère de convergence (critère d'arrêt des itérations) par la formule:

4- Ces trois étapes de calcul sont reprises jusqu'à ce que le critère de convergence soit satisfait. L'organigramme général de résolution est représenté par la figure ci-dessous.

45

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46

Début

Entrée des données
géométriques et thermiques

Construction du
maillage spatial

1. Champ de température à l'instant initial ( ).

2. Initialisation du champ de température supposé correspondant

au champ de température avant la première itération ( )

Construction du maillage
temporel

Utilisation du nouveau champ de température

Calcul des propriétés thermophysiques variant avec la température et de leurs moyennes respectives aux interfaces calcul des coefficients

et des systèmes linéaires et résolution du système

Non

Convergence ?

Récupération du champ de température de l'instant présent

Oui

Figure II-4: Organigramme pour la résolution numérique des équations de conduction

thermique

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CONCLUSION

Dans ce chapitre, portant sur la résolution des équations de diffusion et de propagation, nous avons présenté la méthode numérique des volumes finis. Cette méthode nous a permit de développé notre modèle numérique des équations non-linéaires de conduction instationnaires en milieu non-homogène isotrope. Nous avons aussi discrétisé les conditions aux frontières et les propriétés thermophysiques aux interfaces du volume de contrôle du maillage. Les systèmes algébriques linéaires ont été mis sous une forme de manière à utiliser l'algorithme de Thomas. Un organigramme de résolution global, détaillé en étapes de calcul a été proposé.

Dans le chapitre qui suit, nous analysons le comportement thermique des matériaux poreux.

47

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CHAPITRE III

48

RESULTATS ET DISCUSSION

Après avoir mis au point notre modèle numérique, nous nous proposons de le valider grâce aux résultats disponibles dans la littérature et d'étudier les transferts de chaleur par

conduction instationnaire dans un mur d'épaisseur d'un milieu poreux. Ainsi les objectifs
du chapitre peuvent se résumer en ces trois thèmes principaux:

? La résolution numérique des problèmes de conduction thermique en milieux poreux

homogène et isotrope soumis aux températures et flux constants aux frontières.

? La résolution numérique des problèmes de conduction thermique en milieux poreux non-homogènes. Les propriétés thermophysiques seront considérées ici variables. Nous analysons les différences entre les modèles théoriques de conduction thermique instationnaire proposés.

? L'application du modèle théorique développé aux milieux réels (faits en fibres de verre, de bois; et faits en mousse de polystyrène) en vue de choisir le matériau adapté pour l'isolation thermique en climats tropicaux tels qu'au Cameroun.

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49

III-1.VALIDATION DU CODE DE CALCUL

Les programmes que nous avons élaborés pour résoudre les équations non-linéaires de conduction thermique en milieux poreux, ont été validés en prenant comme références certaines études numériques disponibles dans la littérature (Kar et coauteurs, 1992. Amar et co-auteurs, 2008. Zeng et co-auteurs, 2010. Haji et co-auteurs, 2011. Tung T. Lam and Fong Ed, 2011). Particulièrement les études comparées (analytique et numérique) faites par Kar (1992) sur les équations de types hyperboliques et paraboliques de conduction de la chaleur pour des conditions aux frontières variées. Dans le cas de la convection, la méthode de Newton-Raphson a été introduite pour résoudre les équations algébriques obtenues.

III-1.1-RESOLUTION NUMERIQUE DES PROBLEMES DE CONDUCTION THERMIQUE

INSTATIONNAIRE:

_T ( _y ? _{0, t} ) / _Tref ? _{3 T} ( _y ? _L , _t ) / _Tref ? ₂

III-1.1.1-EN MILIEU HOMOGENE ET ISOTROPE

Nous considérons un mur de propriétés thermophysiques constantes. Dans cette première partie nous considérons également que le milieu poreux est soumis aux conditions de températures imposées, de flux imposés, de convection aux frontières et conditions mixtes. Nous présentons les différents résultats selon les conditions considérées. Ces conditions aux frontières (températures imposées, flux imposés) sont constantes. Les propriétés thermophysiques du mur homogène et isotrope étant constantes, les deux modèles s'avèrent théoriquement équivalents et doivent par conséquent se superposer aux solutions analytiques. Les simulations numériques des différents modèles vont permettre de le vérifier.

III-1.1.1.A- PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE

Les deux types de problèmes de diffusion développés dans les chapitres précédents à savoir la diffusion d'enthalpie (D.E) et la diffusion de température (D.T). III-1.1.1.A.1-TEMPRATURES IMPOSEES

Nous supposons que les températures, aux frontières du milieu, sont les

suivantes : et . La température de référence est La
figure III.1 présente le profil de température dans ce milieu pour différents nombre de Fourier.

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^{Analytique(Kar et al,1992) D.E D.T}

^Fo

^0.1

^0.08

^0.01

^1.0

^{3.00 2.75 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00}

50

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-1: Diffusion thermique en milieu homogène et isotrope soumis aux températures
imposée aux frontières.

III-1.1.1.A.2-FLUX IMPOSES

Les flux appliqués aux frontières sont respectivement :

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{Analytique(Kar et al, 1992) D.T D.E}

^{Fo 0.8}

^0.6

^0.1

^0.01

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-2: courbe de validation du modèle numérique en flux imposés aux frontières

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51

La figure III.1 et III-2 montrent un très bon accord entre les solutions des modèles numériques de diffusion thermique (D.E) et (D.T) et la solution analytique (Kar et co-auteurs, 1992 ; Annexe A), lorsque le milieu est homogène isotrope quelque soit l'instant considéré.

q 1 ? ? _0.2

_T ( _y ? _{0, t} ) / _Tref ? ₃

III-1.1.1.A.3-CONVECTION AUX FRONTIERES

Le problème résolu ici est celui du transfert thermique par diffusion dans un mur homogène et isotrope avec convection aux frontières. Ces conditions sont les suivantes:

Avec

^{Analytique(Kar et al, 1992) D.T D.E}

^{Fo 0.8}

^0.6

^0.2

^0.01

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

*

Figure III-3: courbe de validation du modèle numérique en convection aux frontières

III-1.1.1.A.4-CONDITIONS MIXTES : Température - Flux

Nous supposons dans le problème suivant que la température et le flux, aux frontières

du milieu, sont: ,

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^4.0

^2.5

^2.0

^3.5

^3.0

^1.5

^1.0

^{Analytique(Kar et al, 1992) D.T D.E}

^{Fo 0.9}

^0.1

^0.01

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-4: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion avec condition mixtes (température / flux) aux frontières

Pour les autres problèmes de diffusion avec conditions mixtes qui suivent, les solutions

analytiques ne sont pas présentées mais le mur étant homogène et isotrope, les simulations montrent également que les profils de température obtenus à partir des modèles D.E et D.T se superposent.

III-1.1.1.A.5-CONDITIONS MIXTES : Température - Convection

Nous supposons dans le problème suivant que la température et le flux, aux frontières du milieu, sont:

52

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^{Fo 0.6}

^0.3

^0.1

^0.01

^{D.T D.E}

^2.4

^2.2

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

53

Figure III-5: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion avec
condition mixtes (température / convection) aux frontières.

III-1.1.1.A.5-CONDITIONS MIXTES : Convection-Flux

Nous supposons dans le problème suivant que la température et le flux, aux frontières du milieu, sont:

^3.0

^2.8

^2.6

^2.4

^2.2

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{0.0 0.2 0.4}

^{0.6 0.8 1.0}

^y/L

^{Fo 0.85}

^{D.T D.E}

^0.01

^0.5

^0.1

Figure III-6: courbe de validation du modèle numérique des problèmes de diffusion avec
condition mixtes (convection / flux) aux frontières.

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54

III-1.1.1.B- PROBLEMES DE PROPAGATION THERMIQUE

Nous analysons la propagation de l'Enthalpie et de la Température en milieu homogène et

isotrope. Les conditions aux frontières (température imposées) sont identiques à celles de la diffusion

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

^2.75

^2.50

^2.25

^2.00

^3.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^0.08

^{Fo Analytique Numérique (P.I)}

Figure III-7: Propagation thermique en milieu homogène et isotrope soumis aux températures imposée aux frontières. Les solutions analytique et numérique coïncident.

La figure III-7 présente un bon accord entre les profils de température analytique et numérique. Elle présente en outre la discontinuité survenue après une soudaine variation de

température aux frontières du milieu. La température est très forte en et chute

brusquement en avoisinant la valeur adimensionnée jusqu'à atteindre . On se
donc compte que les modèles numériques envisagés coïncident avec le modèle analytique lorsque les propriétés sont constantes.

_k(T) ? _{kref U(T)}

_C(T) ? C refU(T)

III-1.2-EN MILIEU NON - HOMOGENE

Le transfert thermique en milieu non-homogène est analysé en considérant. Les propriétés thermophysiques variant température. Nous considérons que la conductivité thermique et la capacité calorifique du milieu dépendent de la température suivant une même loi affine. Nous examinons alors l'influence du signe des pentes de ces lois affines sur le profil de température dans le milieu soumis aux conditions aux frontières suivantes : températures imposées, flux imposés, conditions mixtes et la convection avec le milieu ambiant.

_{U T} ? ? ? _T ? Tref

( ) (1 * (

avec

))

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Nous examinons les cas où prend les valeurs . Remarquons que le

55

cas , renvoie au milieu homogène isotrope. De plus, nous validons les modèles

numériques de diffusion et propagation de température (D.T et P.T) à partir des solutions analytiques. Les modèles numériques de diffusion et de propagation d'enthalpie seront analysés par la suite.

III-1.2.1-TEMPRATURES IMPOSEES

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

^2.75

^2.50

^2.25

^2.00

^3.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^{Fo. Analytique(Kar et al,1992) D.T}

^0.08

^0.05

^0.01

Figure III-8:profil de température du milieu. Modèle de diffusion de la température pour

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^X / ^L

^2.75

^2.50

^2.25

^2.00

^3.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^{Fo Analytique(Kar et al,1992) P.T}

^0.08

? * ?

_{0. 3}

Figure III-9:profil de température du milieu. Modèle de propagation de la température pour

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56

Comme les figures III-8 et III-9, le montrent, lorsque les propriétés thermophysiques telles que la conductivité thermique et la capacité calorifique varient suivant une même loi affine de la température et que la transformation de Kirchhoff est applicable, on a les profils de température identiques entre les approche analytique et numérique, autant pour le problème de diffusion de température que pour le problème de propagation de température. Ici la pente de la loi affine est positive.

III-1.2.2-FLUX IMPOSES

^1.9

^1.8

^1.7

^1.6

^1.5

^1.4

^1.3

^1.2

^1.1

^1.0

^{Fo Analytique(Kar et al,1992) D.T}

^1.0

^0.5

^0.1

^0.01

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-10:profil de température du milieu pour problème de diffusion de la température

flux imposés

III-1.2.3-CONDITIONS MIXTES : Température - Flux

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^X / ^L

^4.0

^2.5

^2.0

^3.5

^3.0

^1.5

^1.0

^{Fo Analytique(Kar et al,1992) D.T}

^0.6

^0.1

^0.01

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Figure III-11:profil de température du milieu pour problème de diffusion de la température
conditions mixtes (température et flux imposé)

Les conclusions des expérimentations numériques sont les mêmes, à savoir que les profils analytique et numérique se superposent en milieux non-homogènes.

57

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58

III-2.ANALYSES DES PROBLEMES DE CONDUCTION D'ENTHALPIE EN MILIEUX NON-HOMOGENES

La formulation mathématique du problème de conduction thermique, se fait à partir de l'équation de conservation : (I-13a) ou (I-13b). Lesquelles prennent les formes respectives suivantes lorsqu'il s'agit de la diffusion: (I-24a), pour la diffusion de l'enthalpie (D.E) et (I-24b), pour la diffusion de la température (D.T). Cette dernière est la plus répandue dans la littérature. En milieu poreux (non-homogène) et isotrope ces deux équations sont non-linéaires car les propriétés thermophysiques varient avec la température. L'utilisation de ces équations s'effectue sans préciser des limites de validité de ces approximations. De même, en partant des (I-13a) et (I-13b) pour décrire le transfert de chaleur en milieux micro et nano-structurés utilisant les modèles non-Fourier (l'équation de Cattanéo-Vernotte), les développements découlent sur deux équations de propagation de l'onde thermique: I-27b l'équation de propagation de la température (P.T) et l'équation de I-27a qui est l'équation de propagation de l'enthalpie (P.E).

Nous discutons de ces différences dans la suite

III-2.1. ANALYSES DE LA DIFFUSION DE L'ENTHALPIE

III-2.1.1-TEMPERATURES IMPOSEES

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

^2.75

^2.50

^2.25

^2.00

^3.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^{Fo D.E D.T}

^0.08

^0.01

Figure III-12: profils de température dans un milieu non-homogène soumis aux températures

imposées.

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^Fo

¹²

¹⁰

⁸

⁶

⁴

²

⁰

59

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-13: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le milieu obtenues à partir des modèles numériques développés à deux instants différents.

^0.01

^0.08

Les figures III-12 et III-13 montrent un écart considérable entre les profils de température obtenus par les différents modèles de diffusion thermique (D.E) et (D.T). De plus cet écart s'accroit avec le temps. Ces résultats remettent en question la manière de formuler le transfert thermique par diffusion en milieu non-homogène et isotrope. Car, lorsque les propriétés thermophysiques varient explicitement avec la température et implicitement avec le temps, le modèle thermique de diffusion de la température n'est pas nécessairement directement adéquat pour décrire le transfert de chaleur. Même s'il est possible de linéariser (à partir la transformation de Kirchhoff sous certaines conditions) le modèle D.T non-linéaire pour le valider.

III-2.1.2-FLUX IMPOSES

Nous examinons ensuite la diffusion thermique en flux imposé.

Les figures III-11 à III-14, montrent que les écarts observés entre les différentes approches de diffusion ne dépendent pas des conditions aux frontières appliquées. Bien que, le modèle (D.E) ne peut pas être validé à partir d'une approche linéaire utilisant la transformation de Kirchhoff du fait de son caractère fortement non-linéaire, il est souhaitable de l'utiliser pour décrire le transfert de chaleur dans un milieu dont les propriétés thermophysiques varient avec la température. Car l'hypothèse qui consiste à minimiser la contribution du produit de la température par la dérivée partielle par de la capacité calorifique par rapport au temps

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60

devant la capacité calorifique elle-même, peut s'avérer inexacte, même si cette capacité calorifique ne varie pas explicitement avec le temps.

^2.6

^2.4

^2.2

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{Fo D.E D.T}

^0.6

^0.1

^0.01

^1.0

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-14: Profil de température en milieu non-homogène à des instants variés lorsque le flux est appliqué aux frontières, pour

Il est à remarquer que les positions relatives de courbes des modèles de diffusion changent suivant le signe de la pente. C'est ce que montre la figure III-14 qui doit être considérée à en rapport avec la figure III-13.

? * ? ? _{0. 1 5}

^2.2

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{Fo D.T D.E}

^1.0

^0.5

^0.1

^0.01

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-15: Profil de température en milieu non-homogène et isotrope à des instants variés lorsque le flux est appliqué aux frontières, pour

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61

Les figures III-14 et III-15 montrent en plus que les positions relatives des courbes dépendent

du signe de la pente des lois suivant lesquelles les propriétés thermophysiques varient
avec la température.

¹⁴

¹³

¹²

¹¹

¹⁰

⁹

⁸

⁷

⁶

⁵

⁴

³

²

¹

⁰

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

^Fo

^0.1

^1.0

Figure III-16: courbe présentant les la précision entre les valeurs de la température dans le
milieu, obtenues à partir des modèles numérique développés à des instants différents,

pour .

^0.01

III-2.1.3-CONDITIONS MIXTES

La température est et le flux . Pour le problème de diffusion
avec conditions mixtes.

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

^4.0

^2.5

^2.0

^3.5

^3.0

^1.5

^1.0

^{Fo D.T D.E}

^1.0

^0.01

Figure III-17: Profil de température en milieu non- homogène et isotrope à des instants variés avec la température et flux

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^{Fo 0.01 1.0} ? ^=0.3

^{12 10 8 6 4 2 0}

62

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-18: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le milieu obtenues à partir des modèles numériques développés à des instants différents, pour

les conditions aux frontières sont mixtes.

III-2.1.4-CONVECTION AUX FRONTIERES

Nous analysons aussi le cas de la diffusion thermique avec convection aux frontières.

^2.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^{Fo D.T D.E}

^0.6

^0.2

^0.01

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

Figure III-19: Profil de température en milieu non-homogène et isotrope à des instants variés avec la convection aux frontières

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^{Fo 0.01 0.2 0.6}

⁷

⁶

⁵

⁴

³

²

¹

⁰

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

63

Figure III-20: courbe présentant la précision entre les valeurs de la température dans le milieu obtenues à partir des modèles numérique développés à des instants différents, pour

le milieu est soumis à la convection.

III-2.2. ANALYSES DE LA PROPAGATION DE L'ENTHALPIE

^2.0

^1.9

^1.8

^1.7

^1.6

^1.5

^1.4

^1.3

^1.2

^1.1

^1.0

^{Fo P.E P.T}

^1.0

^0.1

^0.01

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

a-)

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^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

b-)

^4.5

^4.0

^3.5

^3.0

^2.5

^0.1

^2.0

^1.5

^0.01

^1.0

^{Fo P.E P.T}

^1.0

^3.0

^2.5

^2.0

^0.08

^1.5

^1.0

^{Fo P.T P.E}

^0.5

64

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

b-)

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^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{Fo P.T P.E}

? * ? ? *

_{0. 1 5} ?

^{0.8 0.2 0.1 0.01}

^2.0

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

d-)

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{Fo P.T P.E}

^{0.6 0.2 0.1 0.05}

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

^y/L

e-)

65

Figure III-21: profil de température en milieu non-homogène à des instants variés avec a-)flux imposés, b-) températures imposées, c-) conditions mixtes (température / flux), d-)

convection aux frontières ( ), e-) convection aux frontières ( ).

Il est à remarquer l'effet du signe de la pente de la loi affine sur les figures III-21d-) et e-) avec l'inversion des positions relatives de courbes obtenues. Ce qui exprime encore une fois les écarts entre les modèles de propagation thermique.

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66

III-2.2.RESULTATS NUMERIQUES: APPLICATIONS AUX MILIEUX REELS

L'expérimentation numérique est réalisée sur trois matériaux de type isolant constitués respectivement de fibres de silice, de fibre de bois et de mousse de polystyrène. Nous comparons les performances de ces différents matériaux en vue de déterminer lequel des trois est le mieux adapté à l'isolation thermique du bâtiment en pays tropicaux tels qu'au

Cameroun. Chaque mur considéré a une hauteur et une épaisseur .

Nous analysons dans cette étude deux cas d'isolation du bâtiment : Isolation en zone chaude :

Nous supposons que chacun des matériaux est exposé pendant une durée de à la
chaleur du soleil

La température initiale de l'air est fixée à

_h ? , ₀

?

_h ? , ₁

? _T ? _T ? ₄

_s ?

_{1, 5106} ? ?

? _T ? _T ? ₄

_s ?

- _{1, 5210} ? ?

?H ?

? H ?

La température voulue du coté intérieur est

Les propriétés thermophysiques de l'air étant calculées, on obtient de chaque coté du mur les

coefficients de convection de l'air respectifs (Annexe 2):

^1.035

^1.030

^1.025

^1.020

^1.015

^1.010

^1.005

^{fibre de silice (Verre)}

^{mousse de polystyrène}

^{fibre de bois}

₁

₁

^{0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10}

^{y/ L}

Figure III-22: Profil de température dans l'isolant réel en zone chaude

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67

Isolation en zone froide :

Nous supposons que chacun des matériaux est exposé pendant une durée de à la à la
fraicheur de la nuit.

La température initiale de l'air est fixée à

? _T ? _T ?

_s ?

_h ? , ₁ - _{1, 5252} ? ?

? H ?

La température voulue du coté intérieur est

Les propriétés thermophysiques de l'air étant calculées, on obtient de chaque coté du mur les coefficients de convection de l'air respectifs (Annexe 2):

1 4

^{0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10}

^y

^0.997

^0.996

^0.995

^0.994

^0.993

^0.992

^0.991

^0.990

^0.989

^0.988

^0.987

^0.986

^0.985

^0.984

^{fibre de bois}

^{fibre de silice (Verre)}

^{mousse de polystyrène}

Figure III-23: Profil de température dans l'isolant réel en zone froide

Les matériaux en fibres de verre et de bois transmettent beaucoup moins la chaleur que la mousse de polystyrène dans les deux cas d'isolation. Comme le montrent les figures III-21 et

III-22. En effet, en zone chaude la température souhaitée dans le bâtiment se trouve en .

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Et en zone froide, en . Le calcul de différences ( ou ) de température

pour chaque matériau sur ces faces de l'isolant dans chaque zone respectivement donne :

* (zone chaude) :

Mousse de polystyrène

Fibre de verre

Fibre de bois

* (zone froide) :

Mousse de polystyrène

Fibre de verre Fibre de bois

Ces calculs montrent qu'aussi bien en zone chaude qu'en froide, les matériaux en fibres de silice et en fibre de bois, sur une durée de quatre heures, libèrent moins de chaleur (en zone chaude) et renvoient une considérable quantité de chaleur pendant la même durée en zone froide. Or dans nos pays intertropicaux le bois est beaucoup moins cher car nos forêts en regorgent abondamment. D'où la préférence que nous lui accordons par rapport au verre. Cette étude propose, de développer et d'améliorer nos connaissances, par sa caractérisation et l'optimisation des propriétés, du bois qui pourrait servir pour l'isolation thermique des bâtiments dans notre pays.

68

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CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons présenté les résultats de l'expérimentation numérique de la méthode des volumes de contrôles appliquée aux quatre équations de conduction instationnaire développées au chapitre précédent: les équations de diffusion et de propagation de la température, les équations de diffusion et de propagation de l'enthalpie. Ces résultats montrent:

? Un bon accord entre les modèles de diffusion et propagation de la température et les

modèles analytiques disponibles dans la littérature pour les milieux non-homogènes. ? Des écarts importants entre la diffusion de l'enthalpie et la diffusion de température.

? Des écarts importants entre la propagation de l'enthalpie et la propagation de

température.

Nous notons également que ces écarts croissent avec le temps et sont indépendants des conditions aux frontières appliquées au milieu.

? Que les milieux en fibres de bois sont mieux adaptés à l'isolation du bâtiment en climats tropicaux tels qu'au Cameroun.

69

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CONCLUSION ET PERSPECTIVES

70

Cette étude se rapportant à l'analyse thermique de la conduction instationnaire dans les milieux poreux en équilibre thermodynamique avait pour objectifs de comprendre et modéliser le transfert de chaleur dans les macros, micros et nanostructures, se faisant, prendre en compte le caractère non-linéaire des propriétés thermophysiques et des conditions aux frontières et la recherche des caractéristiques nécessaires pour une bonne isolation thermique du bâtiment en climats tropicaux.

Les équations de diffusion de la température et de l'enthalpie sont établies en considérant le couplage entre les lois de conservation de l'énergie et les relations constitutives du flux de conduction (formules de Fourier). Nous établissons aussi des équations de modélisation du transfert thermique par conduction instationnaire dans les macros, micros et nanostructures lorsque les températures sont basses ou lorsque des flux thermiques d'impulsions, très brefs et de forte intensité sont soudainement appliqués aux milieux : les équations de propagation thermique. Les propriétés thermophysiques du milieu varient avec la température.

Un traitement numérique par la méthode de volumes finis les montre des écarts significatifs entre les modèles de diffusion de la température et de l'enthalpie d'une part et les modèle de propagation de la température et de l'enthalpie d'autre part. Ces écarts s'accentuent pendant un temps avant que le régime stationnaire ne se mette en place aux temps infinis.

Pour la suite du travail sur l'analyse du transfert de chaleur instationnaire en milieux poreux, nous suggérons les pistes suivantes:

? Extension des modèles de diffusion et de propagation de l'enthalpie (D.E et P.E) en géométrie multidimensionnelle.

? L'analyse de la validation des modèles de diffusion et de propagation de l'enthalpie par une approche analytique à l'instar des méthodes pertubatives.

? Le couplage des modèles de diffusion et de propagation de l'enthalpie avec d'autres modes de transfert de chaleur par le rayonnement et la convection, en milieux poreux multicouche.

? La caractérisation thermique des propriétés thermophysiques et radiatives des milieux

poreux en considérant les modèles de diffusion et de propagation de l'enthalpie.

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ANNEXES

71

I- APPROCHE ANALYTIQUE

Les équations de diffusion et de propagation thermique sont non-linéaires à cause du fait que les propriétés thermiques du matériau et les conditions aux frontières dépendent de

la température. Par exemple, la capacité calorifique , la conductivité thermique le
coefficient d'échange global par convection et le temps de relaxation thermique. Cependant, pour la plupart des matériaux, la diffusivité thermique varie très faiblement avec la température par rapport à la conductivité thermique. Une telle situation se traduit par deux hypothèses possibles:

? La diffusivité peut être simplement considérée comme indépendante de la température (Kar et co-auteurs, 1992).

? la capacité calorifique et la conductivité thermiquevarient avec la température suivant une même loi, affine (Gustavo et Tien-Chen 2000; Amar et co-auteurs, 2008).

A cause de l'une au moins de ces suppositions, les équations de diffusion et propagation thermique non-linéaires pourront être linéarisées par la transformation de Kirchhoff c'est-à-dire ramenées aux problèmes de conduction thermique en milieu isotrope et pourront être résolues par une approche analytique.

Reconsidérons les équations de diffusion et de propagation de la température discrétisées au chapitre II (II-4b) et (II-30b). Elles sont les suivantes respectivement :

_{a T} ( _y , _t ) _{a a T} ( _y , _t )

_C ( _T ) = [ _k ( _T ) ]

_{a t a y a y}

_{a a T} ( _y , _t ) _{a T} ( _y , _t ) _{a a T} ( _y , _t )

_z- ( _T ) [ _C ( _T ) ] + _C ( _T ) = [ _k ( _T ) ]

_{a t a t a t a y a y}

_T ( _y ? ₀₎ ? T 0

_T(y ? _L) ? _TL

(A-1.1)

(A-1.2)

Nous nous plaçons dans le cas où le temps thermique de relaxation est constant. Et les conditions aux limites considérées ici sont constantes par rapport au temps et sont les suivantes:

? Températures imposées:

(A-1.3a) (A-1.3b)

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72

? Flux imposés :

(A-1.4a)

(A-1.4b)

Les conditions initiales des problèmes sont données par :

(A-1.5a) (A-1.5b)

Dans le cas du problème de diffusion, seule la condition initiale (I-5a) est considérée.

I-1 TRANSFORMATION DE KIRCHHOFF

* * * ₂

? ( ) ( - )

_T ? _T T ref ? ? _T ? T ref

( )

Pour définir transformation de Kirchhoff, on introduit une nouvelle variable définie par:

(A-1.6)

où est la température de référence à laquelle on a évalué , la conductivité

thermique de référence. Et pouvant prendre la forme affine suivante:

( _T ? _T ? ? _T ?

~ ~ ~

? ) ( - ₁₎ ( ₁₎

(A-1.7)

est un paramètre appelé coefficient de température de la conductivité

thermique.

C'est la pente de la loi affine. Ainsi, (A-6) peut se réécrire:

*

₂

(A-1.8)

_{2 2}

avec	??? *			/Tref
T		?	T *

_Tref

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Cette équation, quadratique en , permet d'obtenir la relation de retour entre la

température et sa transformée , suivante :

(A-1.9)

En adimensionnant les équations (A-1.1) et (A-1.2) à partir des relations et en leur appliquant la transformation de Kirchhoff, dans le cas des problèmes à propriétés thermophysiques variables de type (I-40b), on a respectivement les équations de diffusion et propagation de températures linéaires suivantes:

? _{a e} ?

? ?

? _a ? ? ? ? ₀

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? = ₁

(A-1.10) (A-1.11)

Les conditions aux limites sont également adimensionnées et transformées.

? Températures imposées:

? Flux imposés :

? ?( ? , _F ? ₀₎

0 ?

?F 0

_{est la températu re adimension née}

_{est le nombre de Fourier ou temps adimension né}

?

q_{* 0}

_(T )

*

? ? ? _k ( _T ) _dT

q* 1

?

Les conditions initiales des problèmes sont données par :

T *

₁ ?

_{k Tref k}

_{ref ref}

_{0 T T?} ? _t

⁰ L ²

Après avoir posé :

?

? T * ? ??

_k(T)

_F?

_Tref

*

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Une fois ces équations résolues on utilise la relation (A-1.9) pour retourner aux problèmes adimensionnés en T .

I-2 RESOLUTION DES PROBLEMES LINEARISES DE CONDUCTION THERMIQUE

Les solutions des équations (A-1.10) et (A-1.11), selon les conditions aux frontières considérées, sont obtenues à partir de la méthode de séparation des variables. Le profil de température étant déterminé dans le matériau selon les variations des paramètres -pente de la loi linéaire de la conductivité thermique en fonction de la température et -nombre de Veron, à des instants fixés matérialisés par le nombre adimensionnel de Fourier F_o .

Dans le cas de la diffusion de la température, on a:

n Températures imposées _{q q}

* *

? ₁

_{0 1 2} * *

, _F ) ? ? ? { ? ? ? ?

*

q * ? ( _{q q} ) _F ? ( _q ?

_{0 ini 0 0 1 0 0}

_{2 3}

(?, ? _{(?1??0)???0 ?2?} ? _{(?ini ??0)?(?1??ini)(?1)nSin}

?

_{?n???Exp?? n2?2F0?}

_n

(A-

₀

_n

?

)

q_{* 1}

₂

1.12a)

n Flux imposés

?

?(? _,F )

(?

?(? ??) ? ?? _?2?Exp

_{1 0 0}

??? _{F /2?2} ?? (?ini ? _{?0) ?(?1} ? _?ini )(?1)n _{Sin?n????Cos(? F)} ? _Sin(?F0 ) ?

0 n?0 n??n ⁰ 2?2?n ?

_q;

(--) I _{n *l}

q0 _{cos(n )exp(-- n27r2F0} )}

_n2

² Ld

7r 1

_CO

?

_n

(A-1.12b)

Dans le cas de la propagation de la température, on a:

n Température Imposées

? 2 ₂ )

0

(A-1.13)

avec

₁

_con --

_s

_sr(n

₎

₄₈

₁

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Dans cette étude, ces différents cas ont été traités pour des conditions aux frontières constantes. Pour les températures imposées les courbes suivantes montrent bien la discontinuité prédite par le modèle C-V (hyperbolique) lorsque survient une soudaine

variation de température; les points (figure A-1) du matériau n'en sont pas

affectés. Il est également à remarquer l'effet du signe de la pente sur les différents champs

de température représentés.

^2.75

^2.50

^2.25

^2.00

^3.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^{Hyperbolique Parabolique}

?? = ^0.3

^0.0

^-0.15

^-0.3

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

?

Figure A-1: Profil de température pour Fo=0.08, 0.2 en Température imposées

? 1 ? _{2. 0}

^2.75

^2.50

^2.25

^2.00

^3.00

^1.75

^1.50

^1.25

^1.00

^{Hyperbolique Parabolique}

y? ? ^0.3

^0.0

^-0.15

^-0.3

? 0 ? _3.0

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

?

Figure A-2: Profil de température pour Fo=0.08, 0.5 en Température imposées

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Par ailleurs, les courbes de validation des codes de calcul en flux imposés (pour les problèmes de diffusion thermique dans les milieux homogènes et isotropes), aux frontières, sont respectivement les suivantes:

^2.0

^1.8

^1.6

^1.4

^1.2

^1.0

^{F0 Analytique (D.T)}

^0.01

^0.1

^1.0

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

?

Figure A-3: Profil de température pour Fo=0.08, en flux imposés

? 0 ? _{3 .0} q 1 ? ? _{1 .0}

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

?

^4.5

^4.0

^2.5

^2.0

^3.5

^3.0

^1.5

^1.0

^{Fo Analytique (D.T)}

^0.01

^0.1

^1.0

*

Figure A-4: Profil de température pour Fo=0.08, 0.2 en conditions mixtes

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^2.0

^1.8

^1.6

? _b ? R ^m

N _{uH aH}

^1.4

^1.2

_h ? _H

?

^1.0

NuH k

^{Fo Analytique (D.T)}

^0.01

^0.1

^0.2

^0.6

^{0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0}

_b ? _0,59

?

77

Figure A-5: Profil de température pour Fo=0.08, 0.2 en convection aux frontières

II- PROPRIETES THERMOPHYSIQUES DE L'AIR

La connaissance des propriétés thermophysiques de l'air est indispensable pour simuler le transfert convectif ambiant des isolants réels balayés par les courants d'air sur ses deux faces. L'écoulement de l'air sur les faces de l'isolant supposé, est laminaire. Le coefficient de convection de l'air, est donné par la formule empirique suivante (J. P. Holman, 2010) :

_RaH

10 4 ? ? 10 ⁹

? RaH

(A-2.1)

où est le nombre de Nussel moyen sur la hauteur du mur

est le coefficient moyen de convection de l'air la conductivité thermique de l'air

_g?

? _{Ts T?}

De plus, nous savons que:

est le nombre de Raleigh moyen défini par :

_RaH

_va

et sont des constantes qui caractérisent l'écoulement de l'air ambiant

Lorsque le courant d'air est laminaire alors , et
Il en résulte que

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(A-

2.2)

est l'accélération de pesanteur donné par

,, sont les propriétés de l'air déterminées par des corrélations suivantes lorsque la

température de filme , est comprise entre et Celsius (Yves Jannot,
2003) :

C(T)=

La température initiale des matériaux étudiés est constante et est fixée à ce qui

correspond ainsi aux températures des faces extérieures de mur considéré, à l'instant initial.

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